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第三章 位置与坐标
回顾与思考
一、学习任务分析
“位置与坐标”是“图形与几何”领域的重要组成部分，是发展学生空间观念的重要载体。本章引领学生感受确定物体位置方法的多样性，从而抽象出平面直角坐标系的概念，进而利用平面直角坐标系确定图形的位置，并从坐标的角度描述学习过的轴对称，进一步认识轴对称。同时，平面直角坐标系是表示变量之间关系的重要工具，因此本章是下一章“一次函数”学习的重要基础。
教材“回顾与思考”旨在引导学生回顾本章内容，梳理知识结构，形成知识系统，养成回顾与反思的习惯，获得知识系统的自主建构能力。为此，本章“回顾与思考”的教学要完成两个方面的任务：一是引导学生进行知识系统的建构；二是通过典型例题的分析帮助学生进一步理解本章的主要数学思想和。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：在小学学生已初步学会用数对表示点的位置，认识了轴对称图形和图形的平移。初中阶段已学习数轴，能用数轴上的点表示数，理解实数与数轴上的点一一对应。在本章，学生学习了在具体问题中建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置；探索了图形轴对称（以坐标轴为对称轴）与点的坐标变化之间关系；能以坐标轴为对称轴，写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标。
学生活动经验基础：经过之前各章的“回顾与思考”，学生已经在教师的带领下，经历了知识系统的建构过程，有了一定的自主梳理本章知识结构的经验，但是这样的经验还不充分。
三、教学目标
1.梳理本章的知识结构，在现实情境中能灵活运用不同的方式确定物体的位置。
2.进一步加深对平面直角坐标系的认识，掌握点的坐标及特殊点的坐标特点，感受图形变换前后点坐标的变化情况。
3.能灵活运用图形与坐标的知识解决简单的实际问题，体会数形结合的数学思想，感受学习数学的乐趣，增强学习数学的信心。
教学重点：体会有序数对可以表示物体的位置，在平面直角坐标系中，能利用点与坐标解决问题。
教学难点：理解平面上的点与坐标的一一对应关系，体会数与形的结合。
四、教学过程设计
【第一环节】回答问题，交流框图
1.活动内容
回答教科书第三章“回顾与思考”中的问题，构建本章的知识框架，并与同伴进行交流。
（1）在平面内，确定点的位置一般需要几个数据？请举例说明。
（2）在平面直角坐标系中，如何确定一个点的坐标？给定点的坐标，如何确定这个点的位置？请分别举例说明。
（3）在平面直角坐标系中，坐标轴上的点具有什么特点？平行于坐标轴的线段上的点，它们的坐标有什么共同特点？请分别举例说明。
（4）在平面直角坐标系中，关于与坐标轴对称的点的坐标之间有怎样的关系？反过来，坐标之间具有这样关系的点关于坐标轴对称吗？这些结论可以帮助你解决哪些问题
（5）梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流（前置作业）。
2.活动目的
引导学生回顾、梳理本章学习内容，建构知识体系，形成对所学内容更为深刻的理解，领悟知识背后的思想方法，积累数学活动经验。
3.注意事项
（1）鼓励学生在思考“回顾与思考”的问题后，独立完成一份小结，用自己的语言梳理本章的内容；也可以鼓励学生查阅资料，了解坐标思想在实际中的应用，加深对本章知识的理解。此环节可以在课前完成。
（2）以下是本章内容结构的一个参考框图。
【第二环节】活动探究，形成感知
1.活动内容
活动1：观察学校平面示意图，思考并回答下列问题：
（1）画一画：如图所示，请建立适当的平面直角坐标系，并说出升旗台点D的坐标。
（2）想一想：若图书馆点B的坐标为（3，2），那么实验楼点C的坐标是什么？
（3）说一说：你还想提出什么问题？请与同伴进行“你问我答”。
