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第七章 证明
2认识证明（第2课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第七章“证明”第三节第2课时，在第1课时中，学生学习了定义、命题、命题的结构、命题的真假及判断假命题的常用方法，为本课时学习证明奠定了基础。本课时将引导学生学习真命题的证明，感受公理化思想，明确证明的出发点，并通过具体实例感受证明的过程及证明的书写格式。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生已经学习了几何的基础知识，形成了初步的空间观念和几何直观；能够进行简单的几何说理，有了初步的证明意识；了解了定义、命题等基本概念，并能使用基本事实、定义、性质等解决一些简单的问题。
学生的活动经验基础：在前一节课中，学生了解了为什么要证明，感受到了证明的必要性。在之前的学习中，也获得了简单几何说理和代数说理的经验，具备一定的几何推理能力。同时，学生在长期的学习过程中，已初步具备了观察、分析、类比的学习能力，有了一定的将文字语言转换为符号语言的能力，具备了一定的合作交流能力。
三、教学目标
1.初步感悟公理化思想，并了解本套教材中所采用的基本事实。
2.通过实例感受证明的过程与格式，能进行简单命题的推理。能将简单的文字语言转换为符号语言和图形语言。
3.阅读有关欧几里得的《原本》和公理化资料，感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。
教学重点：感受公理化思想，并了解本套教材中所采用的基本事实，感受证明的过程与格式。
教学难点：感受证明的过程与格式，能进行简单命题的推理。
四、教学过程
【第一环节】复习引入
1.活动内容
说出下列两个命题的条件和结论，并判断下列两个命题的真假，说说你的理由。
（1）相等的角是对顶角；
（2）对顶角相等。
举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？
2.活动目的
通过学生比较熟悉的两个命题入手，回顾上节课所学的命题的概念，并引导学生分析两个命题的条件和结论。在判断两个命题的真假后，请学生说明理由。此时，错误的命题可以通过举反例来辨析，而正确的命题又该如何说明呢？通过几位同学的对话，引起学生的兴趣，并感受数学的趣味性和严谨性。
3.注意事项
由于学生对这两个命题较为熟悉，因此能够准确地说出其条件和结论，并判断其真假。对于假命题，学生可以比较容易地通过举一个反例来说明其不成立。然而，对于真命题，仅靠举一个例子不足以证明其普遍成立。学生可能会通过观察、实验、验证等方法来证明。而新的问题是，用来证明的依据，又该如何证明？从而引出下一个环节的内容。
【第二环节】合作交流
1.活动内容
学生交流合作，讨论“对顶角相等”这个命题该如何证明。大部分学生会考虑到利用同角的补角相等来证明。再次抛出问题“同角的补角相等”，又该如何证明？
在证明一个观点或结论正确时，人们常常是通过“因为A正确，所以B正确”来证明。
同学们是否想过，A正确又是因为什么？源头在哪里？如何确定证明的起点？
其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（约前330—前275）编写了一本书，书名为《原本》。为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理。除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。
演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理。每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。
提问：在几何证明中，哪些内容可以作为证明的依据呢？
预设：定义、图形的性质、定理（已经证明的真命题）、数与式的运算律和运算法则、反映大小关系的有关性质等都可以作为证明的依据。
本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条：
（1）两点确定一条直线。
（2）两点之间线段最短。
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
（8）三边分别相等的两个三角形全等。
2.活动目的
引导学生经历“对顶角相等”的说理过程，体会如何由基本事实出发推导出其他定理。通过这一过程，学生能够感悟到引入基本事实的必要性，对公理化及数学的逻辑性有进一步的理解。此时再提出已学过的八条基本事实，加深学生的理解。
3.注意事项
教师可通过引导，使学生对“源头”产生好奇和兴趣，从而激发学生探究的积极性和学习数学的兴趣。通过基本事实的呈现可以发现证明的依据较多，刚开始学生可能考虑得不完整，需要教师进行引导或讲解。
