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第五章 二元一次方程组
4 二元一次方程与一次函数（第1课时）
一、学习任务分析
本节是北师大版初中数学八年级（上册）第五章“二元一次方程组”第4节。本节旨在揭示二元一次方程与一次函数之间的关系，建立方程与函数的联系，引导学生从图形的角度理解二元一次方程和二元一次方程组。本节内容共包含2个课时：第1课时着重通过对二元一次方程、二元一次方程组与一次函数关系的讨论，建立两者之间的联系，引导学生从“形”的角度认识二元一次方程和二元一次方程组；第2课时则通过待定系数法，引导学生利用二元一次方程组确定一次函数的表达式。
本课时为第1课时，在学生已学习“一次函数”及“二元一次方程组”相关知识的基础上展开。主要内容是揭示二元一次方程与一次函数之间的内在联系，引导学生从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组，进一步体会函数与方程之间的联系，深化数形结合思想，发展几何直观。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：学生已经学习了一次函数、二元一次方程（组）等相关知识，能够求解二元一次方程组的解，会画一次函数的图象，并能根据一次函数图象与x轴的交点坐标确定相应的一元一次方程的解，已初步具备运用数形结合思想解决问题的意识和能力。
学生活动经验基础：学生在本节课之前，已具备一定的数形结合研究问题的经验，但未曾研究过方程与函数之间的关系，加之学生学习函数的经验相对有限，对函数这一抽象概念的理解也不够深刻，因此在建立函数与方程之间的内在联系时，可能会存在一定的困难。
三、教学目标
1.经历观察、猜想、验证等数学活动，能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组；
2.探索二元一次方程组的解与相应两条直线交点坐标之间的关系，理解并体会二元一次方程（组）与一次函数的内在联系及其蕴含的转化思想；
3.能通过直线间的位置关系解释二元一次方程组无解和有无数解的几何意义，体会数形结合思想，发展几何直观。
教学重点：探索二元一次方程组的解与相应两条直线交点坐标之间的关系，体会二元一次方程（组）与一次函数之间的联系及转化的思想方法。
教学难点：从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组。
四、教学过程设计
【第一环节】引入情境
1.活动内容
（1）情境感知
①方程x＋y＝5的解有多少个？写出其中的几个。
②在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y＝5－x的图象上吗？
③在一次函数y＝5－x的图象上任取一点，它的坐标满足方程x＋y＝5吗？
④以方程x＋y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同吗？
解：①方程x＋y＝5的解有无数个，如
②描出的点在一次函数y＝5－x的图象上。
③所取点的坐标满足方程x＋y＝5。
④以方程x＋y＝5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同，是同一条直线。
（2）归纳思考
①方程x＋y＝5的解有无数个。以方程x＋y＝5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同，是同一条直线。即x＋y＝5与y＝5－x表示的关系相同。
②一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线。即一个二元一次方程对应着平面上的一条直线。
2.活动目的
让学生通过描点画图的过程，获得以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象的直观印象，并亲身感受该图象是一条直线；在探索满足二元一次方程的点与相应一次函数图象上的点之间的对应关系后，进一步明确以二元一次方程x＋y＝5的解为坐标的点组成的图象是一条直线，且与相应的一次函数图象相同。由此，揭示求二元一次方程组的解与确定相应两条直线交点坐标之间的关系，深化学生对二元一次方程（组）与一次函数内在统一性的认知。
3.注意事项
教师可通过几何画板动态演示更多实例，进而引导学生理解并明确：以二元一次方程的所有解为坐标的点，与相应一次函数图像上的点之间具有一一对应关系。
通过这样的对比分析，学生能够比较好地从“数”的角度认识方程与函数描述的是同样的关系；从“形”的角度认识它们对应解（点）组成的图象相同，得到二元一次方程的图象特征。
【第二环节】操作探究
1.活动内容
操作·思考
如图，在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数y＝5－x和y＝2x－1的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组的解有什么关系？
步骤：（1）如图，在同一平面直角坐标系中分别画出两个一次函数的图象。
（2）发现：两个图象有交点，交点为A（2，3）。
（3）解方程组解为。
（4）发现：一次函数y＝5－x与y＝2x－1图象的交点为A（2，3），而就是方程组的解。
小结：一般地，从图形的角度看，确定两条直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点坐标。
2.活动目的
引导学生通过操作，观察并发现二元一次方程组的解与相应一次函数交点的坐标具有一致性，进而从图形的角度深化对二元一次方程组的理解，揭示求二元一次方程组的解与确定相应两条直线的交点坐标之间的关系。
3.注意事项
