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数学答案
1—5 CABDC 6—8 DAA 9. BD 10. ABD11. ABD
12.2 020 14.10368
15.导数的几何意义+函数的单调区间
解：(1)由题知
则 (2分)
又因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，
故
解得 (5分)
(2)若a=0,则 定义域为(0,+∞),
(6分)
(8分)
令f'(x)=01可得 (10分)
当 时,f'(x)>0, (11分)
当 时：,f'(x)<0, (12分)
所以f(x)的单调递增区间为(0,e ),.单调递减区间为 (13分)
16.解:(1)第一步:取A C 的中点O ,连接B O ,O D,OO ,证明四边形B BOO 是平行四边形
如图所示,取A C 的中点O ,连接B O ,O D,OO ,
由题意B B∥AA ∥OO 且
故四边形B BOO 是平行四边形， (2分)
第二步：由平行四边形的性质证明B O∥O D
所以B O ∥BO且.
故B O ∥OD且.
所以四边形B O DO 是平行四边形，
则B O∥O D。 (4分)
第三步：根据线面平行的判定定理证明B O∥平面A DC
又B O 平面A DC ,O D 平面A DC ,所以B O∥平面A DC 。
(2)第一步：建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标
由题意可知AC，BD，OB 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz, (7分)
则由题意O(0,0,0),A(0,-2,0),D(1,0,0),C(0,2,0),B(-1,0,0),B (0,0,2 )。
又
=(0,2,0)+(1,0,2
=(0,-2,0)+(1,0,2
所以 (提示：当点的坐标不容易求解时，可利用向量的线性运算求解)
所以 2,2 )。 (9分)
第二步：求平面A DC 的法向量
设平面 A DC 的一个法向量为m =(x ,y ,z ),则
所以
则 取 ,则m=(1,0,0)。 (11分)
第三步：利用向量的夹角公式求解线面角的正弦值
设AC 与平面A DC 所成角为θ,
则
(14分)
所以AC 与平面A DC 所成角的正弦值为
(15分)
17. 解:(1)因为
所以 (二倍角公式及诱导公式的应用)
因为
所以 (提示：在化简等式时，想要在等式两边同时除以某一个量，必须先分析它是否等于0)
所以 可得 (2分)
因为
所以 解得b=8, (4分)
由余弦定理
得
得(a=7。 (6分)
(2)(i)因为
AC×AD×sin∠CAD
(根据面积相等列等式)
所以
解得 (9分)
(ii)设∠BAD=θ,所以
在△ABD中，由正弦定理得， (11分)
在△ACD中，由正弦定理得
(13分)
由CD=2BD,sin∠ADB=sin∠ADC,
得
即 ，(两角差的正弦公式的应用)
解得
即 (15分)
18. 解:(1)由于双曲线C的右焦点为F(2,0),所以
双曲线C的渐近线方程为 即bx±ay=0,
由于点 F(2，0)到C的一条渐近线的距离为
则 (另解：由双曲线
0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为b，可得(
得
所以双曲线C的方程为 (4分)
(2)(i)第一步:设直线PM的方程为y= kx+m,得k,m的关系式
显然圆O 的切线PM 的斜率存在，设切线PM的方程为y= kx+m,由于切线PM不平行于C 的渐近线，则
由圆心O到切线PM的距离 得 (6分)
第二步：联立直线PM 与双曲线的方程，得到根与系数
的关系
联立得
消去y，得
由题意知Δ>0，设P(x ,y ),M(x ,y ),
则 (根与系数的关系的应用) (8分)
第三步：利用 证明OM⊥OP
而
则
则
所以 即OM⊥OP。(利用向量垂直证明OM⊥OP) (10分)
(ii) 解法 一 第一步：利用平面几何知识得到△PMN面积的表达式
连接ON,由(i)同理可得ON⊥OP,所以M,O,N三点共线，
则△PMN 的面积 ，(利用平面几何知识将△PMN的面积用△POM的面积表示)
设切线PM与圆O的切点为D，
连接OD，如图，则
(12分)
第二步：利用根与系数的关系得到|PM|的表达式
由(i)得
又 ((i)中结论的应用)
则
(14分)
第三步：求得△PMN的面积取最小值时k的值，进而求得此时直线PM，PN的方程
当k=0时,|PM|取得最小值,且| 此时，直线PM平行于x轴，则点M，P的纵坐标绝对值为圆O的半径
得点P的坐标为
所以直线PM的方程为 直线 PN 的方程为x= (17分)
解法 二 第一步：利用平面几何知识得到△PMN面积的表达式
连接ON,由(i)同理可得ON⊥OP,
所以M，O，N三点共线，
则△PMN的面积. (12分)
第二步：设 利用三角知识得|OM|,|OP|的表达式
设切线PM 与圆O的切点为D， 连接OD,
则
在 Rt△ODM 中,
在Rt△ODP中, (14分)
第三步：利用三角函数的有界性求得△PMN面积的最小值，进而求得此时直线PM，PN的方程
则S =|OM||OP|
