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浙江省杭州市余杭区2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷
1．（2025八上·余杭月考）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　　）
A．1， 2， 3 B．2， 2， 3 C．2， 3， 4 D．3， 4， 5
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A选项，1+2=3，不满足两边之和大于第三边，排除；
B、C、D都符合三角形三边关系.
故答案为：A.
【分析】根据三角形“三边关系”判断即可.
2．（2025八上·余杭月考）《国语·楚语》有云：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美。”里里外外皆均衡妥帖，方为“美”，对称即是这样的美。下列航空公司的标志是轴对称图形的是（　　）
A．贵州航空
B．中国南方航空
C．江西航空
D．中国国际航空
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A选项是中心对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，符合题意；
C不是轴对称图形，不符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的概念（在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形 ）作答.
3．（2025八上·余杭月考）下列命题为假命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．等角的补角相等
C．同旁内角互补 D．两直线平行，同位角相等
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A选项“对顶角相等”，对顶角的性质，真命题；
B选项“ 等角的补角相等 ”，真命题；
C选项， 同旁内角互补 ，假命题，“两直线平行，同旁内角互补”.
D选项， 直线平行，同位角相等 ，真命题.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质、对顶角相等、同角（或等角）的补角（或余角）相等等性质判作答.
4．（2025八上·余杭月考）如图，△OAD≌△OBC，且∠O=80°，∠C=25°，则∠DAC的度数为（　　）
A．75° B．100° C．105° D．130°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解： ∵△OAD≌△OBC ，
∴∠D=∠C=25°，
∴ ∠DAC =∠D+ ∠O=80°+25°=105°，
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的性质知D=∠C=25°，根据外角定义计算 ∠DAC的度数 .
5．（2025八上·余杭月考）已知等腰三角形的一边长为4，周长为20，则它的腰长为（　　）
A．4 B．8 C．10 D．4或8
【答案】B
【知识点】等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：若边长4为腰，则其底边为20-4-4=12，此时4，4，12不能构成三角形；
若边长4为底边，则其腰长为=8，此时三角形三边为4，8，8；
故答案为：B.
【分析】对三角形边长进行讨论，根据三角形三边关系确定符合条件的腰长.
6．（2025八上·余杭月考）如图，把三角形纸片ABC分别沿DE，MN所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若∠BAC=110°，则∠DAM的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠知：∠B=∠BAD，∠C=∠CAM，
∵ ∠BAC=110 ，
∴∠C+∠B=180°-∠BAC=70°，
∴∠BAD+∠CAM=70°，
∴ ∠DAM =∠BAC-（∠BAD+∠CAM）=40°，
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和知∠C+∠B=180°-∠BAC=70°，再根据折叠知∠B=∠BAD，∠C=∠CAM，从而利用角的运算计算 ∠DAM的度数 .
7．（2025八上·余杭月考）如图，BC=BE，∠1=∠2，添加下列条件，不能判定△ABC≌△DBE的是（　　）
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DEB C．AB=DB D．AC=DE
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： ∵∠1=∠2，
∴ ∠1+∠ABE=∠2+∠ABE，
即∠DBE=∠ABC，
又 BC=BE ，
∴可以添加AB=BD(SAS)，∠A=∠D(AAS)， ∠ACB=∠DEB (ASA)，
∴选项A、B、C都可以判定 △ABC≌△DBE ，
故答案为：D.
【分析】根据三角形全等的判定方法作答.
8．（2025八上·余杭月考）如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱。该太阳能热水器安装后，我们可以将其看作△ABC（如图2）。为了使其更加牢固，安装工人增加了AE，DE两根支架。若支架AE与地面CE呈 60°，支架DE⊥AB，∠C=90°，∠BAC=2∠B，AC=1.2m，则BD的长为（　　）
A．1m B．1.2m C．1.4m D．1.5m
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ ∠C=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠BAC=60°，∠B=30°，
∴AB=2AC=2.4m，
∵ 支架AE与地面CE呈 60°， 即∠AEC=60°，
∴∠CAE=90°-∠AEC=30°，
∴∠DAE=∠BAC-∠CAE=30°，
∴∠DAE=∠B，
∴AE=BE，
∵ DE⊥AB ，
∴BD=AB=1.2m.
