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浙江省金华市义乌市稠州中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题
一、选择题(每题3分，共30分）
1．（2025八上·义乌月考）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2．（2025八上·义乌月考）在下列长度中的三条线段中，能组成三角形的是（　　）
A．2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，5cm
C．3cm，5cm，9cm D．8cm，4cm，4cm
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.2+3>4，故本选项正确
B.2+3=5，故本选项错误
C.3+5<9，故本选项错误
D.4+4=8，故本选项错误
故答案为：A.
【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立.
3．（2025八上·义乌月考）对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，
∴当，时，若，则，不符合题意，
∴当，时，若，则，不符合题意，
∴当，时，若，则，符合题意，
∴当，时，不符合若，不符合题意，
故选：C．
【分析】根据题意举反例逐一判断即可解题．
4．（2025八上·义乌月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E，则△ABD的BD边上的高是(　　)
A．AD B．DE C．AC D．BC
【答案】C
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：经过三角形一个顶点，向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
∵BEAB于E，
∴DE是ABD的边AB上的高线，
∵ACBD于C，
∴AC是ABD的BD边上的高线．
故选：C
【分析】
本题考查三角形高的定义，准确根据高线的定义找出对应边的高即可.
5．（2025八上·义乌月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠CED＝∠A=30°，则△CDE为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上均有可能
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中， ∠B = 90°，
∴∠A + ∠C = 90°，
∵∠CED = ∠A，
∴∠CED +∠C= 90°，
∴∠CDE = 90°，
即△CDE为直角三角形，
故答案为：B.
【分析】先求得∠A+∠C= 90°，再由∠CED = ∠A得到∠CED+∠C = 90°，从而可得∠CDE = 90°，最后可得结论.
6．（2025八上·义乌月考）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．40° B．100° C．40°或100° D．50°或70°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当这个内角为顶角时，则顶角为
当这个内角为底角时，则两个底角都为 此时顶角为：
故答案为：C.
【分析】分这个角为底角和顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解即可.
7．（2025八上·义乌月考）如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PD＝3cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过P作 于F，
∵OC平分 P
∴ PE的最小值为3cm，
故答案为：B.
【分析】过P作 于点F，根据角平分线的性质推出PF=PD=3cm，根据垂线段最短即可得PE最小值.
8．（2025八上·义乌月考）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝AK，BN＝BK，若∠MKN＝44°，则∠P＝（　　）
A．90° B．92° C．96° D．98°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B.
【分析】
根据等腰三角形的性质得到 证明 ，根据三角形内角和定理计算即可求出 的度数.
9．（2025八上·义乌月考）如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M'，过点M作MN'⊥BC于N'，
∵BD平分∠ABC，M'E⊥AB于点E，M'N'⊥BC于N
∴M'N'=M'E，
∴CE=CM'+M'E
∴当点M与M'重合，点N与N'重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB=4，
∴×4 CE=8，
∴CE=4．
即CM+MN的最小值为4．
故答案为：B．
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M'，过点M'作M'N'⊥BC于N'，由角平分线上的点到角两边的距离相等得M'N'=M'E，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式建立方程求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
10．（2025八上·义乌月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，点P是BC上一点，BD⊥AP交AP延长线于点D，连接CD，CH⊥CD交AD于点H，已知S△ACP﹣S△PBD＝16，则下列结论：①∠CAP＝∠CBD；②△ACH≌△BCD；③S△CHD＝16；④CD＝4，其中正确的结论有（　　）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵BD⊥AP，
∴∠ADB=90°，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠APC=∠BPD，
∴∠CAP =∠CBD， 所以①正确；
∵CH⊥CD，
∴∠HCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACH=∠BCD，
在△ACH和△BCD中，
∴△ACH≌△BCD(ASA)， 所以②正确；
即 所以③正确；
∵△ACH≌△BCD，
∴CH=CD，
∵∠HCD = 90°，
解得 所以④错误.
故答案为：C.
