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第四章一求蹈数
次函数的应用（第3课时）
课堂精要·梳理内容
利用一次函数解决实际问题
1.要弄清横坐标和纵坐标各自表示的
2.要注意自变量的
必须使实际问题有意义。
3.要理解两个一次函数图象的交点的含义：两个一次函数图象的交点，表示此点在两条
直线上的横坐标
,纵坐标也
0
4.准确理解一次函数关系式中k,b所表示的
空防纸发县能刀
基础巩固
1.如图，线段OA,BA分别表示甲、乙两名学生运动的路程s(m)与时间t(s)之间关系的图
象，根据图象可判断甲、乙两名学生中(
A.乙快
B.甲快
C.一样快
D.无法判断
本s/m
元乙/甲
4----
(2,4)
t/s
01234件
(第1题)
(第2题)
2.如图所示的是甲、乙两家商店销售同一种产品的售价y(元)与销售量x(件)之间的关系
图象。给出下列说法：①当买2件时，甲、乙两家的售价一样；②当买1件时，买乙家的合
算；③当买3件时，买甲家的合算；④乙家的产品每件售价约为3元。其中正确的
有()。
A.①②
B.②③④
C.②③
D.①②③
3.在一次800m的跑步比赛中，甲、乙两人所跑的路程s(m)与各自所用时间t(s)之间的关
系图象分别为线段OA和折线OBCD,则下列说法正确的是(
)。
600
SOD
40
B
300
240
10
5
10220
(第3题)》
1
学人车级上品
A.甲的速度随时间的增加而增大
B.乙的平均速度比甲的平均速度大
C.在起跑后第180s时，两人相遇
D.在起跑后第50s时，乙在甲的前面
4.甲、乙两名同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的
距离s(km)和骑行时间t(h)之间的关系如图所示，给出下列说法：
①他们都骑行了20km;
20卡8km
甲乙
②乙在途中停留了0.5h:
③甲、乙两人同时到达目的地；
④相遇后，甲的速度小于乙的速度。
00.51
22.5t/h
其中正确的有(
)。
(第4题)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.如图，直线反映了某商品的销售收人与销售量之间的关系，直线2反映了该商品的成
本与销售量之间的关系，当销售收入大于成本时，该商品开始赢利，当销售量xt
时，该商品开始赢利。
◆/m
元
5000
100.
020
60 /min
(第5题)
(第6题)
6.甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60in,气球所在位置距离地面的高度y
(m)与气球上升的时间x(min)之间的关系如图所示。给出下列说法：①甲气球上升过程
中y与x之间的关系式为y=2x十5；②10min时，甲气球在乙气球上方；③当两只气球
高度差为15m时，上升时间为50min;④上升60min,乙气球距离地面高度为40m。其
中错误的有
。(填序号)
强化提高
7.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉。
当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点。
用51,52分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合
的是()。
B
D第四章一次函数
4 一次函数的应用（第3课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第四章“一次函数”第四节的第3课时。作为前两个课时的延续，本节课主要是利用两个一次函数的图象信息解决生活中的实际问题。与第2课时相似，教材注重引导学生从函数图象中获取有效信息解决实际问题，深入理解图象交点的实际意义，并比较不同的k与b所代表的实际意义。本课时旨在引导学生利用两个一次函数的图象信息分析和解决较为复杂的实际问题，着重体现数形结合思想，进一步发展学生的几何直观、模型观念和应用意识。同时，为后续学习利用图象法求解二元一次方程组奠定基础。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：在前面的学习中，学生已经掌握了一次函数的基本概念、性质及图象特征，能解决与一次函数相关的简单实际问题。能从一次函数图象中获取有效信息，初步运用一次函数图象分析解决实际问题。
学生活动经验基础：在前期探究活动中，学生已学会运用一次函数图象解决实际问题，具备了一定的数学转化能力。在具体情境下解决问题时，学生能体会k，b所代表的实际意义，并初步建立了数与形之间的对应关系。然而，学生获取和利用图象信息解决实际问题的能力仍需进一步提升。本节课将继续引导学生通过探究活动，提高运用一次函数图象解决实际问题的能力。
三、教学目标
1.进一步培养识图能力，提升通过函数图象获取有效信息，并解决简单实际问题的能力。
2.在函数图象信息获取过程中，进一步培养数形结合意识，发展几何直观。
3.在解决问题过程中，建立知识间的联系，进一步发展分析问题、解决问题的能力，深化数学模型观念。
4.通过对实际问题的解决，进一步体会数学与人类生活的密切联系，增强应用意识。
教学重点：通过函数图象获取信息，建立知识间的联系，解决简单的实际问题。
教学难点：通过函数图象获取信息，建立知识间的联系，解决简单的实际问题。
四、教学过程设计
【第一环节】情境引入
1.活动内容
如图1，l1表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系。
根据图象填空：
（1）当销售量为2 t时，销售收入为___________元，销售成本为___________元。
（2）当销售量为6 t时，销售收入为___________元，销售成本为___________元。
（3）当销售量___________时，销售收入等于销售成本。
（4）当销售量_________时，销售收入大于销售成本，该公司赢利；当销售量__________时，销售收入小于销售成本，该公司亏损。
（5）当销售量为___________t时，该公司赢利1 000元。
（6）l1对应的函数表达式是___________，l2对应的函数表达式是___________。
