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第五章 二元一次方程组
1认识二元一次方程组
学习任务分析
方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，其本质是联系已知量和未知量之间的关系，借助已知量，求出未知量。二元一次方程是方程的一个重要类型，获得其概念要经历从特殊到一般的抽象概括的过程，进而建立二元一次方程（组）的模型。“认识二元一次方程组”是北师大版初中数学八年级（上册）第五章“二元一次方程组”的第一节，由于本节课是章节起始课，所以要重点引导学生明白为什么要学习这个新的方程模型，在概念引入时，可以采用实例引入和类比教学相结合的教学方法，帮助学生体会到学习本节课的必要性。同时，《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生能根据现实情境理解方程的意义，能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型。因此，本节课选择了贴近学生生活的实例，帮助学生建立二元一次方程和二元一次方程组的概念，引导学生在具体问题中探索数量关系，体会模型思想。
学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在七年级已经初步建立了方程的概念，学习了什么是一元一次方程，可以类比一元一次方程的“元”和“次”去发现和认识二元一次方程的概念。
学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经具有在实际情境中寻找等量关系的经验，会设一个未知数并列出方程，初步感受模型思想，积累了利用方程解决实际问题的经验。学生在之前已经学习了大量的数学概念，对数学概念的建立并不陌生，尤其是在学习一元一次方程时，学生已经经历过从具体情境中抽象出一元一次方程概念的过程，具备初步的建模思想。
教学目标
通过对实际问题的分析，能列出二元一次方程及二元一次方程组。感受学习二元一次方程的必要性和优越性，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型。
经历估计方程和方程组解的过程，理解二元一次方程和二元一次方程组的解的意义，并会判断一组数是不是某个二元一次方程或二元一次方程组的解。
培养学生在解决实际问题时，能从数学的角度发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力，体会数学与现实生活的联系。
教学重点：了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。
教学难点：从实际问题中建立二元一次方程（组），体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型。
四、教学过程设计
【第一环节】问题情境，引入方程
1.活动内容
（1）情境感知
小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植。已知小明栽种的绿植比小颖多2株，如果将小颖栽种的绿植减少1株，将小明栽种的绿植增加1株，那么小明栽种的绿植数量是小颖的2倍。
①这个情境涉及哪些量？
②这些量之间有怎样的等量关系？请用文字语言列出等量关系。
③设小明栽种了x株绿植，小颖栽种了y株绿植，由此你能得到怎样的方程？
（2）尝试·思考
周末，小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼，他们一共8人，买门票花了34元。已知每张成人票5元，每张学生票3元。
①这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
②设他们中有成人x人、学生y人，由此你能得到怎样的方程？
2.活动目的
在“情境感知”中，根据实际情境创设问题串，引导学生认识情境中的“量”，感知量与量之间的等量关系，并尝试引入未知数，建立方程，唤醒学生已有的认知经验。
在“尝试·思考”中，通过生活情境问题，引导学生提取信息获得等量关系，具体的过程是先用文字语言表示等量关系，再引入未知数，将等量关系转化为用方程表示。
3.注意事项
在“情境感知”教学中，教师要引导学生对种植问题进行自主探索，并尝试解决。解题过程中学生可能会使用一元一次方程的方法。教师要鼓励学生尝试用多种方法解决问题，使学生充分体会不同方法的特点。
在“尝试·思考”教学中，教师可以根据学生的生活实际和认知水平，创设更丰富、更贴近学生生活的现实情境，还可以请学生自行列举生活中与两个未知量相关的实际问题，充分体会方程的模型思想。
【第二环节】归纳共性，生成概念
1.活动内容
（1）观察·思考
在上面两个情境中，我们分别得到方程：和，以及和。
①观察这些方程，它们有什么共同特征？（提示：可以从等号左右两边代数式的特征、未知数的个数、未知数的次数等方面思考）
②你能类比一元一次方程的定义来归纳这类方程的定义吗？
（2）归纳概念
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。
强化理解：①含有两个未知数；②含有未知数的项的次数都是1；③是整式方程；④整理后两个未知数的系数不为0。
（3）辨析概念
问题1 下列方程中，是二元一次方程的有_______________。（填序号）
①；②；③；④；⑤；
⑥；⑦；⑧；⑨。
问题2 已知是关于x，y的二元一次方程，求a的值。
2.活动目的