【分析】利用等角的余角相等可对①进行判断；通过证明∠ACH =∠BCD， 则根据“ASA”可证明△ACH≌△BCD(ASA)，则可对②进行判断；接着根据全等三角形的性质得到 则利用等量代换可得到 于是可对③进行判断；然后利用等腰直角三角形的性质和三角形面积公式可对④进行判断.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八上·义乌月考）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是　 　．
【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【分析】根据题意可得钉在墙上的方法是构造三角形支架，即可得出这种方法应用的数学知识是三角形的稳定性.
12．（2025八上·义乌月考）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A=　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴，
，
，
解得：.
故答案为：．
【分析】根据三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”即可求解．
13．（2025八上·义乌月考）如图，已知△ABC的周长为14，根据图中尺规作图的痕迹，若AE＝2，则△ABD的周长为　 　 ．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据图中尺规作图的痕迹得出：MN垂直平分AC，
∴DA =DC， AC=2AE=4，
∴△ABD的周长：AB+AD+BD=AB+CD+BD=AB+BC，
∵△ABC的周长为14，
∴AB+BC+AC=14，
∵AC=4，
∴AB+BC=14-AC=14-4=10，
∴△ABD的周长为10，
故答案为：10.
【分析】由作图得， MN垂直平分AC， 则DA= DC， AC=2AE =4， 那么△ABD的周长： AB+AD+BD=AB+CD+BD=AB+BC， 再根据△ABC的周长为14以及AC =4即可求解.
14．（2025八上·义乌月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD．若∠ABC＝50°，则∠BAD的度数为　 　 ．
【答案】40°
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解： 中，AB=AC，D是边BC的中点，
∴AD是 的中点，
故答案为：
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得 然后利用直角三角形两锐角互余的性质即可解答.
15．（2025八上·义乌月考）如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第4个三角形中以A4为顶点的内角的度数为 　 　
【答案】17.5°
【知识点】三角形外角的概念及性质；探索规律-图形的递变规律；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
∵在 中，
是 的外角
同理可得： 、
故答案为 .
【分析】先根据等腰三角形的性质求出 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出 及 的度数，解答即可.
16．（2025八上·义乌月考）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CE是△ABC的角平分线，BE=2，BC=6，则∠BPC=　 　；CD=　 　
【答案】120°；4
【知识点】角平分线的性质；角平分线的概念；等积变换
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠DBC=，∠DCB=，
∴∠DBC+∠DCB=，
∴∠BCP=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-60°=120°；
∴∠BPE=∠CPD=180°-120°=60°，
在BC上截取BF=BE，
∴BF=2，
∴CF=BC-BF=6-2=4
在△BEP和△BFP中
∴△BEP≌△BFP（SAS）
∠BPE=∠BPF=60°，
∴∠CPF=∠CPD=60°，
在△CPD和△CPF中
∴△CPD≌△CPF（AAS）
∴CD=CF=4
故答案为：120°，4.
【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠ABC+∠ACB的值，利用角平分线的概念可求出∠DBC+∠DCB的度数，然后利用三角形的内角和定理可求出∠BPC的度数；同时可求出∠BPE、∠CPD的度数，在BC上截取BF=BE，可求出CF的长；利用SAS可证得△BEP≌△BFP，利用全等三角形的性质可推出∠CPF=∠CPD，再利用AAS可证得△CPD≌△CPF，利用全等三角形的性质可求出CD的长.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八上·义乌月考）填空：
已知：如图，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，试说明∠B＝∠E．
解：∵AF＝DC（已知），
∴AF﹣CF＝DC﹣ ▲ ，
即AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC≌ ▲ （　　）．
∴∠B＝ ▲ （ ）．
【答案】解：∵AF＝DC（已知），∴AF﹣CF＝DC﹣CF，
即AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF（ SSS ）．
∴∠B＝∠E（ 全等三角形对应角相等 ）．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】求出AC = DF， 根据SSS推出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得出即可.
18．（2025八上·义乌月考）已知△ABC是等腰三角形，AB＝BC，BD平分∠ABC，若AC＝6，求AD的长．
【答案】解： BD平分
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】由等腰三角形的“三线合一”推出 解答即可.