故答案为：B.
【分析】根据题意得AE=BE，结合等腰三角形“三线合一”及“30°角所对直角边等于斜边一半”计算出BD的长.
9．（2025八上·余杭月考）在△ABC中，ACA． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A选项作图知CA=CP，故不能判断 PA+PB=BC ；
B选项AP为∠BAC的角平分线，不能判断PA+PB=BC ；
C选项所作图为AC的垂直平分线，故有PA=PC，所以 PA+PB=PC+PB=BC；
D选项所作图为AB的垂直平分线，故有PB=PA，所以PA+PB=2PB，不能不能判断PA+PB=BC ；
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等作答.
10．（2025八上·余杭月考）如图，AD、CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于点G，AE平分∠CAD交BC于点E，交CF于点M，连接BM交AD于点H，且BM⊥AE。下列两个结论：
①△ACM≌△BCM；②BC=BH+2MH。
判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①正确②错误
C．①错误②正确 D．①②都错误
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵ CF是△ABC的角平分线，
∴∠ACM=∠BCM，
∵ AE平分∠CAD ，
∴∠DAE=∠CAE，
∵ AD是△ABC的高， BM⊥AE ，
∴∠BDH=∠AMH=90°，
又∠AHM=∠BHD，∠DAE+∠AHM+∠AMH=∠BHD+∠BDH+∠HBD=180°，
∴∠DAE=∠HBD，
∴∠CAE=∠CBM，
在△BCM和△ACM中，
∵∠CAE=∠CBM，∠ACM=∠BCM，CM=CM，
∴ △ACM≌△BCM （AAS），即①正确.
延长BM交AC于N点，
∵BM⊥AE，
∴∠BME=∠AMN=90°，
又∠DAE=∠CAE，AM=AM，
∴△AMH≌△AMN（ASA），
∴MH=MN，
∴BN=BH+MH+MN=BH+2MH≠BC，
故②错误；
故答案为：B.
【分析】根据“AAS”证明 △ACM≌△BCM得①正确；根据“ASA”证明△AMH≌△AMN得MH=MN，从而知BH+2MH=BN≠BC，即②错误.
11．（2025八上·余杭月考）如图，一面小红旗，其中∠A=60°，∠B=30°，则∠BCD=　 　°
【答案】90
【知识点】三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠ACB+∠A+∠B=180°， ∠A=60°，∠B=30°，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°.
故答案为：90.
【分析】根据三角形内角和定理及邻补角定义作答.
12．（2025八上·余杭月考）在△ABC中，如果∠B=45°，∠C=72°，那么与∠A相邻的一个外角等于　 　。
【答案】117
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠B=45°，∠C=72°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=63°，
∴∠A相邻的外角为180°-∠A=117°.
故答案为：117.
【分析】根据三角形内角和定理及外角定义作答.
13．（2025八上·余杭月考）用“举反例”的方法说明命题“若a有平方根，则a是正数”是假命题，则反例是　 　。
【答案】
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：反例，即满足命题的条件部分，但命题的结论不成立，
若a=0，它的平方根为0，但此时a不是正数.
故答案为：a=0.
【分析】根据反例的定义作答.
14．（2025八上·余杭月考）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板（AC=BC，∠BCA=90°），其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿。已知每本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为　 　cm.
【答案】24
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：据题意知：BD=4cm，AE=20cm，BD⊥DC，AE⊥CE，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∴∠BCD+∠DBC=90°，
∵∠BCA=90°，
∴∠BCD+∠ACE=90°，
∴∠DBC=∠ACE，
在△ACE和△CBD中，
∵∠AEC=∠BDC，∠DBC=∠ACE， AC=BC，
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴DC=AE=20cm，CE=BD=4cm，
∴DE=DC+CE=20+4=24cm.
故答案为：24.
【分析】根据“一线三等角”模型证明△ACE≌△CBD，利用全等三角形性质计算DE的长.
15．（2025八上·余杭月考）如图，在△ABC中，D为AB上一点，满足∠A=∠ADC，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与AB和BC交于点E和F，再分别以点E和F为圆心、大于EF的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点G，作射线BG交CD于点H。若∠BAC=a，∠ABC=β，则∠BHC=　 　.
