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第五章 二元一次方程组
3二元一次方程组的应用（第2课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第五章“二元一次方程组”第三节第2课时，本节课旨在引导学生进一步掌握用二元一次方程组解决实际问题的步骤和方法。与上节课相比，本课所涉及的实际问题中等量关系更为隐蔽，难以直接得出，需要借助表格进行分析梳理，进而准确建立二元一次方程组。学生将在探究与合作的过程中，逐步掌握借助表格辅助分析数量关系、建立方程组的解题策略。因此，教师需同时关注两方面：一是学生运用方程组模型解决问题的能力，二是其对表格分析方法的掌握情况。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：在本节课之前，学生已系统学习二元一次方程（组）的概念、解法，以及部分应用题的列式与求解方法。他们能够准确分析题意，梳理简单数量关系中的已知量与未知量，初步具备运用方程组解决简单实际问题的能力，为本节课内容的学习奠定了扎实的知识和技能基础。
学生的活动经验基础：七年级阶段，学生通过学习一元一次方程及其应用，积累了运用方程模型解决实际问题的经验，初步形成了这类问题解决的基本思想方法。
三、教学目标
1.能借助表格分析较为复杂问题中的数量关系，进而建立并求解二元一次方程组。
2.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，深化对方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效数学模型的认识，发展模型思想和模型意识。
教学重点：借助表格分析复杂数量关系，建立方程组解决实际问题。
教学难点：寻找等量关系。
四、教学过程设计
【第一环节】创设情境，建立模型
1.活动内容
某工厂前年的总利润（总收入－总支出）为200万元。去年的总收入比前年增加了20%，总支出比前年减少了10%，去年的总利润为780万元。前年的总收入、总支出各是多少万元？
（1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
（2）你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流。
2.活动目的
通过创设现实情境，激发学生学习兴趣，引导学生在问题解决中初步形成运用表格梳理关键信息的意识。同时，复习增长（降低）率模型：a(1±x)＝b（其中a为基数，x为增降率，b为目标数；“＋”表示增长，“－”表示降低）。此环节将解二元一次方程组的技能训练自然地融入实际问题的解决过程中。通过对比直接设未知数与间接设未知数两种方法，引导学生理解：在列方程组时，应优先选择思维难度和计算难度较低的未知数设法。
3.注意事项
通过合作探究，学生对增长（降低）率模型、解方程组的技能以及运用表格梳理已知量与未知量关系的方法形成了系统性认知，明确了本课的核心知识与能力要求。在方法类比的过程中，学生进一步掌握建立方程组模型的技巧，再次体会运用表格梳理题目中的关键信息，能有效揭示数量间的内在联系和规律。
【第二环节】迁移应用，深化理解
1.活动内容
例 医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品。每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？
分析：设每餐用甲原料x g、乙原料y g，则有
成分 甲原料x g 乙原料y g 所配制的营养品
其中所含蛋白质 0.5x 0.7y 35
其中所含铁质 x 0.4y 40
解：设每餐用甲原料x g、乙原料y g，根据题意，得
解这个方程组，得
所以，每餐用甲原料28 g、乙原料30 g可以恰好满足患者的需要。
思考·交流
在列方程组解决问题时，如何梳理其中的关键信息？对此你有哪些心得体会？与同伴进行交流。
利用表格梳理题目中的关键信息，是一种常用的方法。通过观察和分析表格中的数据和关系，易于找出数量间的内在联系和规律。
2.活动目的
通过例题教学，提高学生运用二元一次方程组解决实际问题的意识和能力。引导学生初步掌握设计恰当的表格厘清题目中数量关系的方法，形成建立方程组的有效策略，从而提升学生分析问题与解决问题的能力。借助关联情境，培养学生运用数学解决现实问题的意识。
“思考·交流”环节引导学生结合列方程组解决问题的实践活动，总结分析数量关系的经验，提升分析问题与解决问题的能力。
3.注意事项
本课时中，学生通过实践体会到设计表格可以更好地明晰题目中各个量之间的关系，逐步形成借助表格梳理题目中关键信息的意识。在教学中，应引导学生充分体会利用表格梳理数量之间的关系，有效促进将具体问题抽象为方程组这一转化过程，并深化对“审题→列表→建立方程（组）”这一结构化问题解决流程的理解。
