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第五章 二元一次方程组
4 二元一次方程与一次函数（第2课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行。假设他们都匀速骑行，则他们各自与A地之间的距离s（单位：km）都是骑行时间t（单位：h）的一次函数。骑行1 h乙距离A地80 km，骑行2 h甲距离A地30 km。经过多长时间两人相遇？
你是怎样做的？
方案1
（1）分别画出甲、乙s与t之间关系的图象；
（2）找出两个图象交点的横坐标。
引入情境
情境探究
方案2：由于s是t的一次函数，因此只要分别求出甲、乙两人s与t的函数表达式，再将这两个表达式联立求解方程组，便可求得相遇时间。
方案3：分别求出甲、乙两人的骑行速度，再根据两人的距离计算相遇时间。
你是怎样做的？
引入情境
A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行。假设他们都匀速骑行，则他们各自与A地之间的距离s（单位：km）都是骑行时间t（单位：h）的一次函数。骑行1 h乙距离A地80 km，骑行2 h甲距离A地30 km，经过多长时间两人相遇？
方案2
代数法
（1）方案1和方案2哪一种求出的结果更准确？
（2）在方案2中，如何确定一次函数表达式呢？
借助图象可以直观地获得结果，但往往难以获得准确的结果。为了获得准确的结果，我们一般用代数方法。
方案1
图象法
s＝15t，
s＝－20t＋100。
例 在某汽车客运站，乘坐长途车的乘客可以免费携带一定质量的行李，超过该质量需购买行李票，且行李费y（单位：元）是行李质量x（单位：kg）的一次函数。已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元。
（1）写出y与x之间的关系式；
（2）每名乘客最多可免费携带多少千克的行李？
操作探究
像本例这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法。
（2）令y＝0，即x－5＝0，解得x＝30；当x＞30时，y＞0。
所以，每名乘客最多可免费携带30 kg的行李。
操作探究
解：（1）设y＝kx＋b，根据题意，得
解这个方程组，得
所以y＝x－5。
5＝60k＋b，
10＝90k＋b。
k＝，
b＝－5。
例 在某汽车客运站，乘坐长途车的乘客可以免费携带一定质量的行李，超过该质量需购买行李票，且行李费y（单位：元）是行李质量x（单位：kg）的一次函数。已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元。
已知一次函数y＝2x＋b的图象经过点（a，7）和（－2，a），求这个函数的表达式。
借助一元二次方程组确定一次函数表达式。
【尝试·思考】
问题解决
解：将（a，7）和（－2，a）代入y＝2x＋b，得
解这个方程组，得a＝1，b＝5，
所以，这个函数的表达式为y＝2x＋5。
7＝2a＋b，
a＝－4＋b。
我们将k，b称为一次函数的两个“基本量”。
一次函数的图象是一条直线，因此只要确定两个点就可以确定一次函数的表达式！
形
一次函数的表达式有两个参数k，b，因此要确定一次函数的表达式，需要两个条件！
数
结合
确定一次函数表达式，需要确定哪几个参数的值？需要几个条件？
y＝k x＋b
问题解决
y＝x－5
用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤是什么？
1.写出含字母系数的表达式；
2.根据题目中的条件，列出含有未知数k与b的二元一次方程组；
3.求解方程组，确定一次函数表达式。
问题解决
(※选用）：在例1中，y与x一次函数关系式中的k值有什么实际意义吗？
由②-①得 30k＝5，即多30 kg行李所对应增加的费用为5元，故k值表示的是每多1 kg行李所需缴纳的费用为元。
问题解决
例 在某汽车客运站，乘坐长途车的乘客可以免费携带一定质量的行李，超过该质量需购买行李票，且行李费y（单位：元）是行李质量x（单位：kg）的一次函数。已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元。