学生容易观察得到图象交点坐标与方程组的解之间的关系，但数形结合的观念还有待加强。教学时，教师要组织学生画出两个一次函数的图象、得到交点，为学生感悟数形结合思想的优势创造条件。
【第三环节】问题解决
1.活动内容
例1 已知方程组的解是试求直线与的交点坐标。
解：由二元一次方程组与一次函数的关系，可得交点坐标为（，1）。
例2 如图，已知直线y＝mx与y＝kx＋3（m≠0，k≠0，m，k为常数）的交点坐标为P（1，2）。
（1）试确定方程组的解；
（2）试确定方程组的解。
解：（1）由点P（1，2）可得，所求方程组的解为
（2）画出一次函数y＝kx－3的图象（图略），由图可知，所求方程组的解为
2.活动目的
例1为二元一次方程组的解与对应函数图象交点坐标关系的直接应用。通过例2第（1）问，引导学生利用二元一次方程组的解与相应两条直线交点坐标之间的关系解决简单问题。第（2）问的目的在于让学生体会“以形助数”的直观性。问题逐层递进，方法不唯一，从而促进学生数学思维能力的提高，通过对不同方法（代数法和图象法）的对比，体会数形结合思想，发展几何直观。
3.注意事项
对于例2第（1）问，学生能很快得出答案并能正确阐述理由；对第（2）问，会出现代数和几何两种不同的解决方法。
【第四环节】拓展探究
1.活动内容
思考·交流
如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1与y＝x－2的图象有怎样的位置关系？方程组解的情况如何？你发现了什么？与同伴进行交流。
归纳：二元一次方程组的解对应着平面上两条直线的交点。
例3 方程组解的情况如何？你是怎么考虑的呢？
2.活动目的
引导学生探讨二元一次方程组无解和有无数解的几何意义，进一步体会二元一次方程组的解与相应图象之间的关系，体会数形结合思想，发展几何直观。
3.注意事项
学生更多地还是从代数的角度去解方程组，从“形”的角度研究问题的意识还不够，需要教师引导。
【第五环节】交流总结
1.活动内容
回顾反思
（1）通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识、数学方法，感悟到了哪些数学思想？
（2）我们是如何发现二元一次方程（组）与一次函数之间的关系的？
构建框架：
2.活动目的
通过知识框架直观呈现本节课核心内容，引导学生构建自己的知识体系，积累数学活动经验，总结数学思想方法，体会函数与方程之间的相互转化，感悟数学学科知识间的普遍联系。
3.注意事项
引导学生能够使用自己的语言正确总结本节课的相关知识及研究方法，如二元一次方程（组）与一次函数的关系、数形结合、转化思想等。
第六环节：作业布置
1.活动内容
基础性作业：教科书习题5.4第1~3题。
发展性作业：
（1）图中两条直线l1与l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解？
（2）已知，，当x取哪些值时，？你是怎样做的？
2.活动目的
通过设计不同层次的作业，使不同水平的学生都能获得发展。
五、教学反思
1.重视教科书，整合教科书
在教科书原有问题的基础上进行了整合与拓展。例如，在探讨二元一次方程组的解与相应一次函数图象（直线）交点坐标的关系时，引导学生自主发现和提出问题，进而开展新的探索；又比如在探讨二元一次方程组无解和有无数解的几何意义时，既充分重视教科书，又不局限于教科书，在考虑学生已有认知的基础上对教科书的问题进行了整合，体现了单元视角下的教学设计。
2.重点突出，展开有序
以问题串的形式对重点内容展开探讨，从二元一次方程与一次函数关系的探讨，到二元一次方程组与一次函数关系的探讨，逐步建立方程与函数、代数与几何的联系。在教师合理引导下，学生参与知识的产生及发展过程，环环相扣，步步深入。引导学生从对二元一次方程“形”的特征的感性认识上升为理性思考，进一步发展学生的思维水平，发挥数学的育人价值，培养学生理性思维和科学精神。
3.技术赋能，合理运用
在认识以二元一次方程x＋y＝5的解为坐标的点组成的图象是一条直线后，运用几何动态软件对其他二元一次方程进行验证，合理运用信息技术帮助学生更加直观形象地理解本节课所学内容。(共16张PPT)
第五章 二元一次方程组
4 二元一次方程与一次函数（第1课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
引入情境
（1）方程 x＋y＝5的解有多少个？写出其中的几个。
（2）在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y＝5－x的图象上吗？
解：描出的点在一次函数y＝5－x的图象上。
解：方程 x＋y＝5的解有无数个，如
x＝－1，
y＝6；
x＝0，
y＝5；
x＝1，
y＝4。
情境感知
引入情境
（3）在一次函数y＝5－x的图象上任取一点，它的坐标满足方程
x＋y＝5吗？
（4）以方程x＋y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y＝5－x的图象相同吗？
解：所取点的坐标满足方程x＋y＝5 。
解：以方程x＋y＝5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同，是同一条直线。
情境感知
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线。
引入情境
转化
“数”
“形”
x＋y＝5
y＝5－x
（a，b）
归纳思考
操作探究
如图，在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数y＝5－x和y＝2x－1的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组 的解有什么关系？
