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安岳中学高2023级月考数学试题
一、单选题
1．一支田径队有男运动员28人，女运动员20人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了男运动员7人，则女运动员被抽取的人数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知，，且，则为（ ）
A． B． C． D．
3．一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则光线所走的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
4．两条平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．某校以此为契机开展航天科普知识竞答，比赛共分为两轮，已知学生甲在第一轮比赛中获胜的概率是，在第二轮比赛中获胜的概率是，两轮均获胜的概率为，则甲参加两轮比赛，恰好有一轮获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为（ ）
A． B．14 C． D．
7．已知双曲线=1(a>0，b>0)的左 右焦点分别为F1(﹣c，0)，F2(c，0)，点P在双曲线的右支上，且满足，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．(2，+∞) B．(1，2) C．(1，) D．(2，)
8．设与轴，轴的正半轴分别交于两点，点（异于）是上一点，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（ ）
A．为定值 B．有最小值 C．为定值 D．有最大值
二、多选题
9．下图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天.下列说法正确的有（ ）
A．该市14天空气质量指数的平均值大于100
B．此人到达当日空气质量优良的概率为
C．此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为
D．每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大
10．在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．对于任意点，都有平面平面
C．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是
D．若平面，则平面截该正方体的截面图形的周长最大值为
11．已知椭圆：的左，右两焦点分别是，，其中直线l：与椭圆交于，两点．则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则的周长为
B．若 ，则椭圆的离心率的取值范围是
C．若的中点为，则
D．弦AB长的取值范围是
三、填空题
12．在一次猜谜语活动中，总共有10道谜题，甲乙两名同学独立竞猜，甲同学猜对了6道谜语，乙同学猜对了8道谜语．假设猜对每道谜语都是等可能的，任选一道谜语，则甲猜对，乙没有猜对的概率为 .
13．已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ．
14．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线l的方程为，则到直线l的距离为 .
四、解答题
15．（1）已知直线l过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．
（2）已知的顶点，AB边上的中线所在直线方程为，AC边上的高线BH所在直线方程为．求顶点C的坐标．
16．已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过右焦点且斜率大于的直线与双曲线的右支交于两点，若，求直线的方程．
17．某校高三年级举行了高校强基计划模拟考试（满分100分），将不低于50分的考生的成绩分为5组，即，并绘制频率分布直方图如图所示，其中在内的人数为2.
(1)求的值，并估计不低于50分考生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(2)现把和内的所有学生的考号贴在质地、形状和大小均相同的小球上，并放在盒子内，现从盒中随机抽取2个小球，若取出的两人成绩差不小于30，则称这两人为“黄金搭档组”.现随机抽取3次，每次取出2个小球，记下考号后再放回盒内，记取出“黄金搭档组”的次数为2的概率.
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，，，.
(1)求证：平面BMD；
(2)求直线PB与平面BMD所成角的余弦值；
(3)线段PA上是否存在一点N使得平面BMN与平面BMD所成角的余弦值为，若存在，求出线段PN的长度；若不存在，请说明理由.
19．已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.
（i）求证：为定值；
（ii）求面积的最大值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C C A B D C AD AB
题号 11
答案 ABD
1．B
【详解】由题意得，女运动员被抽取的人数为.
故选：B.
2．B
【详解】因为，，且，则，
解得，则，所以，
因此，.
故选：B.
3．C
【详解】点关于平面的对称点，
一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则光线所走的路程是.
故选：C.
4．C
【详解】因为两直线平行，所以，解得，
所以直线为，即，
所以两平行线之间的距离.
故选：C.
5．A
【详解】记事件“甲在第一轮中获胜”，“甲在第二轮中获胜”，
则，，，
故，
故恰好有一轮获胜的概率．
故选：A.
6．B
【详解】由椭圆方程得，，.
设椭圆的左焦点为，
,
，
则的周长为
,
当且仅当三点共线，且在的延长线上时取等号.
的周长最大值为.
故选:B.
7．D
【详解】，
，
，，
，
解得，
.