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵ ∠A=∠ADC，∠A=α，
∴∠BDH=180°-∠ADC=180°-α，
∵BH平分 ∠ABC，∠ABC=β，
∴∠ABH=∠ABC=β，
∴ ∠BHC =∠BDH+∠ABH=180°-α+β，
故答案为：180°-α+β.
【分析】根据作图轨迹知BH是 ∠ABC的平分线，从而知∠ABH=∠ABC=β，在根据外角性质知∠BHC =∠BDH+∠ABH=180°-α+β.
16．（2025八上·余杭月考）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，BC=13，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是BD，AB上的动点，则：
（1）AD的长为　 　；
（2）AE+EF的最小值为　 　.
【答案】（1）
（2）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）如图，过D作DH⊥BC于H点，
∵ BD平分∠ABC ，∠BAC=90° ，
∴AD=DH，∠ABD=∠HBD，
又BD=BD，
∴△ABD≌△HBD（HL），
∴BH=AB=5，
∴CH=13-5=8，
设AD=a，则DH=a，CD=12-a，
在Rt△DHC中，CD2=DH2+CH2，
即（12-a）2=a2+82，
∴a=
故答案为：.
（2）如图，
在BC上取BG=BF，连接EG，
由（1）知，∠ABD=∠HBD，
又BE=BE，
∴△FBE≌△GBE（SAS），
∴FE=GE，
∴ AE+EF的最小值即AE+GE的最小值，
∴当AG⊥BC时，AE+GE有最小值，最小值为AG，
∵S△ABC=AB×AC=AG×BC，
AG==
故答案为：.
【分析】⑴根据角平分线的性质及定义知AD=DH，∠ABD=∠HBD，从而易证△ABD≌△HBD，根据全等三角形性质及勾股定理求 AD的长 .
⑵利用对称性，根据“将军饮马”思路知垂线段AG即为所求，再根据面积法求AG的长.
17．（2025八上·余杭月考）如图，已知点E，F是线段BD上的两点，且AB=CD，∠B=∠D，BF=DE，求证： ∠AEB=∠CFD。
【答案】证明：，
即
又∵
∴（SAS）
∴＝
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】 要证明∠AEB=∠CFD，可通过证明△ABE≌△CDF，利用全等三角形对应角相等得出结论.注意需将BF=DE转换为BE=DF，进而结合已知条件应用“边角边（SAS）”判定全等.
18．（2025八上·余杭月考）如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别是△ABC的高、角平分线、中线。
（1）若△ABC的面积为6，则△ABF的面积为　 　.
（2）当∠B=30°，∠C=45°时，求∠DAE的度数。
【答案】（1）3
（2）解：∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：（1）解：∵是的中线，且的面积为6，
∴的面积为，
故答案为：3.
【分析】⑴根据三角形中线平分三角形面积作答.
⑵根据三角形内角和定理知∠BAC的度数，再根据角平分线定义知∠CAE的度数，最后根据直角三角形两锐角互余求 ∠DAE的度数 .
19．（2025八上·余杭月考）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。在AB上截取 AE=AC，连结DE。若BC=6 cm，BE=3 cm。
（1）求证： △AED≌△ACD；
（2）求△BED 的周长。
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
在△AED和△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD（SAS）
（2）解：由（1）知△AED≌△ACD，
∴ED＝CD，
∴BD＋ED＝BD＋CD＝BC＝6cm，
∴BD＋ED＋BE＝6＋3＝9（cm），
∴△BED的周长是9 cm．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】⑴根据角平分线定义知∠EAD＝∠CAD，再根据“SAS”证明△AED≌△ACD.
⑵根据（1）知△AED≌△ACD得ED＝CD，从容知BD＋ED＝BD＋CD＝BC，最后计算周长即可.
