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第五章 二元一次方程组
3 二元一次方程组的应用（第1课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
情境引入
情境感知
《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉兔各几何？
情境引入
（1）这个问题涉及哪些量？
（2）这些量之间有怎样的等量关系？
（3）你能列方程组解决这个有趣的问题吗？你是怎么做的？与同伴进行交流。
探索交流
《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉兔各几何？
方法一：列二元一次方程组
解：设笼中有鸡x只、兔y只，
根据以上分析，得方程组
，
。
解这个方程组，得
，
。
所以，笼中有鸡23只、兔12只。
你能用一元一次方程或小学的算术方法求解这个问题吗？
情境引入
方法二：算术法
解：若笼中全部是鸡，
那么脚共有35×2＝70（只）。
这样就多出94－70＝24（只）脚，
所以兔就有24÷2＝12（只）。
那么鸡就有35－12＝23（只）。
情境引入
解：设笼中有鸡x只，则兔有(35－x)只，
由题意，得
2x＋4(35－x)＝94。
解得x＝23。
35－23＝12（只），
所以，笼中有鸡23只、兔12只。
方法三：列一元一次方程
情境引入
你觉得以上方法有什么区别和联系？
情境引入
探索新知
列方程组求解下面的问题：
若甲从乙处得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍；若乙从甲处得到5第纳尔，则乙拥有的第纳尔是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？[ 选自意大利数学家斐波纳奇（Leonardo Fibonacci，约1170一约1240）的《计算之书》]
（1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
（2）你能列方程组解决这个问题吗？你是怎么做的？
（3）你能用一元一次方程或小学学过的算术方法求解吗？你觉得哪种方法更简单？
【尝试·思考】
探索新知
若甲从乙处得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍；若乙从甲处得到5第纳尔，则乙拥有的第纳尔是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？
解：设甲原来拥有x第纳尔，乙原来拥有y第纳尔，根据题意，得
，
。
解这个方程组，得
，
。
所以，甲原来拥有第纳尔，乙原来拥有第纳尔。
典例精析
例1 今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问：甲、乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》）
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱？
思考：题目中有哪些等量关系？你能用含未知量的式子表示这些等量关系吗？
典例精析
例1 今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问：甲、乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》）
解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，
根据题意，得
，
。
解这个方程组，得
，
。
所以，甲带了38钱，乙带了18钱。
列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系？与同伴进行交流。
典例精析
【思考·交流】
1. 今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。问：牛、羊各直金几何？（选自《九章算术》）
题目大意：5头牛、2只羊共值10两“金”；2头牛、5只羊共值8两“金”。每头牛、每只羊各值多少“金”？
迁移应用
解：设牛直金x两，羊直金y两，根据题意，得
解这个方程组，得
所以，牛直金 两，羊直金。
，
。
，
。
2. 今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺。问：井深及绳长各若干？（选自《算法统宗》）
题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺。绳长、井深各是多少尺？
迁移应用
2. 今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺。问：井深及绳长各若干？（选自《算法统宗》）
迁移应用
解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意，得
解这个方程组，得
所以，绳长36尺，井深8尺。
，
。
，
。