当 时，S取得最小值，且
即△PMN的面积的最小值为3，(利用三角函数的有界性求解最值)
此时，直线PM平行于x轴，则点M，P的纵坐标绝对值为圆O的半径6/2,
得点P的坐标为
所以直线PM 的方程为 直线PN 的方程为x= (17分)
解法三 第一步：利用平面几何知识得到△PMN面积的表达式
连接ON,由(i)同理可得ON⊥OP,
所以M，O，N三点共线，
则△PMN的面积. (12分)
第二步：设 利用三角知识得sinθ,cosθ的表达式
设切线PM与圆O的切点为D， 连接OD,
则
在Rt△ODM中,
Rt△ODP 中, (诱导公式的应用) (14分)
第三步：利用同角三角函数的基本关系及基本不等式求得△PMN面积的最小值，进而求得此时直线PM，PN的方程
由于
则 (同角三角函数基本关系的应用)
根据基本不等式得
得|OM||OP|≥3,则S=|OM||OP|≥3,当且仅当 时等号成立，(注意等号成立的条件)
即△PMN的面积的最小值为3，
根据双曲线的对称性知，此时直线PM平行于x轴，则点M，P的纵坐标绝对值为圆O的半径
得点P 的坐标为
所以直线PM 的方程为 直线PN的方程为x= (17分)
19.相互独立事件的概率+全概率公式+数列
解：(1)记3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章为事件A，交换过程包含两种情况：
①第1次运动员甲用熊猫主题徽章与运动员乙的袋鼠主题徽章交换，概率为1；
第2次运动员甲用袋鼠主题徽章与运动员乙的袋鼠主题徽章交换，概率为
第3次运动员甲用袋鼠主题徽章与运动员乙的熊猫主题徽章交换，概率为
所以第一种情况的概率为
(2分)
②第1次运动员甲用熊猫主题徽章与运动员乙的袋鼠主题徽章交换，概率为1；
第2次运动员甲用熊猫主题徽章与运动员乙的熊猫主题徽章交换，概率为
第3次运动员甲用袋鼠主题徽章与运动员乙的熊猫主题徽章交换，概率为
所以第二种情况的概率为
(4分)
所以3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率为 (互斥事件的概率加法公式的应用) (5分)
(2)记n次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章的概率为 pn，则.
当n≥2时，n-1次交换后，运动员乙的徽章只有两种可能，一种是3枚徽章都是相同动物，另一种是3枚徽章中有1枚不同动物，
记n-1次交换后，运动员乙的3 枚徽章动物相同为事件B ，动物不同为事件B ，
则 (6分)
记n次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章为事件C,
因为在n-1次交换后徽章动物相同的条件下，n次交换后3枚徽章动物不可能相同，即.
在n-1次交换后徽章动物不同的条件下，n次交换后3枚徽章动物相同的概率
当n≥2时，根据全概率公式可得：
pn =P(C)
(全概率公式的应用) (8分)
所以
即 是首项为 ，公比为 的等比数列，(对等式进行变形，构造等比数列) (9分)
所以
所以
(10分)
(3)记n次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球、羽毛球、篮球3项运动的概率为 qn，
则 (11分)
当n≥2时，n-1次交换后，运动员甲的徽章只有两种可能，一种是包含乒乓球、羽毛球、篮球3项运动，
另一种是只包含乒乓球、羽毛球、篮球3项运动中的2项,
若n-1次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球、羽毛球、篮球3项运动，则n次交换后运动员甲的徽章包含乒乓球、羽毛球、篮球3项运动的概率为 (12分)
若n-1次交换后，运动员甲的徽章只包含乒乓球、羽毛球、篮球3项运动中的2项，则运动员甲的3枚徽章中一定有2枚相同运动的徽章(比如2枚乒乓球徽章，1枚羽毛球徽章)，运动员乙的3枚徽章中也一定有2枚相同运动的徽章，
当运动员甲、乙分别取出各自的2枚相同运动徽章中的1枚进行交换后，运动员甲的3枚徽章就包含乒乓球、羽毛球、篮球3项运动，此事件发生的概率为 (13分)
当n≥2时，根据全概率公式可得：
(14分)
所以 即 是首项为 公比为 的等比数列，
所以 即 (根据 qn的形式可知，求 qn的最大值需要对n分奇偶讨论) (15分)
当n为奇数时， 且
当n为偶数时 所以当n=2时， qn取到最大值 (17分)2025-2026学年高三上学期期中考试
数 学
本试卷共19题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足(1+2i)z=4+3i,则z的实部为
A.1 B. – 1 C.2 D. - 2
2. 已知集合A={x|1≤x<4},B={x|y= lg(x -2x)},则
A.{x|1≤x≤2 }B.{x|1≤x<2} C.{x|23.在四边形ABCD中，若 则 是“四边形ABCD 是正方形”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数f(x) =tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为π/2,则f(π/6)的值是
C.1 D.