故选：D
8．C
【详解】由题得，，

①当直线斜率不存在时，，是原点，与重合，
则，，所以；
②当直线斜率存在时，设，直线的方程为，
令，解得，则，同理可得，
所以，
又在上，所以，
代入上式得，
综合可得为定值．
故选：C
9．AD
【详解】A.，故正确；
B.在6月1日至6月13日这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为，故不正确；
C.6月1日至6月14日连续两天包含的基本事件有13个，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的基本事件是，，，共4个，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率是，故不正确；
D.空气质量指数趋势图可以看出，从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大，故正确.
故选：AD.
10．AB
【详解】在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），
对于A，当点与重合时，由，得，有，
而平面，平面，因此平面，即平面，A正确；
对于B，由平面，平面，得，又，
平面，则平面，
而平面，因此平面平面，B正确；
对于C，由平面，平面，得，因为，
显然是锐角，则是异面直线与所成的角，而，
，C错误；
对于D，当点与重合时，与选项B同理得平面，当平面为平面时，
平面截正方体所得截面图形为矩形，其周长为，D错误.
故选：AB
11．ABD
【详解】对于A，由椭圆定义知，，则的周长为：
，A正确；
对于B，设，，则，
即，因此，解得，即，B正确；
对于C，由选项B知，，则，
于是得，而直线OM的斜率，因此，C不正确；
对于D，因过椭圆焦点的最短弦为椭圆的通径，其长为，过椭圆焦点的最长弦为椭圆的长轴，其长为，
而弦AB不垂直于椭圆x轴，所以弦AB长的取值范围是.
故选：ABD
12．/0.12
【详解】甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，
则甲猜对，乙没有猜对的概率为．
故答案为：.
13．
【详解】∵，，
∴
，
又，
∴，，，故.
故答案为：.
14．
【详解】直线l的方程标准化：，
直线l过点，方向向量为.
，，，
M到直线l的距离.
故答案为：
15．(1)或；（2）定点．
【详解】试题分析：(1)先设的方程为（）．再求得与两坐标的交点，可得围成的三角形面积为或的方程为或；
（2）由垂直关系可得直线的方程为定点．
试题解析：
(1)显然，直线与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设的斜率为，则，则的方程为． 令，得； 令，得.
于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为，即解得或.
的方程为或．
即或.
（2）因为，，
则直线的方程为，整理得
由，得，所以定点的坐标为．
16．(1)
(2)
【详解】（1）
因为点在上，所以①，
又为的右焦点，轴，则，
故②，联立①②可得，，
故的方程为．
（2）
设直线的方程为，，，
因为斜率大于的直线与的右支交于两点，
所以，即，则，
联立消去整理得，
，
则，，
则，
解得，则（负值舍去），
故直线的方程为
17．(1)；分
(2)
【详解】（1）由题意，得，解得，
不低于50分考生的平均成绩估计为（分）；
（2）在上的频率为，由条件得总人数为，
所以在内的人数为，
记内的所有学生的考号所在小球分别为，内的所有学生的考号所在小球分别为，
则从这6个球中抽取2个球的结果有：，，，共15种，
其中为“黄金搭档组”有，，， 共8种，
所以抽取出‘黄金搭档组”的概率.
记取出“黄金搭档组”的次数为2为事件A，事件表示第次取出“黄金搭档组”，
所以
，
故取出“黄金搭档组”的次数为2的概率为.
18．(1)证明见解析；
(2)；
(3)或．
【详解】（1）连接交于，再连接，
由已知与平行且相等，是平行四边形，因此与互相平分，是中点，又是中点，则，
平面，平面，所以平面；
（2），则是矩形，，
，是中点，则，
平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
，
分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，因此，
，，，
设平面的一个法向量是，
则，令，则，，即，
设直线PB与平面BMD所成角为，则，
；
（3）假设存在满足题意的点，设（），，，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，，
即，
，，，
由题意，解得或，
又 ，
所以或．
所以存在满足题意的点且或．
19．(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）面积的最大值为.
【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在，
当直线斜率为0时，显然，所以；
当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，
则，
设，则，
所以，
因为，
所以.
综上，为定值0.
（ii）由（i）可得，
所以，
所以，当且仅当即时等号成立，
所以面积的最大值为.

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