资源简介

第五章 二元一次方程组
3二元一次方程组的应用（第3课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第五章“二元一次方程组”第三节的第3课时。本节内容共3课时，第1课时通过“鸡兔同笼”问题，让学生初步学习通过列二元一次方程组解决一些比较有趣的数学问题及古代数学中的应用问题，涉及的等量关系相对简单直接。第2课时主要通过解决现实生活中经济的应用问题来学习列二元一次方程组，要求学生能对具体情境中的数学信息作出合理解释，并运用列表分析法分析较为复杂的各数量间的关系。第3课时则重点通过列二元一次方程组解决有关几何图形问题和行程问题的应用题，在这部分内容的学习中，学生将运用图表方法分析更复杂的数量关系，将实际问题转化为二元一次方程组的数学模型，进一步巩固列方程组解应用题的方法，进一步提高学生解决实际问题的能力。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：在此之前，学生已经学习了一元一次方程的应用和二元一次方程组的解法，能熟练地进行二元一次方程组的运算，并对用二元一次方程组解决实际问题的步骤和方法有了基本了解，能借助表格正确地分析和理解题意，寻求题中各种数量关系，为本节课内容的学习奠定了良好的知识和能力基础。
学生的活动经验基础：在之前的学习中，学生已初步积累了用二元一次方程组解决简单实际问题的经验；在合作学习过程中，学生经历了探究、思考与交流，具备一定的小组合作学习经验和较强的合作交流能力。
三、教学目标
1.能分析复杂问题中的数量关系，建立二元一次方程组解决实际问题，并归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
2.经历借助线段图分析复杂问题中数量关系的过程，体会数形结合思想，感受将图形信息转化为数学语言的转化思想。
3.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界中等量关系的有效数学模型，发展应用意识。
教学重点：借助线段图分析复杂问题中的数量关系。
教学难点：借助线段图分析复杂问题中的数量关系，并据此建立等量关系列出方程组。
四、教学过程设计
【第一环节】情境引入，初步认知
1.活动内容
（1）如图1（单位：cm），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？
①这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
②你能列方程组解决这个问题吗？
（2）某糕点包装盒的展开图如图所示。如果长方体盒子的宽比长少4 cm，求这种糕点包装盒的体积？
2.活动目的
第（1）题引导学生回顾前两节课列方程组解决问题的过程，并鼓励学生尝试自行探究多种分析问题、解决问题的方法。第（2）题的设置既是对第（1）题探究的巩固，又是对该问题的进一步拓展。通过设计空间立体图形向平面图形的转化，引导学生感受两者在寻求等量关系时的内在联系与差别，从而产生较好的知识联结。
3.注意事项
在第（1）题的教学中教师可向学生提出“题目中的已知量、未知量分别是什么”“各个量之间的关系是什么”等问题，以此强化在解决实际问题中寻找等量关系的一般策略，为学生学习本节课内容做好知识铺垫。
【第二环节】思考探究，获取新知
1.活动内容
例 火车以40 m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30 s，其中火车全身都在隧道里的时间是20 s，求隧道和火车的长度。
分析：
（1）这个问题涉及哪些量？
（2）你能画图说明“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程吗？
（3）在“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”这种情况下，火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间有什么关系？
（4）类似地，对于“火车全身都在隧道里”的情形，你能得到相应的关系吗？
对较为复杂的问题，利用线段图梳理题目的关键信息，便于厘清题目中的未知量、已知量以及等量关系。
2.活动目的
鼓励学生主动尝试画出线段图表征问题，通过线段图将复杂问题中的数量关系直观化、条理化，从而降低思维难度；在此基础上，借助数形结合思想，使列二元一次方程组的思路更清晰，最终有效提高学生分析问题和解决问题的能力。着重强调线段图的分析方法，形成应用意识，养成学生归纳小结的良好习惯。
3.注意事项
此题巧妙地借助两条线段图，直观呈现了隧道的长度与火车的长度之间的关系，既突破了用语言描述两个量之间关系的常规方法，又生动体现了数与形的相互转化，同时渗透了数形结合的数学思想。火车过隧道的问题数量关系较为复杂，教学中教师可适时提示、引导学生进行思考，并鼓励学生动手画线段图分析题目，最后邀请学生讲解其分析过程。对思路清晰、有条理的讲解给予肯定与表扬，对分析不足之处及时给予补充，以此提升学生解决问题的信心。