【第三环节】新课讲授
1.活动内容
根据前面所认识的八条基本事实，我们可以证明下面的定理：
定理 同角（或等角）的补角相等。
定理 同角（或等角）的余角相等。
定理 三角形的任意两边之和大于第三边。
例1 证明：同角（或等角）的补角相等。
教师引导学生一起分析：该命题中的条件和结论分别是什么？已知的是什么？要求证的是什么？如何利用已学知识证明该命题？
根据条件和结论，写出已知、求证及证明过程。
已知：∠A＝∠B，∠C，∠D分别是∠A，∠B的补角。
求证：∠C＝∠D。
证明：∵ ∠C，∠D分别是∠A，∠B的补角（已知），
∴ ∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°（补角的定义）。
又∵ ∠A＝∠B（已知），
∴ ∠C＝∠D（等量代换）。
接下来，就可以用“同角（或等角）的补角相等”这个定理来证明“对顶角相等”。
例2 证明：对顶角相等。
参考上述定理证明过程的格式和规范，请同学们讨论，该命题中的条件和结论是什么？图形怎样画？我们该如何写出已知，求证呢？请参考上一例题并尝试证明。
已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。
求证：∠AOC＝∠BOD。
分析：在基本事实和已证定理中，哪些结论可以判定两个角相等？
证明：∵ 直线AB与直线CD相交于点O，
∴ ∠AOB和∠COD都是平角（平角的定义）。
∴ ∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）。
∴ ∠AOC＝∠BOD（同角的补角相等）。
小结：证明命题的一般步骤如下
（1）分析命题的条件和结论。
（2）画出图形，用符号语言写出已知、求证。
（3）利用所学知识，运用符号语言条理清晰地写出证明过程。
2.活动目的
在讲解例题时，要注意如何将文字语言，即“同角（或等角）的补角相等”“对顶角相等”转换为符号语言和图形语言，需要明确命题中的条件（已知）和结论（求证）。再引导学生思考在基本事实和已证定理中哪些可以证明所需结论，最后带领学生完成命题的证明。
引导学生经历由基本事实证明“同角（或等角）的补角相等”，继而再证明“对顶角相等”的过程。这样的递进式证明过程，可以让学生感受到公理化思想，体会数学的严谨性，并认识证明的过程和格式。
3.注意事项
在之前的学习中，学生对证明已经有了一定的经验积累，所以推理的过程对于大部分学生来说比较简单。难点在于如何将文字命题转换为图形语言和符号语言。因此，课堂教学应着重引导学生分析命题的条件和结论，并将其转换为符号语言。教师需要完整的板书示范，使学生能够模仿并按要求写出证明的过程。例1建议由老师讲解，让学生对命题的证明过程和格式有一个较为清晰的认识。例2建议教师带着学生一起讨论、研究，由师生共同完成。两个例题完成之后，可以让学生用自己的语言总结证明的一般步骤。
【第四环节】练习巩固
1.活动内容
请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明。
已知：如图，△ABC的三条边分别为AB、AC、BC。
求证：AB＋AC＞BC； AB＋BC＞AC； AC＋BC＞AB。
证明：∵ BC是以点B、点C为端点的线段，
∴ AB＋AC＞BC（两点之间线段最短）。
同理，得AB＋BC＞AC； AC＋BC＞AB 。
∴ 三角形的任意两边之和大于第三边。
2.活动目的
通过对命题的证明，进一步强化学生将文字语言转换为符号语言和图形语言的能力，学生也可以参考例题进行模仿，以熟悉证明的过程和格式，进一步理解几何基本事实的意义，感悟数学论证的逻辑，体会数学的严谨性，调动学生的积极性和学习兴趣，并培养学生的表达能力。
3.注意事项
学生容易忽略用符号语言表达命题的条件和结论，建议在练习过程中，多让学生表达、讨论，并上台板演或由学生自主讲题，学生之间可互相纠错、补充。教师在这个过程中应起到引导和辅助的作用，同时需要注意学生的证明格式是否规范。
【第五环节】课堂小结
1.活动内容
（1）如何验证一个命题是真命题？
（2）在数学推理和证明中，可以作为推理依据的内容有哪些？
（3）八条基本事实有哪些？
（4）证明命题的一般步骤是什么？
（5）通过本节课的学习，你还有什么疑惑？
2.活动目的
总结本节课所学的内容，促使学生对本节课所学知识进行思考和总结，从而培养学生的归纳、总结、表达等能力，在一个轻松的交流中，完成本节课的学习。在疑惑部分，教师可引导学生对欧几里得《原本》产生兴趣，培养学生学习数学的兴趣。
3.注意事项
本环节要让学生尽可能自己进行归纳总结，特别是证明命题的一般步骤。在疑惑部分，教师可以引导学生对欧几里得《原本》产生好奇并提出问题，比如学习公理化有什么好处？生活中是否也有类似的实例等等。
【第六环节】布置作业
1.活动内容
（1）基础性作业：习题7.2第5题。
（2）拓展性作业：习题7.2第8题。
2.活动目的