5.已知互不相等的数据x ,x ,x ,x ,x ,t|的平均数为t，方差为s ，数据x ,x ,x ,x ,x |的方差为s ，则s ，s 的大小关系为
D.无法判断
6.已知两个等差数列2,6,10,…,98和2,8,14,…,98,将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为
A.850
B.1250
C.400
D.450
7. 已知F ，F 分别为椭圆 的左、右焦点，在椭圆C上存在点 P，满足 且点 F 到直线 PF 的距离为 ，则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.
8.已知正实数a，b满足 和b(lnb-2) = ，则 ab的值为
A. e2029 B. e2028 C. e2027 D. e2026
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.若aC. ln(b-a)>0
10.已知圆锥PO的轴截面为等腰直角三角形，顶点为P，底面圆心为O，EF为底面圆的直径，PO=3，G是底面圆周上异于E，F的一个动点，下列结论正确的是
A.圆锥 PO 的侧面积为
B.当OG⊥PF时,三棱锥P-EFG的体积最大
C.直线EG与直线PF夹角的取值范围是(
D.若二面角 P-EG-O 的大小为π/3,则△PEG的面积为6
11.【深圳市2026届开学质检】已知函数. 且n∈N*),则
B.曲线 关于直线 对称
C. f (x)在区间(0,π/4)上单调递增
D. fn(x)的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知函数 是偶函数,若f(10)=20,则f(-10)= 。
13. 已知抛物线C 的焦点为 F，过点 F的直线l与抛物线C交于M，N两点，若|MN|=54，则直线l的斜率为 。
14. 将9个互不相同的向量 x ,y ∈{1,2,4},i=1,2,…,9填入如图所示3×3的方格中,每个方格填一个向量,使得每行、每列的三个向量之间两两都不共线，则不同的填法种数是 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知函数
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求实数a的值;
(2)若a=0,求f(x)的单调区间。
16.(15分)
由四棱柱 截去三棱锥 后得到如图所示的几何体，四边形ABCD 是菱形，AC=4,BD=2,O 为AC 与 BD 的交点, 平面ABCD。
(1)求证:
(2)若 求 与平面 所成角的正弦值。
17.(15分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c。已知 c=5,△ABC的面积为10
(1)求a,b。
(2)D为边BC上一点,
(i)若AD是∠BAC 的平分线,求线段AD 的长;
(ii)若CD=2BD,求tan∠BAD。
18.(17分)
已知双曲线 的右焦点F(2，0)到C的一条渐近线的距离为
(1)求双曲线C 的方程。
(2)设点 P在C的右支上，过点P作圆O 的两条切线，一条与C的左支交于点M，另一条与C 的右支交于点N(异于点 P)。
(i)证明:OM⊥OP;
(ii)当△PMN 的面积最小时,求直线PM 和直线 PN的方程。
19.(17分)
2025年7月16 日——27 日，第32 届世界大学生运动会在德国举行。在比赛期间，运动员甲(来自中国)和运动员乙(来自澳大利亚)因赛事成为朋友。运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章，其中乒乓球、羽毛球、篮球3个项目的徽章各1 枚；运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目(乒乓球、羽毛球、篮球)徽章。两套徽章除印制的主题图案和项目标识不同外，其余完全相同。为了加深友谊，两人在比赛期间约定，每次见面时，都随机取出1枚徽章与对方进行交换，运动会结束时已重复进行了 次交换。
(1)求3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率；
(2)求n次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章的概率(结果用含n的式子表示)；
(3)求n次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球、羽毛球、篮球3项运动的概率(结果用含n的式子表示)，并求出这个概率的最大值。

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