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第四章 一次函数
4一次函数的应用（第2课时）
一、学习任务分析
“一次函数的应用”是北师大版初中数学八年级（上册）第四章第四节的内容，经过前面的学习，学生对一次函数已经有了“数”与“形”两方面的认识。本节旨在运用一次函数解决简单的实际问题，共安排了3课时。第1课时侧重于借助一次函数表达式解决一些简单的实际问题；后两课时侧重于借助一次函数图象解决简单的实际问题。本节课为该节的第2课时，主要解决仅涉及一个一次函数的实际问题，并从“数”与“形”两个方面理解一次函数与一元一次方程的关系。教学重点在于引导学生如何利用一次函数图象分析、解决简单的实际问题，发展学生用数形结合思想解决问题的能力，发展几何直观。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：在此之前，学生已学习并掌握了一次函数的基本概念、性质及图象。同时，经过前一课时的学习，学生已初步经历了借助函数表达式解决简单实际问题的过程。然而，学生直接利用图象中的信息解决实际问题的意识还比较薄弱，利用图象分析问题、解决问题的能力也有待加强。本节课通过图象的形式呈现两个问题情境，引导学生通过观察图象，分析并获取有效信息，进而逐步解决问题。在此过程中，发展学生利用函数图象分析、解决实际问题的能力，发展几何直观。
学生的活动经验基础：在学习前期相关知识的过程中，学生已经借助真实情境认识了一次函数及其图象，具备了从简单实际问题中抽象出函数模型、从函数图象中获取信息及借助这些信息分析和解决问题的能力。同时，学生已经经历了很多合作学习的过程，积累了一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流能力。然而，学生认识事物还不够全面、系统，因此还需借助具体实例来进一步提升学生这方面的能力。
三、教学目标
1.通过观察函数图象获取有效信息，进而利用这些信息解决简单的实际问题。
2.经历运用一次函数图象解决实际问题的过程，增强用数形结合的思想解决问题的能力，发展几何直观。
3.在解决问题的过程中，初步体会方程与函数的联系。
教学重点：利用一次函数图象解决简单的实际问题。
教学难点：利用一次函数图象解决简单的实际问题。
四、教学过程设计
【第一环节】复习旧知
1.活动内容
通过观察一次函数的图象可以获得哪些信息？
2.活动目的
此环节旨在引导学生复习旧知，其中蕴含了后续学习的关键内容，为学生利用图象分析问题、解决问题做好铺垫。特别地，若学生提到了一次函数图象与坐标轴的交点等内容，则为后续探究一次函数与一元一次方程的关系创设了情境。
3.注意事项
本环节要给予学生充分的独立思考时间，若学生未能全面地提取有关一次函数图象的相关信息，教师需要及时关注学生对一次函数图象的理解水平，并提供针对性指导。学生通过交流讨论，逐步完善认知，完成本节课所需的知识储备。
【第二环节】探究思考
1.活动内容
活动1：利用函数图象解决问题。
某辆摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量y（单位：L）与该摩托车行驶路程x（单位：km）之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题：
（1）油箱最多可储油多少升？
（2）一箱油可供该摩托车行驶多少千米？
（3）该摩托车每行驶100km消耗多少升油？
（4）油箱中的剩余油量小于1L时，该摩托车将自动报警。加满油行驶多少千米后，该摩托车将自动报警？
例1 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少，蓄水量V（单位：万m3）与干旱持续时间t（单位：天）之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题：
（1）干旱开始时该水库的蓄水量是多少？
（2）干旱持续10天，该水库的蓄水量是多少？干旱持续23天呢？
（3）该水库蓄水量小于400万m3时，将发出严重干旱警报。干旱持续约多少天将发出严重干旱警报？
尝试·思考
按照例1呈现的规律，预计干旱持续多少天该水库将干涸？你是怎么做的？
2.活动目的
学生已经经历若干借助一次函数解决实际问题的过程，但其直接利用图象信息解决实际问题的意识还比较薄弱，利用图象分析问题、解决问题的能力也有待加强。为此，活动1创设了基于图象的问题情境，引导学生通过观察图象，分析并获取有效信息，逐步解决有关问题，在此过程中，发展学生的几何直观，培养学生的数形结合的思想。
3.注意事项
在活动1的探究过程中，需关注学生的参与程度和表现出来的思维水平。在具体问题解决的过程中，应鼓励学生从多角度进行思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励。利用函数图象解决问题的数学方法具有多样性：可以直接观察图象获取所求点的坐标，从而作出相应的解答；也可以观察一些易得点的坐标，进而推演出所求的量；或者依据一些易于观察的点确定函数表达式，再利用代数法求解。