通过课后作业检测学生在本节课的学习情况。比如，对于推理演绎的过程的了解程度，是否能够灵活运用，是否能够将文字语言转换为符号语言和图形语言等。作业第8题的设置让学生可以通过搜集相关资料，感受公理化思想在生活中的应用，体会数学来源于生活，生活中处处有数学，培养学生的学习兴趣。
3.注意事项
基础性作业与例1类似，学生可以通过模仿的方式完成，教师需要关注学生的文字语言与符号语言、图形语言之间的转化，以及完成的证明格式。
拓展性作业是为了让学生更好地体会公理化思想，如交通规则就是一种典型的公理，我们每个人都必须遵守红灯停、绿灯行等基本规则，这些公理是社会共识的体现，是大家都认可的。再比如围棋比赛中，围棋的基本规则就相当于其公理，而各种定式就相当于其定理。
五、教学反思
本节课的教学重点是引导学生初步感受公理化思想，同时理解证明的完整过程及其规范的书写格式。但这些内容对于八年级的学生而言存在一定抽象性。学生在学习证明时往往会陷入“理解易、转化难”的困境，“易”在能听懂证明的逻辑，“难”在无法顺利将文字语言转换成符号语言与图形语言。所以教师在上课时应充分让学生感受公理化思想，并通过规范的证明过程让学生进行模仿，以达到本节课的教学目的。<<<<<<<<
第七章
证明
认识证明（第2课时）
课堂精要·梳理内容
公认的真命题称为
,演绎推理的过程称为
,经过证明的真命题称
为
课堂精练·发展能力
基础巩固
1.下面关于“证明”的说法正确的是(
)。
A.“证明”是一种命题
B.“证明”是一种定理
C.“证明”是一种推理过程
D.“证明”就是举例说明
2.能作为证明依据的是()。
A.定义
B.基本事实
C.定理及其推论
D.以上三项都对
3.下列命题不是基本事实的是()。
A.两点确定一条直线
B.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
C.对顶角相等
D.同位角相等，两直线平行
4.给出下列三个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上：②植树时，只要
定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③把弯曲的公路改直，就能缩短路
程。其中可用基本事实“两点之间线段最短”来解释的有()。
A.①②
B.①③
C.②③
D.③
5.完成下面证明过程：
已知：如图，在△ABC中，
AB=AC,AD是BC边上的中线。
求证：AD⊥BC。
证明：AD是BC边上的中线，
(第5题)
(中线的定义)。
在△ABD和△ACD中，
AB=AC,
.△ABD≌△ACD(
.∠ADB=
(全等三角形的对应角相等)。
一1
,∠ADB+∠ADC=
(平角的定义)，
∴.∠ADB=
强化提高
6.如图，下列不能证明△ABD≌△ACD的条件是()。
(第6题)
A.BD=DC,AD=AC
B.∠ADB=∠ADC,∠BAD=∠CAD
C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD
D.∠ADB=∠ADC,BD=CD
7.已知∠1十∠2=90°，∠2十∠3=90°，则∠1=∠3，理由是
8.下列命题中，可作为证明的出发点和依据的是
①能被3整除的数一定能被6整除；②对顶角相等；③三角形的任意两边之和大于第三
边；④等角的余角相等；⑤三边对应相等的两个三角形全等；⑥如果两个角的和是90°，那
么称这两个角互为余角。
9.已知：如图，点B,C在线段AD上，AB=CD,∠A=∠D,∠E=∠F。
求证：AF=DE。
(第9题)
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第七章证明
10.如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC,ON平分∠BOC。
(1)求∠MON的度数；
(2)如果∠AOB=m°，其他条件不变，求∠MON的度数：
(3)如果∠BOC=n°（∠BOC为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数：
(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到什么结论？
(第10题)
鼎空爽甲要开天不
11.如图，点D是△ABC外一点，连接BD,AD,AD与BC交于点O。给出下列三个等式：
①BC=AD;②∠ABC=∠BAD;③AC=BD。请从这三个等式中任选两个作为已知
条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式的序号填在下面对应的横
线上，然后对该真命题进行证明。
已知：
求证：
(第11题)
一3(共18张PPT)
第七章 证明
2 认识证明（第2课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
1.相等的角是对顶角。
2.对顶角相等。
说出下列两个命题的条件和结论，并判断下列两个命题的真假，说说你的理由。