【第三环节】练习巩固，反馈矫正
1.活动内容
尝试完成以下问题：
（1）甲、乙两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%。如果甲班学生的体育达标率为87.5%，乙班学生的体育达标率为75%，那么甲、乙两班各有多少名学生？
（2）某一天，蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40 kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价见下表：
价格 黄瓜 茄子
批发价/（元/kg） 2.4 2
零售价/（元/kg） 3.6 2.8
他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少元？
2.活动目的
鼓励学生自主探索并建立相关数学模型，激发学生发现与提出问题的能力。通过巩固性练习，进一步发展学生分析问题与解决问题的能力。
3.注意事项
引导学生在多样化情境中掌握借助表格梳理关键信息的方法，提高策略化解决问题的能力。
【第四环节】总结归纳，形成联结
1.活动内容
通过学习，反思以下问题：
（1）列方程组解决实际问题的过程中，你借助了什么工具进行分析？
（2）利用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤有哪些？
2.活动目的
回顾本节课的基本知识、基本技能和基本方法，同时进行结构化提炼，从而渗透建立数学模型解决现实问题的基本思想，发展学生的模型思想和应用意识。
3.注意事项
通过师生互动交流本节课的收获，梳理本节课的知识结构，明晰其在数学学习体系中的定位与作用。
【第五环节】布置作业，迁移延伸
1.活动内容
（1）基础性作业：习题5.3第7，8，10题。
（2）发展性作业：查阅资料，进一步了解阿基米德与皇冠的故事，类比曹冲称象，感受其异同。
2.活动目的
设置分层作业，满足学生个性化的学习需求。
3.注意事项
关注学生是否能在实际问题中找到等量关系，并准确用数学符号语言进行表达。
五、教学反思
1.尊重教材，挖掘教材，延伸教材
北师大新版教材提供了丰富的素材与广阔的发挥空间。本课例中，教材素材设计合理、目标明确。在教学时，以一个大的情境串联核心内容，有效提升了学生的学习兴趣与参与度，优化了教学效果。此外，挖掘课后习题资源（如阿基米德与皇冠的故事等），实施跨学科融合（物理），引导学生了解数学文化、数学史，感悟科学精神。在教学的过程中，深度研读并创造性地使用教材是提升教学效能的关键。
2.明确核心知识，聚焦核心问题
本节课的核心任务是引导学生掌握借助表格分析复杂数量关系、进而建立方程组解决问题的策略。教学全程紧扣此核心，明确重点并非特定问题类型（如增长率问题、利润问题等）。同时，聚焦核心素养，通过学生主动参与列方程组解决实际问题的过程，深刻理解方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效模型，切实发展模型思想与模型意识。课堂教学中，教师需通过引导、启发、组织深度交流等方式，促进学生主动参与、积极思考，从而获得深刻的建模体验。<<<<<<<<第五章二元一次方程组
二元一次方程组的应用（第2课时）
课堂精要·梳理内容
1.计划量×(1+
)=增长后的量
计划量×(1
)=减少后的量
2.利润=总收入一
3.售价=进价十
=进价×(1+
=标价×打折率
4.利息=
×
×期数
本息和=
课堂精练·发展能力
基础巩固
1.买甲、乙两种纯净水一共用250元，其中甲种纯净水每桶8元，乙种纯净水每桶6元，乙种
纯净水的桶数是甲种纯净水的桶数的75%，设买甲种纯净水x桶，乙种纯净水y桶，则所
列方程组正确的是(
）。
8.x+6y=250,
8x+6y=250,
A.
B.
y=75%·x
x=75%·y
6x+8y=250,
6x+8y=250,
C.
D.
y=75%·x
x=75%·y
2.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，
调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%。若设甲、乙两种商品原来的单价
分别为x元、y元，则下列方程组正确的是(
)。
x+y=100,
A.
(1+10%)x+(1-40%)y=100×(1+20%)
x+y=100,
B.
(1-10%)x+(1+40%)y=100×20%
C.x+y=100.
(1-10%)x+(1+40%)y=100×(1+20%)
x+y=100,
D.