通过对比所列的4个方程，引导学生观察两个问题中所得方程的共性，进而尝试归纳出二元一次方程的概念。学生大胆表达观察到的方程的共性特征，经历小组合作交流，提炼出类似“一个等式，两个未知数，未知数的项的次数都是1，整式方程”等共性，提高观察、归纳和表达的能力。
通过辨析概念进一步明晰二元一次方程的概念，掌握判断一个方程是否为二元一次方程的关键点。
3.注意事项
新的概念生成后一定要及时进行辨析，辨析的方式可以与之前学习的一元一次方程进行类比辨析，也可以采用正例与反例的对比辨析，还可以在解决实际问题中明确二元一次方程的概念。
【第三环节】思考交流，理解方程组
1.活动内容
（1）思考·交流
在上面的方程和中，x所表示的对象相同吗？y呢？与同伴进行交流。
方程和中，x，y所表示的对象分别相同。因此，x，y必须同时满足方程和。把它们联立起来，得
（2）观察归纳：像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。
强化理解：①方程组各方程中同一字母必须代表同一个量；
②二元一次方程组中的方程可以只含有一个未知数，但两个方程合起来有两个未知数；
③表示时需要加上大括号。
（3）辨析概念
在方程组：①②③④⑤
⑥中，是二元一次方程组的有_____________。（填序号）
2.活动目的
通过呼应情境问题，使学生认识两个方程中x，y的实际意义，其代表的对象分别相同，从而将两个方程组联立，形成一个方程组，进而自然地引出二元一次方程组的概念。本环节学生通过经历“自主归纳→对比认知→体会差异→深入理解”的探究过程，加深对二元一次方程组的定义的理解。
3.注意事项
这个环节要着重关注学生是否能区别二元一次方程和二元一次方程组的概念，并能用自己的话或者列举具体的实例进行说明。情境中所列举的两个方程组只是我们最常见的一类，事实上，共含有两个未知数的几个一次方程组成的一组方程，都是二元一次方程组。
【第四环节】对比理解，方程（组）的解
1.活动内容
（1）尝试·思考
①，满足方程吗？
②，满足方程吗？
③，满足方程吗？你还能找到其他x，y的值满足方程吗？
④通过上面问题总结：什么是二元一次方程的解？二元一次方程的解有什么特点？
归纳小结：使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。
强化理解：a.二元一次方程的每个解都是一对数值；
b.一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。（换言之，一个二元一次方程确定不了两个未知数。）
（2）类比迁移
①，满足方程吗？，呢？
②你能找到一组x，y的值，同时满足方程和吗？
③通过上面问题总结：什么是二元一次方程组的解？二元一次方程组的解有什么特点？
归纳小结：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。
（3）典型例题
①下列五组值中，是二元一次方程x－2y＝1的解是_________。
A. B. C. D. E.
②二元一次方程组的解是_________。
A. B. C. D.
（4）能力提升
①若关于x，y的方程组的解满足，则m的值为_________。
②a.找到几组满足方程的x，y的值。
b.找到几组满足方程的x，y的值。
c.找出一组x，y的值，使它们同时满足方程和。
d.根据上面的结论，你能直接写出二元一次方程组的解吗？
2.活动目的
基于原有的二元一次方程（组）建立方程（组）解的概念，从特殊的几组解出发，让学生理解二元一次方程解的不唯一性，掌握二元一次方程的解是有序数对。在此基础上，让学生进一步理解二元一次方程组的解需要同时满足方程组中的每个方程。这两者既有联系，也有区别。
3.注意事项
如果课堂教学中学生没有追问或者提出疑惑，这里建议不展开讨论二元一次方程组解的情况（唯一解，无解，无数组解）。
【第五环节】课堂小结
1.活动内容
（1）本节课我们学习了哪些知识？
（2）我们是如何认识二元一次方程和二元一次方程组的？
（3）类比一元一次方程，后续我们会继续研究二元一次方程组的哪些知识？
构建框架：
2.活动目的
先引导学生自己总结本节课的知识要点及数学思想、方法，教师再进行补充完善，使学生的知识系统化。
3.注意事项
在本环节中，教师要给予学生足够的空间让学生畅所欲言，用自己的话进行归纳总结，通过同伴间相互补充，完善总结。
【第六环节】作业布置
1.活动内容
（1）基础性作业：教科书习题5.1第1，2，3，4，5题。
（2）拓展性作业：
按一定规律排列方程组及其解如下：
①依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处。
②猜想第个方程组和它的解并进行验证。
③若方程组的解是求的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律。
2.活动目的
通过设计分层作业，让不同层级的学生都能得到发展。
五、教学设计反思
1.突出重点、突破难点的策略
本节课的教学采用“问题情境－建立数学模型－类比探究－应用拓展”的学习模式，引导学生在自主探索与合作交流的过程中建立二元一次方程组模型，逐步掌握数学基本知识和基本方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力。
同时，本节课通过建模呈现了研究方程的一般思路，为今后研究其他的方程(一元二次方程、分式方程)和不等式积累学习经验，提升学生核心素养。