活动1结束后，应引导学生总结利用函数图象获取信息的方法：（1）理解横、纵坐标分别表示的实际意义；（2）分析已知条件，在图象中找准对应点，获取所需信息，从而解决问题；（3）将“数”转化为“形”，由“形”定“数”。例1和“尝试·思考”既是对学生是否掌握利用函数图象获取信息的评价任务，也是引出活动2探究一次函数与一元一次方程之间关系的重要环节。
【第三环节】归纳发现
1.活动内容
活动2：探究一次函数与一元一次方程之间的关系。
思考·交流
结合例1想一想，一元一次方程－20x＋1 200＝0与一次函数y＝－20x＋1 200有什么联系？一般地，一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b有什么联系？与同伴进行交流。
一般地，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx＋b＝0的解。从图象上看，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx＋b＝0的解。
2.活动目的
从学生的认知点出发，以解决具体问题为驱动，引导学生在求解一次函数图象与x轴交点的过程中，根据函数值建立一元一次方程的解与相应函数图象之间的对应关系，提升学生利用数形结合思想解决实际问题的能力。数形结合思想构建起数学逻辑与外部世界的联系桥梁，使其呈现出可视化的应用状态，容易为学生理解与接受。数与形的紧密结合和灵活运用，能有效培养学生的几何直观素养、数学抽象能力以及数学建模意识。“数”与“形”实质上是数学问题应用与解决的两个不同维度，两者的结合使抽象与具象这两条思维路径实现有效对接。通过数式与图形之间的信息转化，能够更加便捷、高效地解决数学问题。
3.注意事项
在探究一元一次方程与一次函数的关联时，可以设计递进式“问题串”，引导学生建立一元一次方程的解与一次函数图象之间的联系，将知识进行关联。从“数”到“形”，从特殊到一般，将方法进行迁移，由浅入深，层层递进，让“联系”的观点逐渐经验化、理性化、科学化。教师再适时进行追问，引导学生辨析自省，培养其根据问题情境选择合适解法的能力，从而引发学生进行深度探究，促进其深度学习。在总结一次函数与一元一次方程之间的关系时，若学生概括的语句不够完整或有不足之处时，教师可以组织讨论活动引导学生进行完善或修正，让学生经历数学知识“由粗糙到精致”的生成过程。
【第四环节】运用巩固
1.活动内容
如图，某植物栽种后经过t天的高度为y cm，l表示y与t之间的关系。根据图象回答下列问题：
（1）该植物刚栽种时有多高？
（2）该植物栽种后经过10天的高度为多少？经过4天呢？
（3）写出l对应的函数表达式y＝kt＋b，其中k和b的实际意义分别是什么？
（4）该植物何时长到8 cm？
（5）按照图中呈现的规律，预计该植物栽种后经过几天长到17 cm？
2.活动目的
通过“运用巩固”中的简单实际问题完成对学生本节课知识掌握情况的评价。
3.注意事项
本环节情境中的5个问题层层递进，问题（1）和问题（2）是先定自变量，再看因变量；在问题（3）中，学生会进一步发现k和b在实际问题中的特定含义，帮助学生从图象上看出k和b的值，也为学生结合k和b的实际意义确定一次函数表达式奠定基础；问题（4）和问题（5）是先定因变量，再定自变量。本环节的题目有一定难度，文字量较多，如果学生的基础较差，可以换成教材第102页的第5题，文字信息会减少一些，也能达到检测评价的目的。
【第五环节】课堂小结
1.活动内容
总结本节课的收获，形成结构化认知。
（1）本节课你学习了哪些知识？
（2）本节课研究的过程和思想方法是怎样的？
（3）运用今天的学习经验，今后还可以研究什么内容？
2.活动目的
通过问题（1）和问题（2），让学生经历知识、方法和路径的再建构，培养学生的总结概括能力。通过问题（3）激发学生的探索欲，引发学生思考，为今后运用本节课的学习经验研究其他函数、方程作铺垫。通过课堂小结不仅可以提升学生的思维能力，还可以让学生的认知框架更完整、更系统。
3.注意事项
在课堂小结环节中，部分学生总结概括能力较低，暂时无法完整地形成知识与方法的再建构，但如果能准确地答出本节课的知识内容，教师也要给出肯定的评价并加以鼓励。问题（3）具有一定的难度，但不管从单元整体建构角度，还是从类比思想的培养来看，对于学生都是非常重要的，若学生觉得非常困难，可以开展小组讨论，教师深入小组内发现问题，并及时给予帮助。
【第六环节】布置作业
1.活动内容
必做题：习题4.4 第3，4，5题。
选做题：习题4.4 第6题。
2.活动目的
课后作业是对课堂知识的检测、巩固和提升。根据学情，在作业设计上，进行了必做题与选做题的安排。
五、教学反思
1.重点突出，展开有序，具有生成性
通过问题串的形式，对重点内容进行探讨，从利用一次函数图象解决实际问题出发，逐步过渡到探究一次函数与一元一次方程之间的关系。在此过程中，帮助学生建立数形结合的思想，发展学生的几何直观。在教师的合理引导下，让学生参与到知识的产生及发展过程中。问题串的设计环环相扣，步步深入，发挥了数学的育人价值，培养学生的理性思维和科学精神。