（4）若教学楼A（x，y）的坐标满足xy﹥０，则点A在第 象限
象限内点的坐标的特点：
点的位置 P(a，b)
横坐标 纵坐标
第一象限 a＞0 b＞0
第二象限 a＜0 b＞0
第三象限 a＜0 b＜0
第四象限 a＞0 b＜0
活动2：如图所示，已知食堂点M和学生宿舍点N的坐标分别为（3a－5，a－3），（2c，3－3c），且食堂点M位于x轴上，思考并回答下列问题：
（1）求食堂点M的坐标；
（2）已知食堂点M和学生宿舍点N所在直线MN∥y轴，求点N的坐标；
（3）若运动场点Q的坐标为（4m+2，－m－3），且点Q到x轴、y轴的距离相等，求点Q的坐标。
（4）若校医院点P的坐标为（n－2，－n），且其与学生宿舍点N所在直线PN∥x轴，求点P的坐标。
点在特殊位置的坐标特点：
点的位置 坐标特点
横坐标 纵坐标
点在x轴上 纵坐标为0
点在y轴上 横坐标为0
点在与x轴平行的直线上 纵坐标都相等
点在与y轴平行的直线上 横坐标都相等
点在象限的角平分线上 点到x轴、y轴的距离相等； 在第一、三象限，横坐标与纵坐标相等； 在第二、四象限，横坐标与纵坐标互为相反数。
活动3：如图所示，学校计划在教学楼点A、图书馆点B、实验楼点C之间铺设一块三角形草坪△ABC，已知实验楼点C的坐标为（1，1）。
（1）为了美观，在关于x轴对称的位置铺设另一块三角形草坪△，则的坐标是_______，点的坐标是_______，点的坐标是_______；
（2）请计算两块草坪的面积一共是多少？你是怎么做的？与同伴进行交流。
关于与坐标轴对称的点的坐标特点：
点的位置 坐标特点
关于x轴对称的两个点 横坐标相同，纵坐标互为相反数
关于y轴对称的两个点 纵坐标相同，横坐标互为相反数
2.活动目的
（1）活动1，利用学生熟悉的校园作为背景，将校园中的建筑抽象成平面直角坐标系中的点，考查构建平面直角坐标系的常用方法，通过有序实数对确定点的位置，根据点的位置写出坐标及判断象限，而“说一说”可以培养学生发现问题和解决问题的能力。综合考察所学知识的同时，培养学生的模型意识、推理能力、几何直观及创新思维。同时以完善表格的形式帮助学生系统地梳理并总结特殊点的坐标特征，便于全面地复习及形成完整的知识框架。
（2）活动2，以问题串形式考查学生对位于坐标轴、平行于y轴的直线、象限角平分线上的点的坐标特点的掌握情况。再通过变式训练考查位于平行于x轴的直线上的点的坐标特点，在解决问题过程中达到复习的目的。同时以完善表格的形式帮助学生系统地梳理并总结特殊点的坐标特征，便于学生全面复习及形成完整的知识框架。
（3）活动3，考查坐标轴对称的点的坐标特征，计算三角形的面积可以结合各顶点的坐标和顶点到坐标轴的距离，利用割补法求解，此题解法不唯一，可有效发展学生的几何直观。
3.注意事项
本环节主要梳理了点的位置与点的坐标之间的关系，要从“数”与“形”两个角度帮助学生理解和掌握。
【第三环节】问题解决，内化理解
1.活动内容
（1）如图，在平面直角坐标系中，点P，Q的坐标分别是（5，a），（b，7）。根据图中信息，判断点（6－b，a－10）落在第几象限。
（2）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，任意长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P。若点P的坐标为（2a，b＋1），则a与b的数量关系为 。
2.活动目的
（1）问题1考查学生对平面直角坐标系中点的位置及坐标的识别与判断。两道题的综合性都较强，能够加深学生对新知的理解，培养学生的应用意识、数学建模思想，提升分析问题和解决问题的能力。
（2）问题2结合角平分线的尺规作图，考查各象限的角平分线上的点的坐标特征。
3.注意事项
本环节的问题综合性较强，与以前学习过的知识联系紧密。如果学生基础较为薄弱，可以略去不讲，或者先进行一些相关知识的复习铺垫，再有选择地讲解。