课堂小结
1.解决现实问题的常用思路有哪些？分别体现了什么数学思想？
2.列方程解决实际问题的基本路径是怎样的？
课堂小结
列二元一次方程组解决实际问题的过程是怎样的？
作业布置
1.基础性作业：
习题5.3 第4，5，6，14题。　
2.拓展性作业：
阅读课后拓展资源，进一步了解“雉兔同笼”的前世今生，体会“雉兔同笼”问题的文化价值。
谢谢第五章 二元一次方程组
3 二元一次方程组的应用（第1课时）
一、学习任务分析
列二元一次方程组解决简单的实际问题，是代数领域的一个重要内容，也是数学联系现实生活的一个重要方面。本节课通过创设丰富的情境，引导学生经历从实际问题中抽象出二元一次方程（组）的过程，通过解方程（组）解决实际问题，进一步提高学生的应用意识和问题解决能力。
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第五章“二元一次方程组”第3节第1课时，以经典的“雉兔同笼”问题为背景，引导学生经历用算术方法、一元一次方程以及二元一次方程组解决实际问题的过程。通过对比分析，体会用二元一次方程组建立模型解决实际问题的必要性和重要价值，并在用二元一次方程组解决实际问题的过程中总结一般性策略。因此，在学习过程中应更多的关注对算术方法、列一元一次方程和列二元一次方程组等方法的意义理解与对比分析，以及在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养列方程组解决现实问题的意识和能力。同时，将解方程组的技能与实际问题的解决融为一体，进一步提高学生借助方程组解决实际问题的能力。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：在学习本节课之前，学生已经学习了二元一次方程（组）的概念及解法，以及列二元一次方程组解应用题的部分内容，能正确地分析和理解现实问题的题意，并厘清简单的已知量和未知量之间的数量关系，初步具备了用方程组解决简单实际问题的能力。
学生的活动经验基础：在小学阶段，学生学习过用算术方法解决“雉兔同笼”的问题，积累了一定的分析实际问题的经验。在七年级上册，学生通过对一元一次方程及应用的学习，积累了一定利用方程模型解决实际问题的经验，掌握了解决现实问题的基本思想和方法。
三、教学目标
1.能分析简单实际问题中的数量关系，建立方程组解决问题。
2.经历和体验列方程组解决实际问题的过程，积累利用二元一次方程组解决实际问题的一般策略，体会方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和模型意识。
教学重点：能分析简单问题中的数量关系，建立方程组解决问题。
教学难点：理解用算术方法、一元一次方程与二元一次方程组解决实际问题的差异，体会用二元一次方程组解决实际问题的价值意义及一般策略。
四、教学过程设计
【第一环节】情境引入
1.活动内容
《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉兔各几何？
（1）这个问题涉及哪些量？
（2）这些量之间有怎样的等量关系？
（3）你能列方程组解决这个有趣的问题吗？你是怎么做的？与同伴进行交流。
追问：你能用一元一次方程或小学的算术方法求解这个问题吗？
2.活动目的
以中国经典的“雉兔同笼”问题为例引入课题，为梳理算术方法、一元一次方程和二元一次方程组之间的关系埋下伏笔，激发学生的学习积极性，增强学生的文化自信。
通过问题串引领，启发学生从实际问题中获取关键信息，思考、分析问题中包含的量及等量关系，并引导学生从算术方法，一元一次方程及二元一次方程组等多种方法尝试解决问题。
3.注意事项
在解决实际问题的过程中引导学生分析问题中包含的等量关系。
“雉兔同笼”问题对很多学生来说并不陌生，学生在小学阶段或在学习一元一次方程时可能就研究过这一问题。教学时，教师可以鼓励学生列一元一次方程或用小学学过的算术方法求解，并对解决这一问题的不同方法进行比较，思考这些方法之间的区别和联系。
【第二环节】探索新知
1.活动内容
尝试·思考
列方程组求解下面的问题：
若甲从乙处得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍；若乙从甲处得到5第纳尔，则乙拥有的第纳尔是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？[选自意大利数学家斐波纳奇（Leonardo Fibonacci，约1170一约1240）的《计算之书》]
（1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
（2）你能列方程组解决这个问题吗？你是怎么做的？
（3）你能用一元一次方程或小学学过的算术方法求解吗？你觉得哪种方法更简单？
2.活动目的
以问题串的形式引导学生层层递进地厘清题目中的数量关系，通过对等量关系和未知量的分析，引导学生体会设两个未知数相较于设一个未知数，在数学表达和降低思维难度上的优越性，进一步强化用二元一次方程组解决实际问题的价值与意义，同时帮助学生在问题解决的过程中形成建立方程组的策略，从而提高学生分析问题和解决问题的能力，发展学生运用数学解决问题的意识。