19．（2025八上·义乌月考）已知，如图，AB∥CD，EG 平分∠BEF，FG 平分∠EFD，求证：∠EGF=90°
【答案】解：∵AB∥CD，∴∠BEF +∠EFD =180°，
∵EG 平分∠BEF，FG 平分∠EFD，∴∠GEF=∠BEF， ∠GFE=∠EFD，
故∠GEF+∠GFE=∠BEF+∠EFD=（∠BEF +∠EFD）=90°.
则∠EGF=90°
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠BEF +∠EFD =180°，再利用角平分线的定义可得∠GEF=∠BEF， ∠GFE=∠EFD，因此∠GEF+∠GFE=∠BEF+∠EFD=（∠BEF +∠EFD）=90°，从而可得∠EGF=90° 。
20．（2025八上·义乌月考）如图
（1）如图，在方格纸中，画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；
（2）△ABC的面积为 　 　 ；
（3）在对称轴l上画出一点P，使得PA+PB最短．
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）2.5
（3）解：如图所示，点P即为所求．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（2）∵网格上最小正方形的边长为1，
的面积
【分析】(1)先确定A，B，C关于直线l的对称点 再顺次连接即可；
(2)利用割补法与轴对称的性质可得三角形的面积；
(3)连接AB1，交直线l于点P，则点P即为所作.
21．（2025八上·义乌月考）如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△BAD；
（2）若∠DAB＝70°，求∠AOB的度数．
【答案】（1）证明：在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS）．
（2）解：∵∠D＝90°，∠DAB＝70°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝20°，
由（1）得△ABC≌△BAD，
∴∠BAC＝∠ABD＝20°，
∴∠AOB＝180°-∠ABD-∠BAC＝180°-20°-20°＝140°，
∴∠AOB的度数是140°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据AAS证明两三角形全等即可；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得到∠ABD＝20°，然后根据全等三角形的对应角相等得到∠BAC＝∠ABD＝20°，然后根据三角形的内角和定理解答即可.
22．（2025八上·义乌月考）已知：如图，在△ABC中，于点D，BE⊥AC于点E，且．
（1）求证：；
（2）已知，，求的长．
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）；
（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△ADC，
∴BD＝AD，
∵BC＝BD+CD＝12，
∴AD+CD＝12，
∴AF+DF+DC＝12，
∵DF＝CD，
∴AF+2DF＝12，
∵AF＝6，
∵DF＝3，
∴AD＝AF+DF＝9．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据HL即可证明三角形全等；
(2)根据全等三角形的性质及线段的和差即可得出答案.
23．（2025八上·义乌月考）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G．
（1）如图1，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC＝40°，∠C＝70°，则∠BGE＝ ▲ °；
②若∠A＝50°，则∠BGE＝ ▲ °；
③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
（2）若点E在线段DC上运动时，直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．
【答案】（1）解：①55；②65③∠BGE＝90°﹣∠A，理由为：
由②得，∠BGE＝∠FEG+∠F
＝∠C+∠ABC
＝（∠B+∠C）
＝（180°﹣∠A）
＝90°﹣∠A；
（2）解：∠BGE=∠A
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；三角形的外角和
【解析】【解答】解：(1) ①∵BF是 平分线，EG是 的平分线，
故答案为：55；
②由①得，
故答案为：65；
（2）如图，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠GBC＝∠ABC＝（180°﹣∠A﹣∠C），
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝180°﹣∠C，
∵EH平分∠CEF，
∴∠FEH＝∠CEF＝（180°﹣∠C）＝90°﹣∠C，
∴∠BHG＝180°﹣∠FEH＝180°﹣90°+∠C＝90°+∠C，
∴∠BGE＝180°﹣∠GBC﹣∠BHG
＝180°﹣（180°﹣∠A﹣∠C）﹣（90°+∠C）
＝180°﹣90°+∠A+∠C﹣90°﹣∠C
＝∠A．
【分析】(1)①根据角平分线，平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算即可；
②根据， 再代入计算即可；
③根据②的结论，可得， 解答即可；
(2)画出相应的图形，根据三角形内角和定理平行线的性质与判断得出答案.