20．（2025八上·余杭月考）小聪与小明同学对作格点等腰三角形（顶点都在小正方形的顶点上的等腰三角形）展开探究。
如图1，在一个5×5的方格图中，已知格点A、B，确定点C的位置，使△ABC是格点等腰三角形。
小聪的作法：以点A为圆心，以AB长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（B点除外）就是点C的位置。
（1）按照小聪的作法，能确定　 　个点C，此时等腰三角形的底边是　 　 （填线段）
（2）小明受到小聪的启发，也有了自己的想法，他想以AC作为△ABC的底边，那么小明的作法应该是：以点　 　为圆心，以　 　长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置。
（3）你还有其他确定点C位置的方法吗？请将你的想法在图2中用尺规作图的方法表示出来（不写作法，保留作图痕迹）。
（4）小聪、小明和你一共作出了　 　个符合要求的点C。
【答案】（1）3；BC
（2）B；AB
（3）解：如图所示，即为所求；
（4）8
【知识点】等腰三角形的概念；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：（1）如图，
符合条件的C点有3个，此时等腰三角形的底边为BC，
故答案为：3；BC.
⑵如图，
以点B为圆心，以AB长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置 ，共有3个符合条件的C点.
故答案为：B；AB.
(4)由以上作图知，共有8个符合条件的C点.
故答案为：8.
【分析】⑴ 以点A为圆心，以AB长为半径画弧， 根据作图轨迹作答.
⑵以点B为圆心，以AB长为半径画弧， 根据作图方法作答.
⑶以A、B分别为圆心，以大于AB长为半径作图.
⑷综合以上作图可知答案.
21．（2025八上·余杭月考）小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°．
（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由；
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
【答案】（1）解：△OBD与△COE全等．
理由如下：
由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，，
∴△COE≌△OBD（AAS）
（2）解：∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.6m和2m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2﹣1.6＝0.4（m），
∵AD＝1.2m，
∴AE＝AD+DE＝1.6（m），
答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由题意可知∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，根据同角的余角相等可得∠COE=∠OBD，然后根据全等三角形的判定定理进行解答；
（2）根据全等三角形的性质可得CE=OD，OE=BD，则DE=OD-OE=CE-BD=0.4m，然后根据AE=AD+DE进行计算.
22．（2025八上·余杭月考）如图，在△ABC中，直线l垂直平分边BC，分别交AC，BC于点D，E，连接BD。
（1）若AB=8，△ABD的周长为19，则AC的长为　 　.
（2）若∠ADB=90°，求∠ACB 的度数；
（3）已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC，试判断点P是否在边AB的垂直平分线上，并说明理由。
【答案】（1）11
（2）解：，
，
直线垂直平分边，
，
.
（3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下：
连接、，
直线垂直平分边，点在直线上，
，
点在边的垂直平分线上，
，
，
点在边的垂直平分线上．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：（1）∵ 直线l垂直平分边BC ，
∴BD=CD，
∵ △ABD的周长为19，
∴AB+BD+AD=19，
即AB+CD+AD=AB+AC=19，
∵AB=8，
∴AC=11.
故答案为：11.
【分析】⑴根据垂直平分线的性质知BD=CD，从而知周长=AB+AD+BD=AB+CD，计算出AC的长即可.
⑵根据题意知，结合BD=CD，知.
⑶根据垂直平分线性质知PA=PB=PC，根据垂直平分线的判定知点在边的垂直平分线上.
23．（2025八上·余杭月考）【问题提出】我们知道：三角形全等的判定方法有："SSS，SAS，ASA，AAS”，如果两个三角形有两边和一个角对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？小明受到书本第34页的探究活动的启发，进行了如下探究。
【初步思考】不妨设这个对应角为∠B，然后对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究。
【深入探究】
（1）第一种情况：当∠B是锐角时，如图1，在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，△ABC和△DEF全等（填写"一定"或"不一定”）。
如果一定全等，请证明；如果不一定全等，请用尺规作△DEF，使△DEF和△ABC不全等。
（2）第二种情况：当∠B是直角时，小明查阅资料发现：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
如图2，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°可知△ABC和△DEF　 　全等（填写“一定”或“不一定”）
（3）第三种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF。
如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，小明由（2）受到了启发，很快证出了△ABC≌△DEF。请聪明的你完成小明的推理过程。
【答案】（1）解：不一定.
如图， △DEF和△ABC不全等 .

（2）一定
（3）证明：在和，且都是钝角，如图，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于，
且都是钝角，
由AAS得
由（2）的结论可得
在和中
；
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；邻补角
【解析】【解答】解：（2）∵ ∠B=∠E=90° ，
∴AB2=AC2-BC2，DE2=DF2-EF2，
∵ AC=DF，BC=EF，
∴AB=DE，
∴ △ABC≌△DEF（SSS）.