【第四环节】自我把脉，强化思想
1.活动内容
（1）关于本章的学习，你还有哪些困惑？
（2）在学习过程中，你体会到了哪些数学思想和方法？
2.活动目的
培养学生回顾与反思的学习习惯，在不断反思中完成新知与旧知的串联与重组，形成更加完整的知识系统。
3.注意事项
此环节鼓励学生大胆表达，同时也可以要求学生在本环节后，完善之前的知识框图。
【第五环节】布置作业，巩固提升
1.活动内容
基础作业：教科书复习题第2，7，8题。
拓展作业：教科书复习题第10题。
2.活动目的
布置不同形式的作业，丰富作业类型，促进学生发展。
3.注意事项
拓展作业要求小组合作完成。
五、教学反思
关注学生已有的知识和经验，将其作为思维的生长点，让学生参与知识的建构过程，教师适时引领学生自主探索，这样不但有利于学生对知识的理解，更有利于激发学生的内驱力。情境的设置应当真实且贴近生活，这样能培养学生用数学的思维解决现实问题的意识和能力，让学生感受到数学的作用及价值。本节课作为本章的最后一节课，应注重课本知识与生活实践相结合，可设计综合与实践活动，让学生自行选择地点、区域藏“宝藏”，并绘制简易地图与同伴交流，同伴可根据地图“寻宝”，寓教于乐。(共21张PPT)
第三章 位置与坐标
回顾与思考
义务教育教科书 数学 八年级上册
回答问题，交流框图
回答下面的问题，回顾所学内容，构建本章的知识框架并交流。
1.在平面内，确定点的位置一般需要几个数据？请举例说明。
2.在平面直角坐标系中，如何确定一个点的坐标？给定点的坐标，如何确定这个点的位置？请分别举例说明。
3.在平面直角坐标系中，坐标轴上的点具有什么特点？平行于坐标轴的线段上的点，它们的坐标有什么共同特点？请分别举例说明。
4.在平面直角坐标系中，关于坐标轴对称的点的坐标之间有怎样的关系？反过来，坐标之间具有这样关系的点关于坐标轴对称吗？这些结论可以帮助你解决哪些问题？
回答问题，交流框图
5.梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流。
活动探究，形成感知
观察学校平面示意图，思考并回答下列问题：
（1）画一画：如图所示，请建立适当的平面直角坐标系，并说出升旗台点D的坐标。
y
x
O
升旗台点D的坐标为(2，2)。
活动一
1
观察学校平面示意图，思考并回答下列问题：
（2）想一想：若图书馆点B的坐标为(3，2)，那么实验楼点C的坐标是什么？
活动探究，形成感知
实验楼点C的坐标为(1，0)。
活动一
1
y
x
O
活动探究，形成感知
观察学校平面示意图，思考并回答下列问题：
（3）说一说：你还想提出什么问题？请与同伴进行“你问我答”。
活动一
1
活动探究，形成感知
（4）若教学楼A(x，y)的坐标满足 xy ＞0，则点 A 在第 象限。
一、三
活动一
1
点的位置 P(a，b) 横坐标 纵坐标
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
b＜0
a＞0
b＞0
a＜0
b＞0
a＜0
b＜0
a＞0
x
y
第一象限
第三象限
第四象限
第二象限
O
知识整合，健全认知——点在象限内的坐标的特点
活动探究，形成感知
如图所示，已知食堂点M和学生宿舍点 N 的坐标分别为(3a－5，a－3)，(2c，3－3c)，且食堂点 M 位于 x 轴上，思考并回答下列问题：
（1）求食堂点 M 的坐标；
解：∵食堂点 M (3a－5，a－3) 位于 x 轴上，
∴a－3＝0，可得a＝3。
因此，食堂点 M 的坐标为(4，0)。
活动二
2
活动探究，形成感知
如图所示，已知食堂点 M 和学生宿舍点 N 的坐标分别为(3a－5，a－3)，(2c，3－3c)，且食堂点 M 位于 x 轴上，思考并回答下列问题：
（2）已知食堂点 M 和学生宿舍点 N 所在直线 MN∥ y 轴，求点 N 的坐标；
解：由（1）知食堂点 M 的坐标为(4，0)。