24．（2025八上·义乌月考）如图
（1）如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连结CE，把AB，AC，2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围．请写出AD的取值范围，并说明理由．
（2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长ED到点H，使DH＝DE…，请你帮她完成证明过程．
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠A+∠C＝180°，∠ADC＝120°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝60°，连结EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）解：1＜AD＜6；理由如下：
∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
在△CDE和△BDA中，
，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC＝AB，
∵AB＝5，
∴EC＝AB＝5，
在△AEC，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，且AC＝7，
∴2＜AE＜12，
∵DE＝AD，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6；
（2）证明：延长ED到H，使得DH＝DE，连结CH，FH．
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDH中，
，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵DE⊥DF，DE＝DH，
∴EF＝FH，
在△CFH中，CH+CF＞FH，
∴BE+CF＞EF；
（3）解：AF+EC＝EF．理由如下：
延长BC到H，使得CH＝AF，
∵∠A+∠BCD＝180°，∠DCH+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCH，
在△AFD和△CHD中，
，
∴△AFD≌△CHD（SAS），
∴DF＝DH，∠ADF＝∠CDH，
∵∠EDF＝60°，∠ADC＝120°，
∴∠ADF+∠ECD＝60°，
∴∠CDH+∠ECD＝60°
∴∠EDF＝∠EDH＝60°，
在△EDF和△EDH中，
，
∴△EDF≌△EDH（SAS），
∴EF＝EH，
∵EH＝EC+CH＝EC+AF，
∴EF＝AF+EC．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)证明△CDE≌△BDA(SAS)，推出CE=AB=4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
(2)如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接CH，FH.证明△BDE≌△CDH(SAS)，推出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
(3)延长BC到H，使得CH=AF，通过两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题.
1 / 1浙江省金华市义乌市稠州中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题
一、选择题(每题3分，共30分）
1．（2025八上·义乌月考）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·义乌月考）在下列长度中的三条线段中，能组成三角形的是（　　）
A．2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，5cm
C．3cm，5cm，9cm D．8cm，4cm，4cm
3．（2025八上·义乌月考）对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2025八上·义乌月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E，则△ABD的BD边上的高是(　　)
A．AD B．DE C．AC D．BC
5．（2025八上·义乌月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠CED＝∠A=30°，则△CDE为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上均有可能
6．（2025八上·义乌月考）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．40° B．100° C．40°或100° D．50°或70°
7．（2025八上·义乌月考）如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PD＝3cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
8．（2025八上·义乌月考）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝AK，BN＝BK，若∠MKN＝44°，则∠P＝（　　）
A．90° B．92° C．96° D．98°
9．（2025八上·义乌月考）如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（2025八上·义乌月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，点P是BC上一点，BD⊥AP交AP延长线于点D，连接CD，CH⊥CD交AD于点H，已知S△ACP﹣S△PBD＝16，则下列结论：①∠CAP＝∠CBD；②△ACH≌△BCD；③S△CHD＝16；④CD＝4，其中正确的结论有（　　）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八上·义乌月考）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是　 　．
12．（2025八上·义乌月考）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A=　 　．
13．（2025八上·义乌月考）如图，已知△ABC的周长为14，根据图中尺规作图的痕迹，若AE＝2，则△ABD的周长为　 　 ．
14．（2025八上·义乌月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD．若∠ABC＝50°，则∠BAD的度数为　 　 ．
15．（2025八上·义乌月考）如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第4个三角形中以A4为顶点的内角的度数为 　 　
16．（2025八上·义乌月考）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CE是△ABC的角平分线，BE=2，BC=6，则∠BPC=　 　；CD=　 　