【第三环节】运用新知，深化理解
1.活动内容
回声是一种自然现象。当声波投射到距离声源有一段距离的大面积障碍物上时，声能的一部分被吸收，而另一部分会反射回来，这种反射回来的声音叫“回声”。如果听者听到由声源直接发来的声音和由反射回来的声音的时间间隔超过十分之一秒，它就能分辨出两个声音。
某测量员是这样利用回声测距离的：他站在两平行峭壁间某一位置鸣枪，听到两次回声的时间间隔为0.5 s，已知两峭壁间的水平距离为425 m，声传播速度为340 m/s，则他到两峭壁的距离分别有多远？
（1）你还有其他设未知数的方法吗？列出的方程组一样吗？
（2）试比较哪一种方法更容易列出方程组？哪一种方法更容易解方程组。
思考·交流
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与同伴进行交流。
2.活动目的
通过题目练习巩固学生所学知识和方法，在强化运用线段图分析数量关系的同时，引导学生发现在解决具体问题的过程中，未必需要直接设所求未知数，也可采用间接设未知数的方式；而灵活选择未知数，正是将复杂问题简单化的重要途径之一。题目中涉及了声音的传播，利用回声测距是物理实验的内容，体现了学科融合，增强了教学的趣味性。教师通过引导学生利用数学知识对实验数据进行建模分析，不仅巩固了学生的数学建模能力，又夯实了其物理知识，有效提升学生的综合素养。通过“思考·交流”模块，让学生在交流讨论、总结反思的过程中，体会“审、找、设、列、解、验、答”解决实际问题的方法，梳理总结列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
3.注意事项
本问题借助线段图表示未知量之间的关系后，教师提出问题，学生先独立思考，再小组交流，最后邀请学生分享其设未知数的方法。同时教师给予点评、引导。让学生体会如何在合作交流中学习反思，形成策略，建构并逐步完善自我认知体系。
【第四环节】师生互动，课堂小结
1.活动内容
回顾·反思
回顾列方程组解决实际问题的学习过程，你对如何列方程组有哪些新的认识，积累了哪些经验？
构建框架：
（1）处理问题的过程一般可以概括为：
（2）处理实际问题的方法是多种多样的，表格法、线段图法等分析方法，能更直观地展现出数量关系，可根据具体问题灵活选用。
2.活动目的
通过提问的方式引导学生总结本节课的知识以及学习活动，养成“学习—总结—学习”的良好习惯，发挥自我评价的作用，进一步培养学生的语言表达能力。
3.注意事项
此环节可让学生先独立思考，再小组交流，最后全班交流分享，建构出本节内容的认知结构和问题解决策略。
【第五环节】作业布置
1.活动内容
（1）基础性作业：
习题5.3第11，12，13题。
（2）发展性作业：
如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知A(－6，18)，求长方形纸片的长和宽各是多少，并求点B的坐标。
2.活动目的
设置不同难度水平的作业练习，符合不同层次学生的发展需求。
五、教学设计反思
1.突出重点、突破难点的策略
列方程解决实际问题的分析方法多样。本节课在上一课时运用列表法分析变量之间关系的基础上，引入图形问题、行程问题的一种有效分析方法——线段图法。该方法充分发挥数形结合的优势，直观揭示各数量间的关系，将复杂的数量关系清晰化、简洁化，有效帮助学生厘清题中的未知量、已知量以及等量关系，从而顺利地依据等量关系列出方程。在实际教学活动中，当学生熟练掌握借助线段图分析问题的方法后，不仅降低了思维的难度，解题的准确率也得到了显著提升。另外，本节课还注重引导学生掌握设元技巧，通过适时引入间接设未知数的方法，进一步降低思维与计算的难度，进而培养学生思维的灵活性与多样性。
2.评价方式
课堂教学中，教师根据学生回答问题的思路、练习完成的质量等反馈信息，评估其对知识的理解深度与运用能力，并依据这些反馈信息及时进行针对性点拨。同时，从《义务教育数学课程标准（2022年版）》评价理念出发，在课堂教学中尊重学生的个体发展差异，满足不同学生的多样化发展需求，鼓励学生探索方式、表达方式和解题方法的多样性，形成发展性评价，切实提高学生学数学、用数学的信心。(共16张PPT)
第五章 二元一次方程组
3 二元一次方程组的应用（第3课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
情境引入，初步认知
如图（单位：cm），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？
（1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
小长方形的长、宽，大长方形的长、宽。
它们之间的等量关系有：
小长方形的长＋小长方形的宽＝40 cm，
小长方形的长＝小长方形的宽×3，
小长方形的长×2＝小长方形的长＋小长方形的宽×3。
y
y
y
y
x
x
x
x
所以，每块小长方形墙砖的长为30 cm，宽为10 cm。