∵食堂点 M 和学生宿舍点 N 所在直线 MN∥ y 轴，
∴4＝2c，可得 c＝2，
∴3－3c＝3－3×2＝－3，
因此，点 N 的坐标为（4，－3）。
活动二
2
活动探究，形成感知
活动二
2
如图所示，已知食堂点 M 和学生宿舍点 N 的坐标分别为(3a－5，a－3)，(2c，3－3c)，且食堂点 M 位于 x 轴上，思考并回答下列问题：
（3）若运动场点 Q 的坐标为(4m+2，－m－3)，且点Q 到 x 轴、y 轴的距离相等，求点 Q 的坐标。
解：∵运动场点 Q 的坐标为(4m+2，－m－3)，且点 Q 到 x 轴、y 轴的距离相等，
∴ ，即 4m+2＝－m－3或 4m+2＝－(－m－3)。
当 4m+2＝－m－3时，可得 ，
当 4m+2＝－(－m－3)时，可得 。
因此，点 Q 的坐标为(－2，－2)或( ， ) 。
活动探究，形成感知
（4）若校医院点 P 的坐标为(n－2，－n)， 且其与学生宿舍点 N 所在直线 PN∥ x 轴，求点 P 的坐标。
解：∵校医院点 P 的坐标为(n－2，－n)，且其与学生宿舍点 N(4，－3)所在直线 PN∥ x 轴，
∴－n＝－3，可得n＝3，
∴n－2＝3－2＝1，
因此，点 P 的坐标为(1，－3)。
活动二
2
点的位置 坐标特点 横坐标 纵坐标
点在x轴上
点在y轴上
点在与x轴平行的直线上
点在与y轴平行的直线上
点在象限的角平分线上 纵坐标为0
横坐标为0
横坐标都相等
点到x轴、y轴的距离相等；
在第一、三象限，横坐标与纵坐标相等；
在第二、四象限，横坐标与纵坐标互为相反数。
纵坐标都相等
知识整合，健全认知——点在特殊位置的坐标特点
活动探究，形成感知
如图所示，学校计划在教学楼点A、图书馆点B、实验楼点C 之间铺设一块三角形草坪△ABC，已知实验楼点 C 的坐标为(1，1)。
（1）为了美观，在关于 x 轴对称的位置铺设另一块三角形草坪△ ，则点 的坐标是　 　，点 的坐标是 、点 的坐标是　 　；
(－2，－4)
(3，－3)
(1，－1)
活动三
3
活动探究，形成感知
如图所示，学校计划在教学楼点A、图书馆点B、实验楼点C 之间铺设一块三角形草坪△ABC，已知实验楼点 C 的坐标为(1，1)。
（2）请计算两块草坪的面积一共是多少？你是怎么做的？与同伴进行交流。
活动三
3
解：∵△ABC的面积为 ，
因此，两块草坪的面积为 。
点的位置 坐标特点
关于x轴对称的两个点
关于y轴对称的两个点
横坐标相同，纵坐标互为相反数
纵坐标相同，横坐标互为相反数
知识整合，健全认知——关于坐标轴对称的点的坐标特点
问题解决，内化理解
1. 如图，在平面直角坐标系中，点P，Q的坐标分别是(5，a)，(b，7)。根据图中信息，判断点(6－b，a－10)落在第几象限。
解：∵点P，Q的坐标分别是(5，a)，(b，7)，
∴由图象可知，a＜7，b＜5，
∴6－b＞0，a－10＜0，
因此，点(6－b，a－10)落在第四象限。
2. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，任意长为半径画弧，交 x 轴于点M，交 y 轴于点N，分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P。若点P的坐标为(2a，b＋1)，则a与b的数量关系为 。
问题解决，内化理解
2a＋b＝－1
解：根据作图方法可得，点P在第二象限的角平分线上，
因此2a＋b＋1＝0，
即2a＋b＝－1。
因此，a与b的数量关系为2a＋b＝－1。
自我把脉，强化思想
1. 关于本章的学习，你还有哪些困惑？
2. 在学习过程中，你体会到了哪些数学思想和方法？
布置作业，巩固提升
基础作业：教科书复习题第2，7，8题。
拓展作业：教科书复习题第10题。
谢谢

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