最后，作为章节起始课，本节课重视学生的知识发展规律，注重单元教学理念，基于新课标，创造性地使用教材，科学地设计探究活动，深化学生对概念的理解。整个教学过程使学生真正体会到知识的自然发生和发展过程，整体感知二元一次方程组的单元知识结构，从而突破本节课的重难点。
2.评价方式
根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的评价理念，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，鼓励学生探索方式、表述方式和解题方法等多样化。在教学活动中，教师应关注学生的参与程度和表现出来的思维水平，如关注学生对二元一次方程（组）概念的理解水平和解决问题过程中的表述水平，学生对基本知识的掌握情况和应用二元一次方程（组）的概念解决问题的意识。教学中可通过学生的探究情况和对典型例题、能力提升等环节的完成情况，分析学生的认知水平和应用二元一次方程（组）的概念解决问题的意识和能力水平。对于学生的回答教师应给予恰当的评价和鼓励，帮助学生认识自我，建立自信，发挥评价的教育功能。(共21张PPT)
第五章 二元一次方程组
1 认识二元一次方程组
义务教育教科书 数学 八年级上册
问题情境，引入方程
小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植。已知小明栽种的绿植比小颖多2株，如果将小颖栽种的绿植减少1株，将小明栽种的绿植增加1株，那么小明栽种的绿植数量是小颖的2倍。
（1）这个情境涉及哪些量？
解：（1）涉及小明的绿植种植数量和小颖的绿植种植数量。
情境感知
问题情境，引入方程
（2）这些量之间有怎样的等量关系？
(2) ①小明栽种绿植的数量－小颖栽种绿植的数量＝2；
②小明栽种绿植的数量＋1＝2×（小颖栽种绿植的数量－1）。
小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植。已知小明栽种的绿植比小颖多2株，如果将小颖栽种的绿植减少1株，将小明栽种的绿植增加1株，那么小明栽种的绿植数量是小颖的2倍。
情境感知
问题情境，引入方程
情境感知
（3）设小明栽种了x株绿植，小颖栽种了y株绿植，由此你能得到怎样的方程？
(3) 和 。
小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植。已知小明栽种的绿植比小颖多2株，如果将小颖栽种的绿植减少1株，将小明栽种的绿植增加1株，那么小明栽种的绿植数量是小颖的2倍。
问题情境，引入方程
周末，小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼，他们一共8人，买门票花了34元。已知每张成人票5元，每张学生票3元。
（1）这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
（2）设他们中有成人x人、学生y人，由此你能得到怎样的方程？
解： (2) 和 。
【尝试·思考】
归纳共性，生成概念
在上面两个情境中，我们分别得到方程：
① ；② ；③ ；④ 。
观察这些方程，它们有什么共同特征？
二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。
归纳概念
【观察·思考】
2
辨析概念
①含有2个未知数；
②未知数的项的次数都是1；　
③是整式方程；
④整理后两个未知数系数不为0。
（1）下列方程中，是二元一次方程的有____________。（填序号）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨ 。
②④⑧⑨
归纳共性，生成概念
（2）已知 是关于 x，y 的二元一次方程，求 a 的值。
解：∵ 是关于 x，y 的二元一次方程，
∴ 且 ，
∴ 。
归纳共性，生成概念
思考交流，理解方程组
【思考·交流】
在上面的方程 和 中，x 所表示的对象相同吗？y 呢？与同伴进行交流。
二元一次方程组：
像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。
①方程组各方程中同一字母必须代表同一个量；
②二元一次方程组中的方程可以只含有一个未知数，但两个方程合起来有两个未知数；
③表示时需要加上大括号。
观察归纳
思考交流，理解方程组
在方程组：① ② ③ ④ ⑤
⑥ 中，是二元一次方程组的有_________。（填序号）
①②③
辨析概念
思考交流，理解方程组
对比理解，方程（组）的解
（2） ， 满足方程 吗？
（1） ， 满足方程 吗？
（4）通过上面问题总结：什么是二元一次方程的解？二元一次方程的解
有什么特点？
【尝试·思考】
（3） ， 满足方程 吗？你还能找到其他 x，y 的值满足 吗？
使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。
①二元一次方程的每个解都是一对数值；
②一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。
(换言之，一个二元一次方程确定不了两个未知数。)
对比理解，方程（组）的解
（1） ， 满足方程 吗？
， 呢？
（2）你能找到一组 x，y 的值，同时满足方程 和 吗？
（3）通过上面问题总结：什么是二元一次方程组的解？二元一次方程组的解
有什么特点？
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。
例如， 就是二元一次方程组 的解。
类比迁移
对比理解，方程（组）的解
（1）下列五组值中，是二元一次方程 的解是_____________。
A.