故答案为：一定.
【分析】⑴根据作图回答问题.
⑵根据勾股定理知AB=DE，从而根据“SSS”证明△ABC≌△DEF.
⑶根据“AAS”证明 ，从而知CG=HF，根据（2）知，从而知，最后根据“AAS”证明 .
24．（2025八上·余杭月考）如图，在△ABC中，∠A=60°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，BD，CE相交于点O，连接ED，DE>CD。
（1）求∠BOC 的度数；
（2）求证：BC-BE>DE-CD；
（3）若，求的值。
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分交于点，平分交于点，
∴，，
∴，
∴
（2）证明：如图，在BC上取点H，使，连接OH，，
∵平分交于点，平分交于点，
∴，，
在中
∴，
∴，，
∴，
在中
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：如图，过作于，过作于，
∴，
由（1）得：，
∴，
由（2）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】 （1）根据三角形内角和知∠ABC+∠ACB的和，再利用角平分线性质知 ，最后再根据三角形内角和求 ∠BOC 的度数 .
（2）通过构造辅助线BH=BE，结合角平分线定义易证，从而证明，结合全等三角形性质比较线段差；
（3）利用面积比及全等三角形性质推导线段比值.
1 / 1浙江省杭州市余杭区2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷
1．（2025八上·余杭月考）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　　）
A．1， 2， 3 B．2， 2， 3 C．2， 3， 4 D．3， 4， 5
2．（2025八上·余杭月考）《国语·楚语》有云：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美。”里里外外皆均衡妥帖，方为“美”，对称即是这样的美。下列航空公司的标志是轴对称图形的是（　　）
A．贵州航空
B．中国南方航空
C．江西航空
D．中国国际航空
3．（2025八上·余杭月考）下列命题为假命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．等角的补角相等
C．同旁内角互补 D．两直线平行，同位角相等
4．（2025八上·余杭月考）如图，△OAD≌△OBC，且∠O=80°，∠C=25°，则∠DAC的度数为（　　）
A．75° B．100° C．105° D．130°
5．（2025八上·余杭月考）已知等腰三角形的一边长为4，周长为20，则它的腰长为（　　）
A．4 B．8 C．10 D．4或8
6．（2025八上·余杭月考）如图，把三角形纸片ABC分别沿DE，MN所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若∠BAC=110°，则∠DAM的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
7．（2025八上·余杭月考）如图，BC=BE，∠1=∠2，添加下列条件，不能判定△ABC≌△DBE的是（　　）
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DEB C．AB=DB D．AC=DE
8．（2025八上·余杭月考）如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱。该太阳能热水器安装后，我们可以将其看作△ABC（如图2）。为了使其更加牢固，安装工人增加了AE，DE两根支架。若支架AE与地面CE呈 60°，支架DE⊥AB，∠C=90°，∠BAC=2∠B，AC=1.2m，则BD的长为（　　）
A．1m B．1.2m C．1.4m D．1.5m
9．（2025八上·余杭月考）在△ABC中，ACA． B．
C． D．
10．（2025八上·余杭月考）如图，AD、CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于点G，AE平分∠CAD交BC于点E，交CF于点M，连接BM交AD于点H，且BM⊥AE。下列两个结论：
①△ACM≌△BCM；②BC=BH+2MH。
判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①正确②错误
C．①错误②正确 D．①②都错误
11．（2025八上·余杭月考）如图，一面小红旗，其中∠A=60°，∠B=30°，则∠BCD=　 　°
12．（2025八上·余杭月考）在△ABC中，如果∠B=45°，∠C=72°，那么与∠A相邻的一个外角等于　 　。
13．（2025八上·余杭月考）用“举反例”的方法说明命题“若a有平方根，则a是正数”是假命题，则反例是　 　。
14．（2025八上·余杭月考）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板（AC=BC，∠BCA=90°），其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿。已知每本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为　 　cm.
15．（2025八上·余杭月考）如图，在△ABC中，D为AB上一点，满足∠A=∠ADC，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与AB和BC交于点E和F，再分别以点E和F为圆心、大于EF的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点G，作射线BG交CD于点H。若∠BAC=a，∠ABC=β，则∠BHC=　 　.