3.注意事项
此问题为古算题，计算结果为分数，为保留古算题的原貌，在数据上可向学生作简单说明。
【第三环节】典例精析
1.活动内容：
例1 今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问：甲、乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》）
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱？
追问：题目中有哪些等量关系？你能用含未知量的式子表示这些等量关系吗？
回顾以上几个问题的解决过程，思考：
列二元一次方程组解决实际问题的基本思路和策略是什么？与同伴进行交流。
思考·交流
列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系？ 与同伴进行交流。
2.活动目的
例1在新知应用的基础上，用中国古算题进一步巩固利用二元一次方程组解决实际问题，强化建立方程组的策略，提高学生分析问题和解决问题的能力，发展学生运用数学模型解决问题的意识。
“思考·交流”要求学生结合本节课的学习，思考列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题之间的区别和联系，力图让学生体会学习二元一次方程组的必要性和优越性，逐步形成对相关学习内容的结构化认识。
3.注意事项
例1为古算题，需要学生先理解题意，再从实际情境中抽象出数学模型，并利用二元一次方程组解决问题。
在“思考·交流”环节需要让学生感受到，列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题的基本思路、基本思考策略是一致的，如都需要分析问题中涉及的各种量，以及量与量之间的等量关系，并抓住主要等量关系。它们的主要区别在于所设未知数的个数不同：列二元一次方程组解决问题需要设两个未知数，列两个方程；列一元一次方程解决问题只需要设一个未知数，列一个方程。从理论上讲，可以列二元一次方程组解决的问题都可以列一元一次方程解决；但对一些问题来说，列二元一次方程组的思考过程比较直接、容易，而列一元一次方程的思考过程则相对比较复杂。此环节可以让学生先独立思考，再通过小组交流、全班分享的方式，让学生体会如何在合作交流中学习反思，形成策略，建构并逐步完善自我认知体系。
【第四环节】迁移应用
1.活动内容
（1）列方程组进行求解古算题：
今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。问：牛、羊各直金几何？（选自《九章算术》）
题目大意：5头牛、2只羊共值10两“金”；2头牛、5只羊共值8两“金”。每头牛、每只羊各值多少“金”？
（2）今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺。问：井深及绳长各若干？（选自《算法统宗》）
题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺。绳长、井深各是多少尺？
2.活动目的
通过两道古算题的应用，让学生体会如何建立二元一次方程组解决实际问题，通过学生自主寻求相关数学模型，突出方程组作为数学模型应用的广泛性和有效性，在对本节课知识方法进行巩固的同时进一步发展学生分析问题和解决问题的能力。古算题的设定可以对学生渗透我国优秀的数学文化，体现中华民族的智慧。
3.注意事项
这两道题的类型与前面的“雉兔同笼”和典例精析的古算题既有相似，又有变化，可以促使学生在不同的、变化的情境中灵活运用所掌握的知识方法解决问题，提升学生的问题解决能力。
【第五环节】课堂小结
1.活动内容
（1）解决现实问题的常用思路有哪些？分别体现了什么数学思想？
（2）列二元一次方程组解决实际问题的过程是怎样的？
引导学生回顾总结列二元一次方程组解决实际问题的过程，使学生理解其本质即是利用等量关系建立数学模型解决问题的过程。因此，列方程的过程实际就是建立数学模型的过程。
2.活动目的
回顾本节课所学的基本知识、基本技能和基本方法，同时对学生进行结构化提炼，渗透建立数学模型解决现实问题的基本思想，发展学生的模型思想和应用意识。
3.注意事项
此环节可让学生先独立思考，再小组交流，最后全班交流分享，建构出本节课内容的认知结构和问题解决策略。
【第六环节】布置作业
1.活动内容
基础性作业：习题5.3 第4，5，6，14题。　
拓展性作业：阅读课后拓展资源，进一步了解“雉兔同笼”的前世今生，体会“雉兔同笼”问题的文化价值。
2.活动目的
设置不同层次的作业，满足不同学生的发展需求。
3.注意事项
拓展性作业为长作业，可以采用个人独立完成或小组合作完成的方式进行。在学生作业完成后，教师要注意对长作业的收集和反馈。
五、教学反思
1.尊重教材、理解教材、深挖教材
