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第七章证明
认识证明（第1课时）
课堂精要·梳理内容
1.对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是给出它们的
c2
的句子，叫作命题。一般地，每个命题都由
和
两部分组成。
是已知的事项，
是由已知事项推断出的事项。
命题通常可以写成“
”的形式，其中“如果”引出的部分是
“那么”引出的部分是
3.命题可分为真命题和假命题，
的命题称为真命题，
的命题称为假命题。要说明一个命题是假命题，常常可
以举出一个例子，使它具备命题的
,而不具有命题的
,这种例子称为
昌具果空珠接·发玉肥力
基础巩固
1.下列语句中，属于定义的是()。
A.两点确定一条直线
B.两条平行线被一条直线所截得的同位角相等
C.两点之间线段最短
D.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离
2.下列句子属于命题的是(
)。
A.正数大于一切负数吗
B.钝角大于直角
C.将16开平方
D.作线段AB的中点
3.命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是()。
A.一个三角形是直角三角形
B.两个锐角
C.互余的两个锐角
D.两个锐角互余
4.下列命题是真命题的是()。
A.算术平方根等于自身的数只有1
B√是最简二次根式
C.有一个角等于60°的三角形是等边三角形
D.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
-1-
5.对于命题“如果∠1十∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的例子是()。
A.∠1=50°，∠2=409
B.∠1=40°，∠2=509
C.∠1=∠2=45
D.∠1=30°，∠2=601
6.判断下列语句是不是命题，如果是命题，那么指出命题的条件和结论。
(1)画射线AC。
(2)同位角相等吗？
(3)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
(4)任意两个直角都相等。
(5)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点。
(6)若|x=|y,则x=y。
强化提高
7.观察下列图形，能说明“锐角α、锐角3的和是锐角”是假命题的是()。
B
A
B
C
8.下列命题是假命题的是()。
A.一个锐角的补角大于这个角
B.凡能被2整除的数，末位数字必是偶数
C.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D.相反数等于它本身的数是0
9.填空
(1)“同角的余角相等”中条件是
,结论是
,是
命题（填“真”或“假”）。
(2)命题“若ab=0,则a=0”是
(填“真”或“假”)命题。若是假命题，请举一个反例，
如
(3)把命题“对顶角相等”的条件和结论互换得到的新命题是
10.给出下列命题：①等角的补角相等；②如果a∥b,c∥a,那么b∥c;③如果一个角的两边分
别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等；④同位角相等。其中真命题有
(填序号)第七章 证明
2认识证明（第1课时）
一、学习任务分析
通过本章第一节的学习，学生已经认识到探究得出的结论需要加以证明。因此，第二节将系统介绍有关证明的基础知识，共安排2课时。其中，第1课时介绍定义、命题、命题的结构、命题的真假以及判断假命题的常用方法；第2课时重点讲解真命题的证明、公理化思想，以及证明的出发点，并通过具体实例让学生感受证明的过程与证明的格式。
本节课是第二节的第1课时，主要是引导学生结合具体实例认识定义与命题，对某些名称和术语加以描述，并作出规定，为后续进行有理有据的证明奠定基础。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在以前的学习中已经接触了不少的几何知识、代数知识，对数学中的名词、概念有了初步的认识。
学生的活动经验基础：通过前面的学习，学生已经了解了为什么要证明，感受到了证明的必要性。学生能将合情推理或通过图形运动等方法探索得出的某些结论用于简单说理，积累了一些简单说理的经验。
三、教学目标
1.通过具体实例了解定义、命题、真命题、假命题的含义。
2.能结合具体实例区分命题的条件和结论。
3.了解判断假命题的方法。
教学重点：区分命题的条件、结论与判断命题的真假。
教学难点：定义、命题、真命题、假命题的含义。
四、教学过程
【第一环节】情境引入
1.活动内容
谈话导入
教师：随着时代的发展，电脑逐渐走进我们的生活，一天小明与小华正在公交车上聊天。
小明说：“……”，小华说：“……”。
小明说：“你知道吗？这个黑客终于被逮住了。”
坐在旁边的乘客一边听着他们的谈话，一边悄悄议论着，一人说“这黑客是个小偷吧？”
另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼。”
两位同学听后笑了，旁边两个人的概念不清楚，“黑客”其实是电脑中的专用术语。
通过上面的对话自然地引出课题：交流时必须对某些名称和术语有共同的语言认识才能进行。
2.活动目的