解：设每块小长方形墙砖的长为x cm，宽为y cm。
根据题意，得 或
x＋y＝40，
2x＝3y＋x。
解这个方程组，得
x＝30，
y＝10。
如图（单位：cm），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？
情境引入，初步认知
（2）你能列方程组解决这个问题吗？
x＋y＝40，
x＝3y。
某糕点包装盒的展开图如图所示。如果长方体盒子的宽比长少4cm，求这种糕点包装盒的体积？
解：设包装盒的宽为x cm，高为y cm，则包装盒的长为(x＋4) cm。
xy(x＋4)＝5×2×(5＋4)＝90 cm3。
根据题意，得
2x＋2y＝14，
(x＋4)＋2y＝13。
解这个方程组，得
x＝5，
y＝2。
情境引入，初步认知
所以，这种糕点包装盒的体积为90 cm3。
思考探究，获取新知
例 火车以40 m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30 s，其中火车全身都在隧道里的时间是20 s，求隧道和火车的长度。
分析：
（1）这个问题涉及哪些量？
（2）你能画图说明“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程吗？
速度、时间、路程。
“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程如图所示。
（3）在“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”这种情况下，火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间有什么关系？
（4）类似地，对于“火车全身都在隧道里”的情形，你能得到相应的关系吗？
火车行驶路程＝隧道长度＋火车长度。
火车行驶路程＝隧道长度－火车长度。
“火车全身都在隧道里”的过程如图所示。
思考探究，获取新知
所以，隧道和火车的长度分别是1 000 m和200 m。
解：设隧道的长度为x m，火车的长度为y m。
“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程
“火车全身都在隧道里”的过程
根据题意，得
x＋y＝40×30，
x－y＝40×20。
解这个方程组，得
x＝1 000，
y＝200。
思考探究，获取新知
例 火车以40 m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30 s，其中火车全身都在隧道里的时间是20 s，求隧道和火车的长度。
对较为复杂的问题，利用线段图梳理题目的关键信息，便于厘清题目中的未知量、已知量以及等量关系。
学法小结
“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程
“火车全身都在隧道里”的过程
思考探究，获取新知
运用新知，深化理解
回声是一种自然现象。当声波投射到距离声源有一段距离的大面积障碍物上时，声能的一部分被吸收，而另一部分会反射回来，这种反射回来的声音叫“回声”。如果听者听到由声源直接发来的声音和由反射回来的声音的时间间隔超过十分之一秒，他就能分辨出两个声音。
某测量员是这样利用回声测距离的：他站在两平行峭壁间某一位置鸣枪，听到两次回声的时间间隔为0.5 s，已知两峭壁间的水平距离为425 m，声传播速度为340 m/s，则他到两峭壁的距离分别有多远？
根据题意，得
所以，测量员到两峭壁的距离分别为170 m和255 m。
解：设鸣枪后x s听到第一次回声，y s听到第二次回声。
425米
峭壁A
峭壁B
测量点
声音y s传播距离的
声音x s传播距离的
y－x＝0.5，
×340x＋ ×340y＝425。
解这个方程组，得
x＝1，
y＝1.5。
1×340÷2＝170 m，1.5×340÷2＝255 m。
运用新知，深化理解
解：设测量点到峭壁A的距离为x m，到峭壁B的距离为y m。
（2）试比较哪一种方法更容易列出方程组，哪一种方法更容易解方程组。
（1）你还有其他设未知数的方法吗？列出的方程组一样吗？
根据题意，得
x＋y＝425，
＋0.5＝。
解这个方程组，得
x＝170，
y＝255。
所以，测量员到两峭壁的距离分别为170 m和255 m。
运用新知，深化理解
425 m
峭壁A
峭壁B
测量点
y m
x m
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与同伴进行交流。
（1）审，通过审题将实际问题抽象成数学问题，分析已知量、未知量，找出可以表示题意的两个等量关系；
（2）设，设未知数表示未知量；
（3）列，根据等量关系，列出方程组；
（4）解，解这个方程组，求出两个未知数的值；
（5）答，在对求出的解做出是否合理的判断的基础上，写出答案。
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤可概括为“审、设、列、解、答”五步，即