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八上·义乌月考）填空：
已知：如图，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，试说明∠B＝∠E．
解：∵AF＝DC（已知），
∴AF﹣CF＝DC﹣ ▲ ，
即AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC≌ ▲ （　　）．
∴∠B＝ ▲ （ ）．
18．（2025八上·义乌月考）已知△ABC是等腰三角形，AB＝BC，BD平分∠ABC，若AC＝6，求AD的长．
19．（2025八上·义乌月考）已知，如图，AB∥CD，EG 平分∠BEF，FG 平分∠EFD，求证：∠EGF=90°
20．（2025八上·义乌月考）如图
（1）如图，在方格纸中，画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；
（2）△ABC的面积为 　 　 ；
（3）在对称轴l上画出一点P，使得PA+PB最短．
21．（2025八上·义乌月考）如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△BAD；
（2）若∠DAB＝70°，求∠AOB的度数．
22．（2025八上·义乌月考）已知：如图，在△ABC中，于点D，BE⊥AC于点E，且．
（1）求证：；
（2）已知，，求的长．
23．（2025八上·义乌月考）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G．
（1）如图1，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC＝40°，∠C＝70°，则∠BGE＝ ▲ °；
②若∠A＝50°，则∠BGE＝ ▲ °；
③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
（2）若点E在线段DC上运动时，直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．
24．（2025八上·义乌月考）如图
（1）如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连结CE，把AB，AC，2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围．请写出AD的取值范围，并说明理由．
（2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长ED到点H，使DH＝DE…，请你帮她完成证明过程．
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠A+∠C＝180°，∠ADC＝120°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝60°，连结EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.2+3>4，故本选项正确
B.2+3=5，故本选项错误
C.3+5<9，故本选项错误
D.4+4=8，故本选项错误
故答案为：A.
【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立.
3．【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，
∴当，时，若，则，不符合题意，
∴当，时，若，则，不符合题意，
∴当，时，若，则，符合题意，
∴当，时，不符合若，不符合题意，
故选：C．
【分析】根据题意举反例逐一判断即可解题．
4．【答案】C
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：经过三角形一个顶点，向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
∵BEAB于E，
∴DE是ABD的边AB上的高线，
∵ACBD于C，
∴AC是ABD的BD边上的高线．
故选：C
【分析】
本题考查三角形高的定义，准确根据高线的定义找出对应边的高即可.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中， ∠B = 90°，
∴∠A + ∠C = 90°，
∵∠CED = ∠A，
∴∠CED +∠C= 90°，
∴∠CDE = 90°，
即△CDE为直角三角形，
故答案为：B.
【分析】先求得∠A+∠C= 90°，再由∠CED = ∠A得到∠CED+∠C = 90°，从而可得∠CDE = 90°，最后可得结论.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当这个内角为顶角时，则顶角为
当这个内角为底角时，则两个底角都为 此时顶角为：
故答案为：C.
【分析】分这个角为底角和顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解即可.
7．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过P作 于F，
∵OC平分 P
∴ PE的最小值为3cm，
故答案为：B.
【分析】过P作 于点F，根据角平分线的性质推出PF=PD=3cm，根据垂线段最短即可得PE最小值.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B.
【分析】
根据等腰三角形的性质得到 证明 ，根据三角形内角和定理计算即可求出 的度数.
9．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M'，过点M作MN'⊥BC于N'，
∵BD平分∠ABC，M'E⊥AB于点E，M'N'⊥BC于N
∴M'N'=M'E，
∴CE=CM'+M'E
∴当点M与M'重合，点N与N'重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB=4，
∴×4 CE=8，
∴CE=4．
即CM+MN的最小值为4．
故答案为：B．
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M'，过点M'作M'N'⊥BC于N'，由角平分线上的点到角两边的距离相等得M'N'=M'E，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式建立方程求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
10．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵BD⊥AP，
∴∠ADB=90°，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠APC=∠BPD，
∴∠CAP =∠CBD， 所以①正确；
∵CH⊥CD，
∴∠HCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACH=∠BCD，
在△ACH和△BCD中，
∴△ACH≌△BCD(ASA)， 所以②正确；
即 所以③正确；
∵△ACH≌△BCD，
∴CH=CD，
∵∠HCD = 90°，
解得 所以④错误.