通过分享生活中的人物或事物名称，让学生体会到人与人之间的交流必须建立在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行。为此，我们需要给出它们的定义，进而让学生体会到在数学学习中下定义的重要性。
3.注意事项
引导学生从引入话题环节快速转接到第二环节，进入课堂正题。
【第二环节】活动探究
1.活动内容
解释“定义”
为了进行有理有据的证明，必须对某些名称和术语形成共同的认识。为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。
例如：
“具有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义；
“两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义；
“无限不循环小数称为无理数”是“无理数”的定义；
“有两边相等的三角形叫作等腰三角形”是“等腰三角形”的定义。
你能列举出一些学过的定义吗？
尝试·思考
下列语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？
（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；
（2）对顶角相等；
（3）无论n为怎样的自然数，式子n2－n＋11的值都是质数；
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（5）你喜欢数学吗？
（6）作线段AB＝CD。
归纳：判断一件事情的句子，叫作命题。例如，上面“尝试·思考”中的语句（1）（2）（3）（4）对事情进行了判断，都是命题。
如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命。例如，上面“尝试·思考”中的语句（5）（6）都不是命题。
思考·交流
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？其他命题是否也有这样的结构特征呢？与同伴进行交流。
（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
（2）如果a＝b, 那么a ＝b ；
（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。
一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。
尝试·思考
指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a≠b，b≠c，那么a≠c；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）三角形三个内角的和等于180°。
2.活动目的
（1）在活动1中，通过学生比较熟悉的名称术语，了解定义的含义。引导学生举出一些定义的实例，让学生认识到定义在学习、生活中的广泛应用，深化对定义的了解。
（2）第一个“尝试·思考”环节，引导学生通过具体例子的辨析，归纳出命题的定义。
（3）“思考·交流”环节，通过观察、对比、分析等方式，总结出命题的结构特征。
（4）第二个“尝试·思考”环节再次复习命题的结构特征，通过实例让学生了解命题有真假之分，并且让学生知道怎样去说明一个命题是假命题。
3.注意事项
（1）对活动1，先让学生回顾数学中的概念，帮助学生下定义。在本环节要注意学生所举的例子，避免出现没有给出明确定义的（如频数分布直方图）和无法给出严格定义（如点、线、面等）的情况。
（2）在第一个“尝试·思考”环节，部分学生可能会出现只选择正确的判断句，而不选错误的判断句的情况，教师要及时给予相应指导，让学生明确不管判断正确与否都是对事情作出了判断。语句（5）是提问，没有给出判断；语句（6）是操作，也没有给出判断。如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它不是命题。
（3）在第二个“尝试·思考”环节，对于条件和结论不明显的命题，可以将这个命题改写为“如果……，那么……”的形式，然后再写出条件和结论，为学生后面学习互逆命题奠定基础。同时，对假命题的判断，一定要让学生充分表达自己的想法，在此基础上总结举反例的方法，使学生对举反例的作用有较深入的了解。
【第三环节】巩固练习
1.活动内容
指出下列各命题的条件和结论，并通过反例说明其中的假命题。
（1）在同一年内，如果5月4日是星期一，那么5月11日也是星期一；
（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；
（3）如果，那么x＝4；
（4）两个锐角之和一定是钝角；
（5）如果x2＞0，那么x＞0；
（6）两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等。
2.活动目的
本环节安排一道习题对本节课所学知识进行巩固练习，使学生进一步明白判断一个命题是假命题，只要举一个“反例”就可以了。
3.注意事项
本环节要让学生自主阅读并作出判断。其中命题（6）的错误语言不好表达，可以引导学生将文字语言转化为图形语言，利用图形直观说明两个三角形不全等。
【第四环节】课堂小结
1.活动内容
说说本节课你学到了什么？
（1）什么是定义？什么是命题？
（2）如何寻找命题的条件和结论？
（3）如何判断一个命题是假命题？
2.活动目的
通过课堂小结，使学生对定义、命题等含义有更清楚的认识，并在头脑中对本节课所学的知识进行系统的归纳和整理。
3.注意事项