解：（1）设y＝kx＋b，根据题意，得
②－①，得 30k＝5，
将k＝代入① ，得b＝5，
5＝60k＋b， ①
10＝90k＋b。 ②
k＝ 。
所以y＝x－5。
方案2：s是t的一次函数，分别求出甲、乙两人s与t的函数表达式，联立两个表达式。
学以致用
A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行。假设他们都匀速骑行，则他们各自与A地之间的距离s（单位：km）都是骑行时间t（单位：h）的一次函数。骑行1 h乙距离A地80 km，骑行2 h甲距离A地30 km。经过多长时间两人相遇？
解：对于乙，设的s＝kt＋b ，根据题意，可得
解得k＝－20，故s＝－20t+100。
对于甲，同理可得s＝15t。
100＝b，
80＝k＋b。
联立表达式，可得
解这个方程组，得t＝。
s＝－20t+100，
s＝15t。
2.用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤是什么？
1.确定一次函数表达式需要几个条件？为什么？
3.通过本节课的学习，你能进一步说说二元一次方程和一次函数之间的联系吗？
4.本节课你还有哪些收获？
交流总结
1.基础性作业：完成教科书习题5.4 第5~7题。
2.发展性作业：
阅读本课拓展资源，认识一次函数的“倾斜程度”可以用斜率表示，并尝试总结求斜率的一般公式。
作业布置
谢谢第五章 二元一次方程组
4 二元一次方程与一次函数（第2课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第五章“二元一次方程组”第四节“二元一次方程与一次函数”的第2课时。一次函数与二元一次方程联系紧密。在上一课时中，学生已经能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组的概念。本课时的主要内容是学习利用待定系数法确定一次函数表达式，并解决实际问题，进一步体会方程与函数的内在联系。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：学生已掌握一次函数的基本概念与图象特征，能根据特定的图象确定一次函数表达式。此外，学生已学习了二元一次方程（组）的相关知识，能正确建立并求解二元一次方程组。
学生活动经验基础：在前面章节的学习中，学生解决过比较特殊的确定一次函数表达式的问题，即参数“k”或“b”能够从给定条件中直接获取，从而将问题转化为用一元一次方程确定一次函数表达式的问题。由于学生还未系统学习“用待定系数法确定一次函数表达式”，对于更一般的情况（“k”或“b”无法直接获得），存在一定困难。此外，在之前运用一次函数解决实际问题时，教科书更侧重图象信息的识别与分析，意在培养、发展学生的几何直观。但直观方法具有一定的局限性，因此就有必要掌握相应的代数方法。在上一课时中，学生已经初步感知了二元一次方程与一次函数的内在联系，能从“形”的角度理解它们，但这些知识之间的有效联系仍需要进一步强化。同时，学生在以前的数学学习中已经历较多的合作学习过程，具有一定的合作学习经验。
三、教学目标
1.经历用待定系数法确定一次函数表达式的过程，会设函数表达式，并能根据所给条件建立二元一次方程组求解函数表达式中的未知系数，进一步感悟二元一次方程（组）与一次函数的联系，体会知识之间的普遍联系和相互转化。
2.经历运用一次函数模型解决实际问题的过程，发展抽象能力，增强模型观念与应用意识。
3.积累从现实世界提出数学问题，并用数学知识分析、解决问题的活动经验，会用数学眼光观察现实世界，会用数学思维思考现实世界，会用数学语言表达现实世界。
教学重点：用待定系数法确定一次函数表达式，进一步感悟二元一次方程与一次函数的内在联系。
教学难点：建立一次函数模型解决实际问题。
四、教学过程设计
【第一环节】引入情境
1.活动内容
情境探究
已知A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行。假设他们都匀速骑行，则他们各自与A地之间的距离s（单位：km）都是骑行时间t（单位：h）的一次函数。骑行1 h乙距离A地80 km，骑行2 h甲距离A地30 km。经过多长时间两人相遇？
你能解决这个问题吗？
预设方案1：分别画出两人s与t之间关系的图象（如图），找出两个图象交点的横坐标即可。