故答案为：C.
【分析】利用等角的余角相等可对①进行判断；通过证明∠ACH =∠BCD， 则根据“ASA”可证明△ACH≌△BCD(ASA)，则可对②进行判断；接着根据全等三角形的性质得到 则利用等量代换可得到 于是可对③进行判断；然后利用等腰直角三角形的性质和三角形面积公式可对④进行判断.
11．【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【分析】根据题意可得钉在墙上的方法是构造三角形支架，即可得出这种方法应用的数学知识是三角形的稳定性.
12．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴，
，
，
解得：.
故答案为：．
【分析】根据三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”即可求解．
13．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据图中尺规作图的痕迹得出：MN垂直平分AC，
∴DA =DC， AC=2AE=4，
∴△ABD的周长：AB+AD+BD=AB+CD+BD=AB+BC，
∵△ABC的周长为14，
∴AB+BC+AC=14，
∵AC=4，
∴AB+BC=14-AC=14-4=10，
∴△ABD的周长为10，
故答案为：10.
【分析】由作图得， MN垂直平分AC， 则DA= DC， AC=2AE =4， 那么△ABD的周长： AB+AD+BD=AB+CD+BD=AB+BC， 再根据△ABC的周长为14以及AC =4即可求解.
14．【答案】40°
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解： 中，AB=AC，D是边BC的中点，
∴AD是 的中点，
故答案为：
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得 然后利用直角三角形两锐角互余的性质即可解答.
15．【答案】17.5°
【知识点】三角形外角的概念及性质；探索规律-图形的递变规律；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
∵在 中，
是 的外角
同理可得： 、
故答案为 .
【分析】先根据等腰三角形的性质求出 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出 及 的度数，解答即可.
16．【答案】120°；4
【知识点】角平分线的性质；角平分线的概念；等积变换
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠DBC=，∠DCB=，
∴∠DBC+∠DCB=，
∴∠BCP=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-60°=120°；
∴∠BPE=∠CPD=180°-120°=60°，
在BC上截取BF=BE，
∴BF=2，
∴CF=BC-BF=6-2=4
在△BEP和△BFP中
∴△BEP≌△BFP（SAS）
∠BPE=∠BPF=60°，
∴∠CPF=∠CPD=60°，
在△CPD和△CPF中
∴△CPD≌△CPF（AAS）
∴CD=CF=4
故答案为：120°，4.
【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠ABC+∠ACB的值，利用角平分线的概念可求出∠DBC+∠DCB的度数，然后利用三角形的内角和定理可求出∠BPC的度数；同时可求出∠BPE、∠CPD的度数，在BC上截取BF=BE，可求出CF的长；利用SAS可证得△BEP≌△BFP，利用全等三角形的性质可推出∠CPF=∠CPD，再利用AAS可证得△CPD≌△CPF，利用全等三角形的性质可求出CD的长.
17．【答案】解：∵AF＝DC（已知），∴AF﹣CF＝DC﹣CF，
即AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF（ SSS ）．
∴∠B＝∠E（ 全等三角形对应角相等 ）．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】求出AC = DF， 根据SSS推出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得出即可.
18．【答案】解： BD平分
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】由等腰三角形的“三线合一”推出 解答即可.
19．【答案】解：∵AB∥CD，∴∠BEF +∠EFD =180°，
∵EG 平分∠BEF，FG 平分∠EFD，∴∠GEF=∠BEF， ∠GFE=∠EFD，
故∠GEF+∠GFE=∠BEF+∠EFD=（∠BEF +∠EFD）=90°.
则∠EGF=90°
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠BEF +∠EFD =180°，再利用角平分线的定义可得∠GEF=∠BEF， ∠GFE=∠EFD，因此∠GEF+∠GFE=∠BEF+∠EFD=（∠BEF +∠EFD）=90°，从而可得∠EGF=90° 。
20．【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）2.5
（3）解：如图所示，点P即为所求．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（2）∵网格上最小正方形的边长为1，
的面积
【分析】(1)先确定A，B，C关于直线l的对称点 再顺次连接即可；
(2)利用割补法与轴对称的性质可得三角形的面积；
(3)连接AB1，交直线l于点P，则点P即为所作.