（7）你能借助（6）的结论求解（5）吗？
2.活动目的
通过精心设计问题串，引导学生根据实际问题建立适当的一次函数模型，利用函数图象的特征解决实际问题。在此过程中，既培养学生从图象中获取信息、分析问题与解决问题的能力，增强其学习的自主意识，又渗透数形结合的思想方法，进一步发展学生的几何直观和应用意识。
3.注意事项
教师应着重引导学生通过观察函数图象提取有效信息并解决实际问题，增强对一次函数y＝kx+b中k，b实际意义的理解。问题（5）和（6）有一定难度，需注意引导学生观察函数图象与纵轴交点的纵坐标以确定b，进而确定k；也可根据学生的理解情况，先确定k再确定b。解决问题（7）时，需有意识地引导学生运用函数表达式解决问题，为后面问题的解决做好铺垫。
【第二环节】思考交流
1.活动内容
思考·交流
图1中，设l1对应的一次函数为y＝k1x＋b1，k1和b1的实际意义各是什么？设 l2对应的一次函数为y＝k2x＋b2，k2和b2的实际意义各是什么？与同伴进行交流。
2.活动目的
使学生进一步认识到，k与b在实际问题中有特定的含义，这有助于帮助学生从函数图象上分析图象与k，b之间的关联，也为学生结合k，b的实际意义确定函数表达式奠定基础。
3.注意事项
图1涉及两个一次函数，要引导学生明确交流的是哪个函数，以防混淆。
【第三环节】深入探究
1.活动内容
例 图2是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图3中l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系。
假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题：
（1）哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？
（2）甲和乙哪个人的速度快？
（3）30 min内甲能否追上乙？
（4）到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？
（5）设l1与l2对应的两个一次函数分别为s＝k1t＋b1与s＝k2t＋b2，k1，k2的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？
2.活动目的
本题难度较前面题目有所提升，题中两个函数图象画出的部分没有相交。若需从图象角度解决问题，则需引导学生依据函数性质合理延长图象。通过对本题的探究，进一步培养学生良好的识图能力和综合运用知识解决问题的能力，体会数与形的关系，有效建立函数图象、函数表达式与实际问题之间的联系。
3.注意事项
本题文字阅读量较大，部分学生在理解上可能存在困难，教师应带领学生阅读、分析问题，问题（1）到问题（4）可以直接从函数图象上观察，解决问题的重点落在对函数图象的识别与理解上，进一步熟悉用图象法解决实际问题的过程。问题（5）需引导学生利用函数表达式解决问题。在解决问题的过程中，鼓励学生运用多种方法解决问题，并体会用图象法和表达式法解决问题的优劣。
【第四环节】反馈练习
1.活动内容
A，B两地相距80 km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地。l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离与乙出发后的时间之间的关系。对于以下说法：
①乙出发1 h后甲才出发；
②两人相遇时，他们离开A地20 km；
③甲的速度是40 km/h，乙的速度是13 km/h；
④当乙出发2 h时，两人相距 km。
其中正确的结论是（　　）。
A.①②③ B.②③④
C.①②④ D.①③④
2.活动目的
巩固并应用图象法和表达式法解决问题。
3.注意事项
在解决问题的过程中，对学生的回答，教师应给予点评。对回答问题暂时有困难的学生，教师应帮助他们树立解决问题的信心。
【第五环节】回顾反思
1.活动内容
回顾·反思
回顾应用一次函数解决问题的过程，你对不同解决方法有什么体会？
本节课我们学习了一次函数的应用，在运用一次函数解决实际问题时，可以直接从函数图象中获取有效信息从而解决问题；也可以设法得出各自对应的函数表达式，然后借助表达式通过计算解决问题。通过列函数表达式解决问题时，一般首先判断函数表达式的特征，如两个变量之间是不是一次函数关系。当确定是一次函数关系时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果。用图象法解决实际问题更直观，用表达式法解决实际问题更准确。
2.活动目的
引导学生自己总结运用一次函数解决实际问题的主要方法。
3.注意事项
让学生畅所欲言，相互进行补充，尽量用学生自己的语言进行归纳总结。
【第六环节】作业布置
1.活动内容
完成教科书习题4.4第10~12题。
2.活动目的
作业选自教科书习题4.4，第10题旨在学生直接运用所学方法解决问题；第11题则需要学生综合运用所学知识和方法，画出图象后再解决问题；第12题对学生的能力要求上有所提升，通过对图象赋予实际背景，发展学生的几何直观。通过有梯度的作业设计，由浅入深，一步步引导学生利用图象分析问题、解决问题，提高学生解决实际问题的能力。
五、教学设计反思
1.设计理念
函数是刻画现实世界变化规律的一个重要模型，也是初中阶段数学学习的关键内容。在本节课教学设计中，进一步体现了“启发—合作—探究”的模式。引导学生从实际问题中抽象出一次函数，并利用两个一次函数的图象解决实际问题。本节课不仅复习了图象与y轴交点以及k，b的实际意义，更突出强调了图象交点的实际意义，以及不同k，b之间的比较，发展了学生的几何直观、模型观念和应用意识。
2.突出重点、突破难点的策略
本节课是在学生已经掌握了一次函数的图象和有关性质的基础上，对相关知识进行的应用和拓展。在教学过程中，教师首先创设了“产品的销售成本与销售量”的问题情境，设计了由浅入深的问题串，激发学生的学习兴趣，并引导学生进行探究活动。在探究活动中，引导学生运用两个一次函数图象协同解决问题。通过师生互动、生生互动，关注学生解决问题的过程，鼓励学生运用多种方法解决问题，提高学生解决实际问题的能力，从而落实本节课的教学重点。