【操作·思考】
x＋y＝5，
2x－y＝1
解：一次函数y＝5－x与y＝2x－1图象的交点为A（2，3），而 就是方程组 的解。
x＝2，
y＝3
x＋y＝5，
2x－y＝1
操作探究
一般地，从图形的角度看，确定两条直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点坐标。
小结
例1 已知方程组 的解是 试求直线y＝3x－3与 的交点坐标。
问题解决
解：由二元一次方程组与一次函数的关系，可得交点坐标为（ ，1）。
－3x＋y＋3＝0，
3x＋2y－6＝0
x＝，
y＝1，
问题解决
例2 如图，已知直线 y＝mx与y＝kx＋3（m≠0，k≠0，m，k为常数）的交点坐标为P（1，2）。
（1）试确定方程组 的解；
解：由点P（1，2）可得，所求方程组的解为
y＝mx，
y＝kx＋3
x＝1，
y＝2。
y＝mx
y＝kx＋3
解：画出一次函数y＝kx－3的图象，由图可知，所求方程组的解为
y＝mx
y＝kx＋3
问题解决
例2 如图，已知直线 y＝mx与y＝kx＋3（m≠0，k≠0，m，k为常数）的交点坐标为P（1，2）。
y＝kx－3
（2）试确定方程组 的解。
y＝mx，
y＝kx－3
x＝－1，
y＝－2。
拓展探究
如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1与y＝x－2的图象有怎样的位置关系？方程组 解的情况如何？你发现了什么？与同伴进行交流。
方程组
无解
两直线
平行
【思考·交流】
x－y＝－1，
x－y＝2
方程组
无数解
两直线
重合
拓展探究
解的情况如何？你是怎么考虑的呢？
例3 方程组
2x－y＝－3，
－4x＋2y＝6
拓展探究
二元一次方程组的解与相应两条直线的位置关系有怎样的关联？
二元一次方程组解的情况
无解
无数解
仅有一解
平行
重合
相交
相应两条直线的位置关系
交流总结
（1）通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识、数学方法，
感悟到了哪些数学思想？
（2）我们是如何发现二元一次方程(组)与一次函数之间的关系
的？
回顾反思
1
交流总结
构建框架
2
二元一次方程
一次函数
解（点）
公共解
直线交点坐标
直线（点）
操作试验
观察、猜想、验证等方法
数形结合思想
转化思想等
作业布置
1.基础性作业：教科书习题5.4 第1~3题。
2.发展性作业：
（1）图中两条直线l1与l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解？
（2）已知y1＝2x＋1，y2＝－x＋4，当x取哪些值时，y1＜y2 ？你是怎样做的？
谢谢<<<<<<<<第五章二元一次方程组
二元一次方程与一次函数（第1课时）
课堂精要·梳理内容
1.二元一次方程与一次函数的关系
二元一次方程有
个解，以这些解为坐标的点组成的图象与其相应的
函
数的图象
2.二元一次方程组与一次函数的关系
求两条直线l1:y=k1x十b(k1≠0)，l2:y=k2x十b2(k2≠0)的交点，就是解关于x,y的
方程组
两条相交直线只有一个交点，对应的二元一次方程组只有一个
反之也成立。
如果两个一次函数的图象没有
,那么对应的二元一次方程组无解，反之也成立。
课堂精练·发展能力
基础巩固
2x+y=3,
x=1,
1.已知方程组
的解为
x+2y=3
则函数=-2x十3与y=-+的图象的交点
y=1,
坐标为(
A.(1,1)
B.(-1,1)
C.(1,-1)
D.(-1,-1)
x=a,
2.若一次函数y=3x十6与y=2x一4的图象的交点坐标为(a,b),则解是
的方程组
v=6
是()。
A./y-3x=6,
3x+y+6=0,
c.
3x-y=-6,
3.x-y=6,
B.
D.
2x+y=-4
2x-4-y=0
2.x-y-4=0
2x-y=4
y=kix+b,
3.若一次函数y=k1x十b1与y=k2x十b2的图象没有交点，则方程组
的解的
y=k2x+b2
情况是(
)。
A.有无数个解
B.有两个解
C.只有一个解
D.没有解
4.下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x一2y=2的解的是(
A
B
D
八年级E品
5.若正比例函数y=kx的图象经过直线y=x十1与y=3x十5的交点，则y=kx的图象位
于()。
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、二象限
D.第一、二、三象限
6.如图，已知函数y=ax十b和y=kx的图象交于点P,则根据图象，可得
y=ax+b,
关于x,y的二元一次方程组
的解是
y=kx
v=axth
强化提高
(第6题)
x-2y=4,
7.用图象法解方程组
时，下图中正确的是()
2x+y=4
0
4
0
4
2
A
D
8.已知方程2x十1=一x十4的解是x=1,则直线y=2x十1与直线y=一x十4的交点坐标
是()
A.(1,0)
B.(1,3)
C.(-1,-1)
D.(-1,5)
x+2y=1,
9.方程组
的解的情况是(
)。
2x+4y=3
A.一个解
B.两个解
C.无解
D.无数个解
10.如图，直线l1:y=x十1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b)。
(1)求b的值。
y=x十1，
(2)不解关于x,y的方程组
请直接写出它的解。
y=m.x十n,
(3)直线l:y=nx十m是否也经过点P 请说明理由。
(第10题)

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