2.教学中保障了“教—学—评”一致性
首先通过研读课标、分析学情、理解教材，并据此确立本节课的教学目标；基于教学目标有针对性地设计学习活动与评价任务；最终将学习活动规划为合理的教学过程。同时，教师需要具备课堂动态调整能力，能及时捕捉并有效利用生成性资源，对预设流程进行适时优化，切实达成“教—学—评”一致性。
3.需要改进的方面
在新知探究环节，应该留给学生充分的独立思考时间，避免出现由一些思维活跃学生的回答替代其他学生的思考，掩盖其他学生的真实疑问。教师应该多引导学生从图象中提取信息，读取结果可以存在合理的误差。评价时，应重点关注学生思考问题的方法，而不仅仅是读取结果的正误。<<<<<<<<
第四章一求函数
一次函数的应用（第2课时）
课堂精要·梳理内容
1.一次函数的实际应用
(1)通过函数图象获取信息
①从函数图象的形状可以判断是不是一次函数。
②从x轴、y轴表示的量去理解图象上点的坐标的
(2)利用函数图象解决简单的实际问题
①整体把握图象的特点，将实际题意与函数图象有机地结合起来。
②抓住图象上的特殊点，以它作为解决问题的突破口。如果图象是一条射线，那么特
殊点是它的
;如果图象是一条线段，那么特殊点是它的
2.一次函数与一元一次方程的关系
一般地，当一次函数y=kx十b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程
的解。从图象上看，一次函数y=kx十b的图象与轴交点的
坐标就是方程
的解。
三云
课堂精练·发展能力
基础巩固
1.由于干旱，某水库的蓄水量随干旱时间的累积而直线下降。若该水库的蓄水量V(万m3)
与干旱的时间（天）之间的关系如图所示，则下列说法正确的是()。
A.千旱第50天时，蓄水量为1200万m3B.千旱开始后，蓄水量每天增加20万m3
C.干旱开始时，蓄水量为200万m
D.干旱开始后，蓄水量每天减少20万m
W万m
12005
1000
y/km
800
2.5
600
400
1.5
200---------
01020304050/天
015304565
95 x/min
(第1题)
(第2题)
2.下图所反映的过程：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一段时间后，又去早餐店吃早
餐，最后散步回家。其中x(min)表示时间，y(km)表示张强离家的距离。根据图象提供
的信息，以下说法错误的是()。
A.体育场离张强家2.5km远
B.张强在体育场锻炼了15min
C.体育场离早餐店4km
D.张强从早餐店回家的平均速度是3km/h
3.某市六月连降大雨，某部队前往救援，乘车行进一段路程之后，由于道路受阻，汽车无法
通行，部队短暂休整后决定步行前往，下列能反映部队离开驻地的距离x(km)与时间t(h)
之间的关系的大致图象是()。
s/km
skm
s/km
A
D
4.放学后，小明骑车回家，他经过的路程s(km)与所用时间t(min)之间的关系如图所示，则
小明骑车的平均速度是
km/min。
甲车
本m
路程/km-
乙车
1000
360
270H
400-
180
10 simin
T
90
O5 7/min
12345678时间h
(第4题)
(第5题)
(第6题)
5.小明家、文具店、学校依次坐落在一条笔直的公路上，小明家到学校的路程为
1000m。一天，小明在上学途中到文具店买了学习用品，然后以原速度的1.5倍匀速步
行到学校，如图所示的折线反映了这天小明从家步行到学校所走的路程s()与时间
t(min)之间的关系，这天小明上学途中在文具店停留的时间是
min
6.如图所示的是甲、乙两辆汽车到同一目的地所行驶的路程与相应时间之间的关系的图
象，给出下列关于图象的描述：①两辆汽车行驶的路程和时间成正比；②甲车行驶360km
需要4h;③由图象可知甲车比乙车早到4h;④从图象上看乙车的速度比甲车快。其中
正确的是
。(填序号)
7.某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程，储蓄盒
内原来有40元，2个月后储蓄盒内有80元。
(1)求储蓄盒内钱数y(元)与存钱时间x(月)之间的关系式（不要求写出x的取值范围）；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中作出该函数的图象；
(3)观察图象回答：按上述方法，该同学经过几个月能存够200元？
元个
200
180
160
140
120
100
0
40
20
012345678x月
(第7题)(共15张PPT)
第四章 一次函数
4 一次函数的应用（第2课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
复习旧知
通过观察一次函数的图象可以获得哪些信息？
（1）通过观察一次函数的图象可以确定k和b的符号；
（2）通过观察一次函数的图象可以判断函数的变化趋势；
（3）通过观察一次函数的图象可以得出自变量与因变量的对应值；
（4）通过观察一次函数的图象与x轴的交点坐标可以确定b的值。
探究思考