通过情境引入问题进行铺垫，自然过渡到更具挑战性的例题。在解决例题的过程中体会用图象法和表达式法解决问题的优劣，并从不同的角度感悟k，b所代表的实际意义，突破本节课的教学难点。
PAGE(共13张PPT)
第四章 一次函数
4 一次函数的应用（第3课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
如图1，l1表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系。
根据图象填空：
（1）当销售量为2 t时，销售收入为　 元，销售成本为 　元。
（2）当销售量为6 t时，销售收入为　 元，销售成本为　 　元。
（3）当销售量 　 时，销售收入等于销售成本。
（4）当销售量　 　时，销售收入大于销售成本，该公司赢利；当销售量 　 时，销售收入小于销售成本，该公司亏损。
2 000
3 000
6 000
5 000
等于4 t
大于4 t
小于4 t
情境引入
图1
根据图象填空：
（5）当销售量为 　 t时，该公司赢利1000元。
（6）l1对应的函数表达式是 　 　，l2对应的函数表达式是 　 　。
6
y＝1 000x
y＝500x＋2 000
（7）你能借助（6）的结论求解（5）吗？
解：根据题意，得l1－l2＝1 000，
即1 000x－(500x＋2 000)＝1 000，
解得 x=6。
情境引入
如图1，l1表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系。
图1
图1中，设l1对应的一次函数为y＝k1x+b1， k1和b1的实际意义各是什么？设l2对应的一次函数为y＝k2x+b2 ，k2和b2的实际意义各是什么？与同伴进行交流。
思考交流
图1
【思考·交流】
例 图2是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图3中l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系 。
（1）哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？
假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题：
解：当t＝0时，甲到观景台1的路程为0m，即s＝0，故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系。
深入探究
图3
图2
（2）甲和乙哪个人的速度快？
解：t从0增加到20时， l1上点的纵坐标增加了1 000，l2上点的纵坐标增加了600，即20 min内，甲行走了1 000 m，乙行走了600 m，所以甲的速度快。
假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题：
深入探究
图3
图2
例 图2是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图3中l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系 。
图3
图2
（3）30 min内甲能否追上乙？
解：如图4，延长l1，l2，可以看出，当t=30时，l1上的对应点在l2上对应点的下方，这表明，30 min时甲尚未追上乙。
假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题：
深入探究
图4
例 图2是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图3中l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系 。
（4）到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？
解：在图4中，l1与l2的交点P的纵坐标小于（800＋1 300＝）2 100，这说明，甲能在到达景观台3前追上乙。
假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题：
深入探究
图4
图3
图2
例 图2是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图3中l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系 。
（5）设l1与l2对应的两个一次函数分别为s＝k1t＋b1与s＝k2t＋b2，k1，k2的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？
解：k1表示甲的速度，k2表示乙的速度。甲的速度为50 m/min，乙的速度为30 m/min。
假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题：
深入探究
图3
图2
例 图2是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图3中l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系 。
1．A，B两地相距80 km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地。l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离与乙出发后的时间之间的关系。对于以下说法：
①乙出发1 h后甲才出发；
②两人相遇时，他们离开A地20 km；
③甲的速度是40 km/h，乙的速度是13 km/h；
④当乙出发2 h时，两人相距 km。
其中正确的结论是（　　）。
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
C
反馈练习
回顾应用一次函数解决问题的过程，你对不同解决方法有什么体会？
回顾反思
【回顾·反思】
完成教科书习题4.4第10~12题。
作业布置
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