21．【答案】（1）证明：在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS）．
（2）解：∵∠D＝90°，∠DAB＝70°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝20°，
由（1）得△ABC≌△BAD，
∴∠BAC＝∠ABD＝20°，
∴∠AOB＝180°-∠ABD-∠BAC＝180°-20°-20°＝140°，
∴∠AOB的度数是140°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据AAS证明两三角形全等即可；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得到∠ABD＝20°，然后根据全等三角形的对应角相等得到∠BAC＝∠ABD＝20°，然后根据三角形的内角和定理解答即可.
22．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）；
（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△ADC，
∴BD＝AD，
∵BC＝BD+CD＝12，
∴AD+CD＝12，
∴AF+DF+DC＝12，
∵DF＝CD，
∴AF+2DF＝12，
∵AF＝6，
∵DF＝3，
∴AD＝AF+DF＝9．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据HL即可证明三角形全等；
(2)根据全等三角形的性质及线段的和差即可得出答案.
23．【答案】（1）解：①55；②65③∠BGE＝90°﹣∠A，理由为：
由②得，∠BGE＝∠FEG+∠F
＝∠C+∠ABC
＝（∠B+∠C）
＝（180°﹣∠A）
＝90°﹣∠A；
（2）解：∠BGE=∠A
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；三角形的外角和
【解析】【解答】解：(1) ①∵BF是 平分线，EG是 的平分线，
故答案为：55；
②由①得，
故答案为：65；
（2）如图，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠GBC＝∠ABC＝（180°﹣∠A﹣∠C），
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝180°﹣∠C，
∵EH平分∠CEF，
∴∠FEH＝∠CEF＝（180°﹣∠C）＝90°﹣∠C，
∴∠BHG＝180°﹣∠FEH＝180°﹣90°+∠C＝90°+∠C，
∴∠BGE＝180°﹣∠GBC﹣∠BHG
＝180°﹣（180°﹣∠A﹣∠C）﹣（90°+∠C）
＝180°﹣90°+∠A+∠C﹣90°﹣∠C
＝∠A．
【分析】(1)①根据角平分线，平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算即可；
②根据， 再代入计算即可；
③根据②的结论，可得， 解答即可；
(2)画出相应的图形，根据三角形内角和定理平行线的性质与判断得出答案.
24．【答案】（1）解：1＜AD＜6；理由如下：
∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
在△CDE和△BDA中，
，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC＝AB，
∵AB＝5，
∴EC＝AB＝5，
在△AEC，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，且AC＝7，
∴2＜AE＜12，
∵DE＝AD，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6；
（2）证明：延长ED到H，使得DH＝DE，连结CH，FH．
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDH中，
，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵DE⊥DF，DE＝DH，
∴EF＝FH，
在△CFH中，CH+CF＞FH，
∴BE+CF＞EF；
（3）解：AF+EC＝EF．理由如下：
延长BC到H，使得CH＝AF，
∵∠A+∠BCD＝180°，∠DCH+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCH，
在△AFD和△CHD中，
，
∴△AFD≌△CHD（SAS），
∴DF＝DH，∠ADF＝∠CDH，
∵∠EDF＝60°，∠ADC＝120°，
∴∠ADF+∠ECD＝60°，
∴∠CDH+∠ECD＝60°
∴∠EDF＝∠EDH＝60°，
在△EDF和△EDH中，
，
∴△EDF≌△EDH（SAS），
∴EF＝EH，
∵EH＝EC+CH＝EC+AF，
∴EF＝AF+EC．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)证明△CDE≌△BDA(SAS)，推出CE=AB=4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
(2)如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接CH，FH.证明△BDE≌△CDH(SAS)，推出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
(3)延长BC到H，使得CH=AF，通过两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题.
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