复习引入
举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢
复习引入
用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法。
这些方法往往不可靠。
能不能根据已经知道
的真命题证实呢
哦……那可怎
么办
那已经知道的真命题
又是如何证实的
在证明一个观点或结论正确时，人们常常是通过“因为A正确，所以B正确”来证明。
同学们是否想过，A正确又是因为什么？源头在哪里？如何确定证明的起点？
合作交流
如何证明对顶角相等？
合作交流
其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（约前330—前275）编写了一本书，书名为《原本》。为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理。除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。
演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理。每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。
合作交流
在几何证明中，哪些内容可以作为证明的依据呢？
1.定义
2.图形的性质
3.定理（已经证明的真命题）
4.数与式的运算律和运算法则
5.反映大小关系的有关性质
合作交流
本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条：
1.两点确定一条直线。
2.两点之间线段最短。
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
8.三边分别相等的两个三角形全等。
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）。
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
合作交流
定理 同角（或等角）的补角相等。
定理 同角（或等角）的余角相等。
定理 三角形的任意两边之和大于第三边。
新课讲授
例1 证明：同角（或等角）的补角相等。
（1）该命题的条件和结论分别是什么？
（2）已知的是什么？要求证的是什么？
（3）如何利用已学知识证明该命题？
新课讲授
我们可以用该定理证明“对顶角相等”。
已知：∠A＝∠B，∠C，∠D分别是∠A，∠B的补角。
求证：∠C＝∠D。
证明：∵∠C，∠D分别是∠A，∠B的补角（已知），
∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°（互补的定义）。
又∵∠A＝∠B（已知），
∴∠C＝∠D（等量代换）。
定理：同角（或等角）的补角相等。
新课讲授
例1 证明：同角（或等角）的补角相等。
（1）该命题的条件和结论是什么？
（2）图形怎样画？
（3）我们该如何写出已知，求证呢？
（4）请参考上一例题并尝试证明。
新课讲授
例2 证明： 对顶角相等。
已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。
求证：∠AOC＝∠BOD。
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴∠AOB和∠COD都是平角（平角的定义）。
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）。
∴∠AOC＝∠BOD （同角的补角相等）。
定理：对顶角相等
新课讲授
例2 证明： 对顶角相等。
分析：在基本事实和已证定理中，哪些结论可以判定两个角相等？
证明命题的一般步骤:
1.分析命题的条件和结论。
2.画出图形，用符号语言写出已知、求证。
3.利用所学知识，运用符号语言条理清晰地写出证明过程。
新课讲授
请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明。
已知：如图，△ABC的三条边分别为AB、AC、BC 。
求证：AB＋AC＞BC； AB＋BC ＞AC； AC＋BC＞AB。
证明：∵BC是以点B、点C为端点的线段，
∴AB＋AC＞BC（两点之间线段最短）。
同理，得AB＋BC ＞AC； AC＋BC ＞AB。
∴三角形的任意两边之和大于第三边。
练习巩固
1.如何验证一个命题是真命题？
2.在数学推理和证明中，可以作为推理依据的内容有哪些？
3.八条基本事实有哪些？
4.证明命题的一般步骤是什么？
5.通过本节课的学习，你还有什么疑惑？
课堂小结
1.基础性作业：习题7.2第5题。
2.拓展性作业：习题7.2第8题。
布置作业
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