某辆摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量y（单位：L）与该摩托车行驶路程x（单位：km）之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题：
（1）油箱最多可储油多少升？
（2）一箱油可供该摩托车行驶多少千米？
油箱最多可储油10升。
一箱油可供该摩托车行驶500千米。
（3）该摩托车每行驶100km消耗多少升油？
该摩托车每行驶100km消耗2升油。
（4）油箱中的剩余油量小于1 L时，该摩托车将自动报警。加满油行驶多少千米后，该摩托车将自动报警？
加满油行驶450千米后，该摩托车将自动报警。
活动1：利用函数图象解决问题
探究思考
如何利用函数图象获取信息？
（1）理解横、纵坐标分别表示的实际意义；
（2）分析已知条件，在图象中找准对应点，获取所需信息，从而解决问题；
（3）将“数”转化为“形”，由“形”定“数”。
探究思考
例1 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少，蓄水量V（单位：万m3）与干旱持续时间t（单位：天）之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题：
（1）干旱开始时该水库的蓄水量是多少？
解：观察图象，得
（1）当t＝0时，V＝1 200。因此，干旱开始时该水库的蓄水量为1 200万m3。
探究思考
（2）干旱持续10天，该水库的蓄水量是多少？干旱持续23天呢？
例1 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少。蓄水量V（单位：万m3）与干旱持续时间t（单位：天）之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题：
解：观察图象，得
（2）当t＝10时，V＝1 000。因此，干旱持续10天，该水库的蓄水量为1 000万m3。当t＝23时，V≈750。因此，干旱持续23天，该水库的蓄水量约为750万m3。
探究思考
（3）该水库蓄水量小于400万m3时，将发出严重干旱警报。干旱持续约多少天将发出严重干旱警报？
例1 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少。蓄水量V（单位：万m3）与干旱持续时间t（单位：天）之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题：
解：观察图象，得
（3）当V＝400时，t≈40。因此，干旱持续约40天将发出严重干旱警报。
按照例1呈现的规律，预计干旱持续多少天该水库将干涸？你是怎么做的？
【尝试·思考】
探究思考
归纳发现
活动2：探究一次函数与一元一次方程的关系
（1）从“数”的方面看：在一次函数y＝－20x＋1 200中，函数值为0时，相应的自变量的值即为方程－20x＋1 200＝0的解。
（2）从“形”的方面看：一次函数y＝－20x＋1 200与x轴交点的横坐标即为方程－20x＋1 200＝0的解。
20
【思考·交流】
结合例1想一想，一元一次方程－20x＋1 200＝0与一次函数y＝－20x＋1 200有什么联系？
归纳发现
活动2：探究一次函数与一元一次方程的关系
一次函数y＝kx＋b中，y＝0时的x值。
一次函数y＝kx＋b与x轴交点的横坐标。
从函数值看
从图象看
一元一次方程y＝kx＋b的解。
一元一次方程kx＋b＝0的解。
一般地，一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b有什么联系？与同伴进行交流。
【思考·交流】
归纳发现
活动2：探究一次函数与一元一次方程之间的关系
一般地，一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b有什么联系？与同伴进行交流。
一般地，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx＋b＝0的解。从图象上看，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx＋b＝0的解。
【思考·交流】
运用巩固
如图，某植物栽种后经过t天的高度为y cm，l表示y与t之间的关系。根据图象回答下列问题：
（1）该植物刚栽种时有多高？
（2）该植物栽种后经过10天的高度为多少？经过4天呢？
（3）写出l对应的函数表达式y＝kt＋b，其中k和b的实际意义分别是什么？
（4）该植物何时长到8 cm？
（5）按照图中呈现的规律，预计该植物栽种后经过几天长到17cm？
课堂小结
（1）本节课你学习了哪些知识？
（2）本节课研究的过程和思想方法是怎样的？
（3）运用今天的学习经验，今后还可以研究什么内容？
布置作业
1.必做题：习题4.4 第3，4，5题。
2.选做题：习题4.4 第6题。
谢谢

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