北师大版教材在设计时为教学提供了大量的素材，同时也给教师留下较大的发挥空间。以本节课为例，教材的素材设计合理且目标明确，大量选择古算题，突出了数学的历史文化价值。因此，在进行本节课设计时，应充分利用这一特点，通过挖掘古算题的文化价值，体现数学学科的育人价值。同时，“雉兔同笼”问题是对小学相关内容学习的进一步延伸，教师应该理解教材的螺旋上升理念，从单元整体视角挖掘其中的关联性，突出数学知识的来龙去脉，在小学的算术学习基础上，引导学生自然地过渡到利用方程思想解决实际问题，并通过对比分析，使学生体会算术方法的巧妙性和局限性以及方程思想的价值与优越性，同时体会方程组作为数学模型应用的广泛性和重要性，真正实现对教材的深度理解和挖掘。
2.关注学生思维过程，将隐性思维显性化
本节课的素养目标在于让学生经历和体验列方程组解决实际问题的过程，明确方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和模型意识。因此，本节课通过问题串的形式，层层深入地引发学生思考，使学生的思维过程外显，从而清晰地展现从算术思维到方程思想的自然过渡。同时，引导学生通过分析题目中的已知与未知，数量间的等量关系等方法实现模型建构，将实际问题解决的过程转化为建模、解模的过程，形成解决实际问题的一般性策略。在整个学习过程中，教师应给予学生充分的课堂分享交流空间，通过引导、启发、组织交流等方式，使学生主动参与，积极思考，从而获得将深度思考的思维过程显性化体验。
PAGE<<<<<<<<第五章二元一方程组
二元一次方程组的应用（第1课时）
课堂精要·梳理内容
1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：审题、
、列方程组、解方
程组、
2.鸡兔同笼问题：鸡的只（头）数十兔的只（头）数=
鸡的只（头）数×
十兔的只（头）数×
=脚的总数。
鸟空珠家汉刀
基础巩固
1.为了开展阳光体育活动，丰富同学们的课余生活，体育委员到体育用品商店购买羽毛球
拍和乒乓球拍。若购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍一共需要50元，体育委员一共用
320元购买了6副羽毛球拍和10副乒乓球拍，设每副羽毛球拍x元，每副乒乓球拍y元，
可列二元一次方程组为()。
A.r+y=50,
x+y=50,
B.
6.x+10y=320
6(x+y)=320
C.+y=50,
x+y=50,
D.
6x+y=320
10x+6y=320
2.甲、乙两人各带了若干钱。甲说得乙九钱，我钱是乙二倍整。乙说得甲八钱，两人钱数正
相当。设甲带了x钱，乙带了y钱，则下列方程组正确的是(
)。
x+9=2(y-9)
2(x+9)=y-9
A.
B.
y+8=x-8
y+8=x-8
x+y=y-9
C.
2
[x+y=2(y-9)
D.
y-8=x十8
y-8=x-8
3.陈老师打算购买气球装扮活动会场，已知气球有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，
但同一种气球的价格相同。由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位。第一、
二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为()。
14元
18元
元
(第3题)
A.19元
B.18元
C.16元
D.15元
么 人年级上R
4.已知马四匹，牛六头，共价白银四十八两；马三匹，牛五头，共价白银三十八两。则马一匹
的价格是
白银，牛一头的价格是
白银。（两为古代货币单位）
5.某旅行社组织甲、乙两个公司的部分员工赴某景点游览，其中预订的一类门票、二类门票
的数量和所花费用如下表：
类门票/张
二类门票/张
费用/元
甲公司
1800
乙公司
6
1600
根据上表给出的信息，求一类门票和二类门票的单价。
强化提高
6.为了改善全县中小学办学条件，某县教育局计划集中采购一批电子白板和投影机。已知
购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机一共需
要44000元，则购买1块电子白板和1台投影机分别需要()。
A.4000元、8000元
B.8000元、4000元
C.14000元、8000元
D.10000元、12000元
7.古代有这样一则寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物的质
量都一样，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨什么？如果你给我一袋，那我所负担的就
是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来驮的货物袋数
是()。
A.5
B.6
C.7
D.8
8.已知在一场篮球比赛中，小明两分球和三分球一共投进了25个，两项一共得57分。若
设他分别投中了x个两分球和y个三分球，可得二元一次方程组
9.阅读诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数；两只栖一树，三只没去处：三只栖一树，闲了两棵树；
请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的鸦有多少只？树有多少棵？
一2

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