运用新知，深化理解
【思考·交流】
师生互动，课堂小结
回顾列方程组解决实际问题的学习过程，你对如何列方程有哪些新的认识，积累了哪些经验？
实际问题
数学问题
（列二元一次方程组）
实际问题的答案
数学问题的解
（二元一次方程组的解）
设未知数，列方程组
检验
解方程组
代入法
加减法
（消元）
【回顾·反思】
回顾列方程组解决实际问题的学习过程，你对如何列方程有哪些新的认识，积累了哪些经验？
处理实际问题的方法是多种多样的，表格法、线段图法等分析方法，能更直观地展现出数量关系，可根据具体问题灵活选用。
师生互动，课堂小结
【回顾·反思】
作业布置
1. 基础性作业：
习题5.3 第11，12，13题。
如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知A(－6，18)，求长方形纸片的长和宽各是多少，并求点B的坐标。
2. 发展性作业：
谢谢<<<<<<<<第五章二元一次方程组
二元一次方程组的应用（第3课时）
课堂精要·梳理内容
1.十进制整数的表示方法
设a,b,c分别为百位、十位、个位上的数字，则两位数表示为
,三位数表示
为
2.行程问题
包括追及问题和相遇问题，基本等量关系：路程=
课堂精练·发展能力
基础巩固
1.李同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用时15mi。他骑
自行车的平均速度是250m/min,步行的平均速度是80m/min。他家离学校2900m。
如果他骑自行车和步行的时间分别为xmin,ymin,那么列出的方程组是(
)。
A.
x十y=4:
1
x+y=15,
B.
250.x+80y=2900
80x+250y=2900
+y-
x+y=15,
C.
D.
80x+250y=2900
250x+80y=2900
2.已知A,B两地相距126km,一辆小汽车和一辆货车分别从A,B两地同时出发，相向而
行，经过45min相遇，相遇时小汽车比货车多行6km,设小汽车和货车的速度分别为
xkm/h,ykm/h,则下列方程组正确的是()。
45(x+y)=126,
B.4(x+y)=126.
3
A.
45(x-y)=6
x-y=6
C+w=126
3(x+y)=126,
D.
45(x-y)=6
2(x-0=6
3.有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和为11，把这个两位数的个位上的
数字与十位上的数字对调，所得的新数比原数大63。设原两位数的个位上的数字为x,
十位上的数字为y,则用代数式表示原两位数为
,根据题意得方程组：
0
4.一艘轮船在相距80km的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行5h,逆流航行比顺
流航行多用3h。该轮船在静水中的速度为
km/h,水流速度为
km/h.
5.有两列列车，其中快车长120m,慢车长400m。若两车同向而行，则快车从追上慢车到
完全离开所用的时间为20$；若两车相向而行，则两车从相遇到完全离开所用的时间为
10s。则快车的速度为
m/s,慢车的速度为
m/s。
强化提高
6.小颖家离学校1200m,其中有一段为上坡路，另一段为下坡路。她去学校共用了
16min。假设小颖走上坡路的平均速度是3km/h,走下坡路的平均速度是5km/h。若
设小颖上坡用了xmin,下坡用了ymin,根据题意可列方程组为()。
3
5
3.x+5y=1200,
A.
B.60x+60y=1.2,
x+y=16
x+y=16
3
3x+5y=1.2,
5
C.
D.J60x+60y=1200,
x+y=16
x+y=16
7.现在哥哥与弟弟的年龄和是18岁，弟弟对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你
就是18岁。”如果设现在弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，那么下列方程组正确的
是()
A.-y-18,
y-x=18,
B.
y-x=18-y
x-y=y+18
x+y=18,
y=18-x,
C.
D.
y-x=18+y
18-y=y-x
8.甲、乙两人练习跑步，若乙先跑10m,甲跑5s就可以追上乙；若乙先跑2s,甲跑4s就可
以追上乙。设甲的速度为xm/s,乙的速度为ym/s,根据题意，下列选项中所列方程组
正确的是()。
5x-5y=10,
5x-5y=10,
A.
B.
4.x=2y+4y
4.x-2=4y
5x-5y=10,
5.x+10=5y,
C.4x-2x=4y
D.
4x-2=4y
9.如图，在长方形ABCD中放入6个相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的长和
宽。（单位：cm)
(第9题)

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