B.
C.
D.
E.
BCD
典型例题
对比理解，方程（组）的解
A.
B.
C.
D.
（2）二元一次方程组 的解是_________。
对比理解，方程（组）的解
C
1.若关于 x，y 的方程组 的解满足 ，则 m 的值为_________。
6
解： ①＋②得 ，
对比理解，方程（组）的解
能力提升
2.（1）找到几组满足方程 的 ， 的值。
（2）找到几组满足方程 的 ， 的值。
（3）找出一组 ， 的值，使它们同时满足方程 和 。
（4）根据上面的结论，你能直接写出二元一次方程组 的解吗？
对比理解，方程（组）的解
能力提升
课时小结
1.本节课我们学习了哪些知识？
2.我们是如何认识二元一次方程和二元一次方程组的？
3.类比一元一次方程，后续我们会继续研究二元一次方程组的哪些知识？
作业布置
1.基础性作业：教科书习题5.1第1，2，3，4，5题。
2.拓展性作业：
按一定规律排列方程组及其解如下：
（1）依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处。
（2）猜想第 n 个方程组和它的解并进行验证。
（3）若方程组 的解是 求 m 的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律。
谢谢<<<<<<<<第五章二元一次方程组
认识二元一次方程组
课堂精要·梳理内容
1.含有
个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的方程叫作二元一次方程。
2.共含有
个未知数的两个
方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。
3.使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程
的
解。
4.二元一次方程组中各个方程的
解，叫作这个二元一次方程组的解。
课堂精练·发屣能力
基础巩固
1.下列四个方程中，是二元一次方程的是()。
A.x-3=0
B.2.x-x=5
C.3xy-5=8
D+y=
2.给出下列方程组：
x+y=3,
①
2y=3.。③=0
3x-2y=1,
=1
2
②
.x-2y=1;1x+y=-2;9
④
⑤
其中是二元一次
12x-y=8:y+z=4;
二2。
3
方程组的有()。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（x=1,
x=一1，
3.若
和
都是某二元一次方程的解，则这个二元一次方程是()。
y=-2y=-4
A.x+2y=-3
B.2.x-y=2
C.x-y=3
D.y=3x-5
[5x-3y=8,
4.方程组
的解一定是方程
与
的公共解。
3x+8y=9
5.已知x4-3十2y+1=0是二元一次方程，则a十b的平方根是
x=2,
x十y=m,
6.若
是方程组
的解，则=
y=1
2x-y=6n
5x+2y=1
7.在括号内填写一个二元一次方程，使所成方程组
的解是=1，
则()
y=-2.
内应填
8.在3x十4y=9中，如果2y=6,那么x=
强化提高
9.【数学应用】学校开展社团活动，手工组需要将5m长的彩带截成2m或1m长的彩绳，
在不造成浪费的前提下，不同的截法有(
)。
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
x=-2,
10.与方程5x十2y=一9构成的方程组的解为
1的方程是(
y
2
A.x+2y=1
B.3x+2y=-8
C.5x+4y=-3
D.3x-4y=-8
11.如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE,∠BAD比∠BAE大48°。设∠BAD和
∠BAE的度数分别为x,y,那么x,y所适合的一个方程组是()。
(第11题)
A.y-x=48,
B.y-x=48,
y+x=90°
ly=2x
C.y-x=48,
x-y=48°，
D.
y+2x=90
x+2y=90
12.某小学组织师生共360人参加公园游园活动，有A,B两种型号的客车可供租用，A,B
两种客车载客量分别为45人、30人。要求每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公
园的租车方案有(
)。
A.3种
B.4种
C.5种
D.6种
13.已知x=2,y=k既满足二元一次方程x十2y=4,又满足二元一次方程2ax十y=13,求
a的值。

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