(1+10%)x+(1-40%)y=100×20%
-1
么 人年级上品
3.小李以两种形式一共储蓄3000元，一种储蓄的年利率为1%，另一种储蓄的年利率为
1.2%,一年后本息和为3033元，则两种储蓄的存款分别为()。
A.1000元、2000元
B.1500元、1500元
C.2000元、1000元
D.500元、2500元
4.王叔家去年种草莓的收入扣除各项支出后结余50000元，今年他家草莓又喜获丰收，收
入比去年增加了20%，由于采用了新技术，今年的支出比去年减少了10%，因此今年结
余比去年多17500元，王叔家去年种草莓的收人为
元，支出为
元。
5.小明的妈妈从菜市场买回1kg萝卜和0.5kg排骨，准备做萝卜排骨汤。下面是小明的
爸爸和妈妈的一段对话：
妈妈：“今天买的这两样一共花了23.6元，上个星期同等质量的这两样只要17元。”
爸爸：“今天电视新闻上说萝卜的单价上涨了30%，排骨的单价上涨了40%。”
小明根据爸爸、妈妈的对话，很快就知道了今天买的萝卜和排骨的单价。请你通过计算
分别求出今天萝卜和排骨的单价。
强化提高
6.早餐店里，李明的妈妈买了5个馒头、3个包子，老板少要1元，只要了10元；王红的爸爸
买了8个馒头、6个包子，老板九折优惠，只要了18元。若馒头每个x元，包子每个y元，
则所列二元一次方程组正确的是()。
5x+3y=10+1,
A.
B.5x+3y=10+1,
8x+6y=18×0.9
8x+6y=18÷0.9
5x+3y=10-1,
5x+3y=10-1,
C.
D,
8x+6y=18×0.9
8x+6y=18÷0.9
7.已知甲处干活的有31人，乙处干活的有20人，现调来18人支援，使甲处干活的人数是乙
处干活的人数的2倍。若向甲处分配x人，向乙处分配y人，则根据题意列出的方程组
为
8.某服装厂生产某种型号的一批秋装，已知2m长的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖
5只，现计划用132m这种布料生产这批秋装，应用
布料生产上衣的衣身和
布料生产上衣的衣袖，才能恰好配套。(1个衣身配2只衣袖)
一2-(共12张PPT)
第五章 二元一次方程组
3 二元一次方程组的应用（第2课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
某工厂前年的总利润（总收入－总支出）为200万元。去年的总收入比前年增加了20%，总支出比前年减少了10%，去年的总利润为780万元。前年的总收入、总支出各是多少万元？
（1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
（2）你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流。
创设情境，建立模型
创设情境，建立模型
解：设前年的总收入为x万元，总支出为y万元。
所以，前年的总收入是2 000万元，总支出是1 800万元。
解这个方程组，得
x＝2 000，
y＝1 800。
x－y＝200，
(1＋20%)x－(1－10%)y＝780。
根据题意，得
例 医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品。每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？
分析：设每餐用甲原料x g、乙原料y g，则有
成分 甲原料x g 乙原料y g 所配制的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
0.5x
x
0.7y
0.4y
35
40
迁移应用，深化理解
迁移应用，深化理解
在列方程组解决问题时，如何梳理其中的关键信息？对此你有哪些心得体会？与同伴进行交流。
【思考·交流】
所以，每餐用甲原料28 g、乙原料30 g可以恰好满足患者的需要。
根据题意，得
0.5x＋0.7y＝35，
x＋0.4y＝40。
x＝28，
y＝30。
解这个方程组，得
解：设每餐用甲原料x g、乙原料y g，
迁移应用，深化理解
1.甲、乙两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%。如果甲班学生的体育达标率为87.5%，乙班学生的体育达标率为75%，那么甲、乙两班各有多少名学生？
设甲班有x名学生，乙班有y名学生，填写下表并求出x，y的值。
人数 甲班 乙班 两班总和
学生人数 x y 100
达标学生人数 87.5%x 75%y 100×81%
练习巩固，反馈矫正
练习巩固，反馈矫正
解：设甲班有x名学生，乙班有y名学生，根据题意，得
所以，甲班有48名学生，乙班有52名学生。
x＋y＝100，
87.5%x＋75%y＝100×81%。
x=48，
y=52。
解这个方程组，得
练习巩固，反馈矫正
2.某一天，蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40 kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价见下表：
价格 黄瓜 茄子
批发价/（元/kg） 2.4 2
零售价/（元/kg） 3.6 2.8
解：设该蔬菜经营户批发了黄瓜xkg，茄子ykg，根据题意，得
他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少元？
解这个方程组，得
25×(3.6－2.4)＋15×(2.8－2)＝42（元）。
所以，他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚42元。
x＋y＝40，
2.4x＋2y＝90。
x＝25，
y＝15。
总结归纳，形成联结
1.列方程组解决实际问题的过程中，你借助了什么工具进行分析？
2.利用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤有哪些？
1.基础性作业：
习题5.3第7，8，10题。
2.发展性作业：
查阅资料，进一步了解阿基米德与皇冠的故事，类比曹冲称象，感受其异同。　　　　
布置作业，迁移延伸
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