预设方案2：由于s是t的一次函数，只要分别求出甲、乙两人s与t的函数表达式，再将这两个表达式联立，求解方程组，便可求得相遇时间。
预设方案3：分别求出甲、乙两人的骑行速度，再根据两人之间的距离计算相遇时间。
问题：（1）你是怎样做的？与同伴进行交流。
（2）你认为方案1和方案2哪一种求出的结果更准确？
（3）在方案2中，如何确定一次函数表达式呢？
小结：借助图象可以直观地获得结果，但往往难以获得准确的结果。为了获得准确的结果，我们通常采用代数方法。
2.活动目的
创设贴近学生生活的问题情境，激发学生的学习兴趣，增强学生用数学思维思考现实世界的意识。将不同方案进行对比，并通过问题（2）（3），让学生感受“确定一次函数表达式的必要性”，为下一环节“用待定系数法确定一次函数表达式”作铺垫。
3.注意事项
对于该问题，部分学生可能会受前面所学内容的影响，首先尝试用图象法解决问题。然而，图象法得出的结果通常是近似的，难以精确。这种局限性会促使学生不满足于图象法得到的近似结果，从而主动寻求代数方法。这样就自然地将学习过渡到“确定一次函数表达式”的问题。通过对比方案1与方案2，学生能更好地体会确定一次函数表达式的必要性。
在学习“待定系数法”前，求s与t的函数表达式对部分学生而言具有一定的难度。因此，本环节不要求学生算出结果，只需阐述可行的方案。
遵循“以学生为主体”的原则，先让学生自主提出解决方案，然后对方案进行交流、比较，在这些活动过程中，动态地生成相关方法。同时，让学生带着问题与困惑进行后续学习，让学生经历直面问题、探究问题并最终解决问题的全过程，丰富数学学习经验，增强数学学习的信心。
如果教师发现本班并未出现预设的某种方案时，可以介绍教科书人物解决方案的形式呈现该方案，引导全班学生读懂该方案，从而实现不同方案的对比。
【第二环节】操作探究
1.活动内容
例 在某汽车客运站，乘坐长途车的乘客可以免费携带一定质量的行李，超过该质量需购买行李票，且行李费y（单位：元）是行李质量x（单位：kg）的一次函数。已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元。
（1）写出y与x之间的关系式；
（2）每名乘客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设y＝kx＋b，根据题意，得
解这个方程组，得
所以 。
（2）令y＝0，即，解得x＝30；当x＞30时，y＞0。
所以，每名乘客最多可免费携带30 kg的行李。
像本例这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法。
一次函数的表达式有两个参数k，b，因此要确定一次函数的表达式，需要两个条件！
2.活动目的
通过例题的解决，引导学生认识待定系数法。待定系数法的本质是利用方程与函数的关系，将求函数表达式的问题转化为求解方程组的问题。其一般步骤为，先设出含待定系数的函数表达式，再根据已知条件列出关于系数的方程（组），最后解方程（组）确定系数的值。
3.注意事项
本例旨在通过具体实例让学生初步认识待定系数法。教学重点在于引导学生体会方程与函数之间的关系，教学中应避免在此处专门安排其他待定系数法的拓展训练。
【第三环节】问题解决
1.活动内容
尝试·思考
已知一次函数y＝2x＋b 的图象经过点（a，7）和（－2，a），求这个函数的表达式。
问题：（1）确定一次函数表达式时，需要确定哪几个参数的值？需要几个条件？
（2）用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤是什么？
※（3）在本题y与x的一次函数关系式中，k值的实际意义是什么？
2.活动目的
学习待定系数法并总结其解题的一般步骤，提升总结归纳能力，进一步体会一次函数与二元一次方程之间的联系。建立一次函数模型解决实际问题，增强模型观念与应用意识。借助一元二次方程组帮助学生理解k值在问题中的实际意义，促进思维进阶。开展小组活动，丰富学生合作学习经验，提高互帮互助的精神。
3.注意事项