教师要引导学生对本节课所学的知识进行回顾，并鼓励学生举例说明。
【第五环节】布置作业
1.活动内容
（1）基础性作业：习题7.2 第2，6题。
（2）拓展性作业：按小组搜集八年级数学教材中新学的部分定义、命题。
五、教学反思
本节课学习的是推理论证的基础内容——定义与命题，学生通过本节课的学习，为后续证明的学习打下基础。本节课教学内容看似很简单，但要让学生真正理解命题的含义，理清命题的结构并不容易。很多学生只是机械地将命题改写成“如果……，那么……”的形式，但往往改写的语句不够通顺、完整。因此，在课堂教学及课后的作业中，进行适当的巩固练习是很有必要的。在探讨命题的结构特征和改写命题形式时，有的学生可能会存在语言表达不通顺、不准确的情况，教师应鼓励学生大胆发表自己的意见，关注学生思维过程的形成并给予适当的引导，避免学生机械地模仿。
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义务教育教科书 数学 八年级上册
第七章 证明
2 认识证明（第1课时）
情境引入
教师：随着时代的发展，电脑逐渐走进我们的生活，一天小明与小华正在公交车上聊天。
小明说：“……”，小华说：“……”。
小明说：“你知道吗？这个黑客终于被逮住了。”
坐在旁边的乘客一边听着他们的谈话，一边悄悄议论着，一人说“这黑客是个小偷吧？”
另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼。”
两位同学听后笑了，旁边两个人的概念不清楚，“黑客”其实是电脑中的专用术语。
例如：
“具有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义；
“两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义；
“无限不循环小数称为无理数”是“无理数”的定义；
“有两边相等的三角形叫作等腰三角形”是“等腰三角形”的定义。
你能列举出一些学过的定义吗？
活动探究
为了进行有理有据的证明，必须对某些名称和术语形成共同的认识。为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。
下列语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？
（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；
（2）对顶角相等；
（3）无论n为怎样的自然数，式子n2－n＋11的值都是质数；
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（5）你喜欢数学吗？
（6）作线段AB＝CD。
答：（1）（2）（3）（4）对事情进行了判断, （5）（6）没有对事情作出判断。
活动探究
【尝试·思考】
2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。
注意：
1.只要对一件事情作出了判断，不管判断正确与否，都是命题。
判断一件事情的句子，叫作命题。例如，上面“尝试·思考”中的语句（1）（2）（3）（4）对事情进行了判断, 都是命题。
如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。例如，上面“尝试·思考”中的语句（5）（6）都不是命题。
活动探究
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？其他命题是否也有这样的结构特征呢？与同伴进行交流。
（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
（2）如果a＝b，那么a2＝b2；
（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。
这些命题都可以写成“如果……，那么……”的形式。
活动探究
【思考·交流】
一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。
命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。
活动探究
指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a≠b，b≠c，那么a≠c；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）三角形三个内角的和等于180°。
活动探究
【尝试·思考】
指出下列各命题的条件和结论，并通过反例说明其中的假命题。
（1）在同一年内，如果5月4日是星期一，那么5月11日也是星期一；
（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；
（3）如果 ，那么x＝4；
（4）两个锐角之和一定是钝角；
（5）如果x2＞0，那么x＞0；
（6）两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等。
巩固练习
说说本节课你学到了什么？
1.什么是定义？什么是命题？
2.如何寻找命题的条件和结论？
3.如何判断一个命题是假命题？
课堂小结
1.基础性作业：习题7.2 第2，6题。
2.拓展性作业：按小组搜集八年级数学教材中新学的部分定义、命题。
布置作业
谢谢

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