学生在前面的学习中解决过比较特殊的确定一次函数表达式的问题，即某个参数（k或b）可以从所给条件中直接获得。本节课，学生学习了用待定系数法确定一次函数表达式，从而能解决更一般的确定一次函数表达式的问题。设置问题（1）让学生明确“确定一次函数表达式时必须确定k和b两个参数”。此外，教师还可以从“数”与“形”两个角度，让学生体会“确定一次函数表达式，需要两个基本量”这一事实（如图），同时可点明：当“数”与“形”结合时（将两个点的横、纵坐标代入一次函数表达式），便可建立二元一次方程组，进而确定一次函数表达式，再次感悟方程与函数间的联系，感受数形结合思想，体会知识间的相互转化。
明确“确定一次函数表达式需要两个条件”虽然简单，但它涉及数学对象的一个本质概念——基本量，例如一次函数含有两个基本量k，b；反比例函数含有一个基本量k；确定平行四边形需要3个条件（两邻边及其夹角），因此平行四边形的基本量数是3；同理，长方形和菱形的基本量数是2，正方形的基本量数是1。学生若能常进行这样的思考，必将增强其对数学对象的理解。
设置问题（3），鼓励学生探究k值在问题中的实际意义。在此前的学习中，教材试图给学生渗透“k是函数值y相对于自变量x的变化率”，但受限于当时学生知识积累不够，只能从x增加1的时候来理解k的实际意义。学习了待定系数法之后，学生便能更好地理解k值的实际意义。
考虑到问题（3）对学生的思维水平要求更高，故设置※号标记。教师可根据自身所教班级的实际情况选用，也可作为分层教学使用的素材。在“行李托运费用”问题中，k值的实际意义是每增加1 kg行李所需要缴纳的费用，这一实际意义在解方程组的过程中得到了展现（如图），这将帮助学生进一步体会方程与函数之间的关系。
此外，在“尝试·思考”中，虽然所求函数表达式只需确定一个参数b，但所给条件中包含另一个未知参数a，因此仍需建立并求解二元一次方程组来确定函数表达式。这进一步表明了二元一次方程（组）与一次函数之间紧密的内在联系。
【第四环节】学以致用
1.活动内容
A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行。假设他们都匀速骑行，则他们各自与A地之间的距离s（单位：km）都是骑行时间t（单位：h）的一次函数。骑行1 h乙距离A地80 km，骑行2 h甲距离A地30 km，经过多长时间两人相遇？
2.活动目的
引导学生重回第一环节中的问题，采用方案2计算相遇时间，并上讲台展示自己的解法，最后将方案1与方案2再次进行对比，研究二者之间的异同，进一步巩固待定系数法。通过不同方法的对比，让学生体会数形结合思想，进一步感受二元一次方程与一次函数间的联系。
3.注意事项
方案2利用待定系数法，建立二元一次方程组分别确定甲、乙的s与t一次函数表达式，再联立表达式求出相遇时间，这是从“数”的角度解决问题。而方案1是从“形”的角度看待问题，方案2可以看作是在方案1的基础上，用代数法精确求得函数图象的交点横坐标。这两种方案都是从函数视角解决问题，将方案1和方案2再次进行对比，研究二者之间的异同，让学生在实际问题背景下进一步感受数形结合思想，加深对方程与函数内在联系的理解。
【第五环节】交流总结
1.活动内容
教师通过问题串的形式，引导学生回顾、总结本节课所学基础知识、基本方法和重要的数学思想方法等。
（1）确定一次函数表达式需要几个条件？为什么？
（2）用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤是什么？
（3）通过本节课的学习，你能进一步说说二元一次方程和一次函数之间的联系吗？
（4）本节课你还有哪些收获？
2.活动目的
问题串层层递进，从基础知识到基本方法，在发展学生归纳总结能力的同时，进一步帮助学生理解二元一次方程与一次函数之间的联系，体会知识之间的普遍联系和相互转化，促进思维进阶，发展核心素养。
3.注意事项
本环节建议完全由学生来总结提炼，若学生的表述方式不严谨，教师可以进行适当的补充。只要学生表述合理，都应给予鼓励。
【第六环节】作业布置
1.活动内容
基础性作业：完成教科书习题5.4第5~7题。
发展性作业：你对一元一次方程、二元一次方程（组）、一次函数有哪些认识？请写一篇小短文进行说明。
2.活动目的
课后练习遵循因材施教的原则，采用分层式设计的形式。基础性作业选用教材中的基础题目，并有机融合数学、生物学、物理等学科知识。发展性作业选用综合性更强、对思维水平要求更高的题目，为学有余力的学生准备，激发其学习兴趣，加深对数学知识的理解深度。
五、教学反思
1.要合理地、科学地使用教科书.
教科书为教师提供了最基本的教学素材，教师可以根据学生的实际情况进行适当调整。例如，本课例题在教科书原有问题的基础上，借助二元一次方程组探究了k值在实际问题中的实际意义，这是对教科书已有内容的拓展，能促进学生对二元一次方程与一次函数内在联系的深入理解。立足于教科书，但不被教科书所束缚，做到“用教科书而非教教科书”应是广大教师追求的目标。
2.以学生为主体，相信学生并为其提供充分展示自我的机会
课堂教学要遵循“学生为主体”的原则，把激发学生学习热情和提高学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考时间。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题以及对学困生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
同时，课堂中需兼顾不同学力层次的学生：不仅要给“学懂了”的中等生或学优生展示自我的机会，更要关注存在认知困惑的学生群体，将这部分学生所面临的困惑呈现出来，帮助其实现从“不懂”到“懂”的认知跨越，增强学习数学的信心，在课堂学习中获得成就感。
3.亟需改进的方面
（1）本课的情境引入素材选自教科书中的“骑行相遇”问题，但教师可以根据实际情况进行调整，选择更贴近学生生活、更真实的情境，以便更好地激发学生的学习兴趣，增强应用数学的意识。比如，执教教师所在城市是成都，可创设“成都绕城绿道骑行”的问题情境，这样更贴近真实生活，更能激发学生学习兴趣。
（2）任何一个教学设计都针对特定的学生群体。本节课的教学内容针对数学成绩中等水平的学生群体，重点聚焦学生对基础知识、基本技能的掌握。但考虑到部分地区的学生数学基础可能较好，教师可根据实际情况增加变式设计。
解：设，根据题意，得
由②－①，得
由②－①得30k=5，即多30kg行李所对应增加的费用为5元，故k值表示的是每多1 kg行李所需缴纳的费用为元。<<<<<<<<第五章二元一次方程组
二元一次方程与一次函数（第2课时）
课堂精要·梳理内容
先
,再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的
方法，叫作
课堂精练·发展能力
基础巩固
1.小华用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系内作出了两个一次函
数的图象1,2，如图所示，则小华解的这个方程组是()。
(第1题)
A.-2y=-2.
B.y=-x+1,
C-2y=-1.
D.y=2x+1,
2x-y=2
y=2.x-2
2x-y=-2
y=2x-2
2.设一次函数y=kx十b的图象经过点A(2,一1)和点B,其中点B是直线y=
一十3与y轴的交点，则这个函数的表达式为
3.直线y=一x与y=3x十4的交点坐标是(，)。若这一交点坐标也是方程ax十y=
6的一个解，则a=
4.在一定范围内，某种产品的购买量y(t)与单价x(元)之间满足关系式y=kx十b,若购买1000t,
单价为1000元；若购买2000t,单价为800元。一客户购买1500t,单价应为
元。
5.如图所示的折线是某电信公司规定打国际长途电话需付的电话费y(元)与通话时间
t(min)之间的关系图象，请根据图象填空：
(1)通话2min需付电话费
元；
(2)如果t≥3，那么电话费y(元)与通话时间t(min)之间的关系式是
以元
6
3.6
0
3 5 t/min
(第5题)》
-1
八年级上研
强化提高
6.弹簧原长（不挂重物）15cm,在弹性限度内弹簧总长L(cm)与重物质量x(kg)之间的关
系如下表所示：
弹簧总长L/cm
17
18
19
20
所挂重物质量x/kg0.51.01.52.0
2.5
当所挂重物质量为5kg(在弹性限度内)时，弹簧总长L是(
)。
A.22.5cm
B.25 cm
C.27.5cm
D.30 cm
7.如图，直线l1对应的函数表达式为y=一3x+3,且1与x轴交于点D,直线l2经过点A,
B,直线1,2交于点C,则点C的坐标是
y
7(4.0)1
(第7题)
8.随着新能源技术的日益发展与提升，新能源汽车深受广大民众的喜爱。通过研究发现新
能源汽车A的充电量W(kW·h)与充电时间t(min)之间满足一次函数关系，小杰观察并
记录了几组数据如下表：
充电时间t/min
102030405060
充电量W/(kW·h)304050607080
(1)根据所给数据，求充电量W(kW·h)与时间t(min)之间的关系式；
(2)新能源汽车A的最大充电量为120kW·h,当电量剩余20%时，对汽车开始充电，求
电量充满所需要的时间。

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