16．（2025八上·余杭月考）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，BC=13，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是BD，AB上的动点，则：
（1）AD的长为　 　；
（2）AE+EF的最小值为　 　.
17．（2025八上·余杭月考）如图，已知点E，F是线段BD上的两点，且AB=CD，∠B=∠D，BF=DE，求证： ∠AEB=∠CFD。
18．（2025八上·余杭月考）如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别是△ABC的高、角平分线、中线。
（1）若△ABC的面积为6，则△ABF的面积为　 　.
（2）当∠B=30°，∠C=45°时，求∠DAE的度数。
19．（2025八上·余杭月考）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。在AB上截取 AE=AC，连结DE。若BC=6 cm，BE=3 cm。
（1）求证： △AED≌△ACD；
（2）求△BED 的周长。
20．（2025八上·余杭月考）小聪与小明同学对作格点等腰三角形（顶点都在小正方形的顶点上的等腰三角形）展开探究。
如图1，在一个5×5的方格图中，已知格点A、B，确定点C的位置，使△ABC是格点等腰三角形。
小聪的作法：以点A为圆心，以AB长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（B点除外）就是点C的位置。
（1）按照小聪的作法，能确定　 　个点C，此时等腰三角形的底边是　 　 （填线段）
（2）小明受到小聪的启发，也有了自己的想法，他想以AC作为△ABC的底边，那么小明的作法应该是：以点　 　为圆心，以　 　长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置。
（3）你还有其他确定点C位置的方法吗？请将你的想法在图2中用尺规作图的方法表示出来（不写作法，保留作图痕迹）。
（4）小聪、小明和你一共作出了　 　个符合要求的点C。
21．（2025八上·余杭月考）小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°．
（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由；
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
22．（2025八上·余杭月考）如图，在△ABC中，直线l垂直平分边BC，分别交AC，BC于点D，E，连接BD。
（1）若AB=8，△ABD的周长为19，则AC的长为　 　.
（2）若∠ADB=90°，求∠ACB 的度数；
（3）已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC，试判断点P是否在边AB的垂直平分线上，并说明理由。
23．（2025八上·余杭月考）【问题提出】我们知道：三角形全等的判定方法有："SSS，SAS，ASA，AAS”，如果两个三角形有两边和一个角对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？小明受到书本第34页的探究活动的启发，进行了如下探究。
【初步思考】不妨设这个对应角为∠B，然后对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究。
【深入探究】
（1）第一种情况：当∠B是锐角时，如图1，在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，△ABC和△DEF全等（填写"一定"或"不一定”）。
如果一定全等，请证明；如果不一定全等，请用尺规作△DEF，使△DEF和△ABC不全等。
（2）第二种情况：当∠B是直角时，小明查阅资料发现：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
如图2，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°可知△ABC和△DEF　 　全等（填写“一定”或“不一定”）
（3）第三种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF。
如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，小明由（2）受到了启发，很快证出了△ABC≌△DEF。请聪明的你完成小明的推理过程。
24．（2025八上·余杭月考）如图，在△ABC中，∠A=60°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，BD，CE相交于点O，连接ED，DE>CD。
（1）求∠BOC 的度数；
（2）求证：BC-BE>DE-CD；
（3）若，求的值。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A选项，1+2=3，不满足两边之和大于第三边，排除；
B、C、D都符合三角形三边关系.
故答案为：A.
【分析】根据三角形“三边关系”判断即可.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A选项是中心对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，符合题意；
C不是轴对称图形，不符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的概念（在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形 ）作答.
3．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A选项“对顶角相等”，对顶角的性质，真命题；
B选项“ 等角的补角相等 ”，真命题；
C选项， 同旁内角互补 ，假命题，“两直线平行，同旁内角互补”.
D选项， 直线平行，同位角相等 ，真命题.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质、对顶角相等、同角（或等角）的补角（或余角）相等等性质判作答.
4．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解： ∵△OAD≌△OBC ，
∴∠D=∠C=25°，
∴ ∠DAC =∠D+ ∠O=80°+25°=105°，
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的性质知D=∠C=25°，根据外角定义计算 ∠DAC的度数 .
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：若边长4为腰，则其底边为20-4-4=12，此时4，4，12不能构成三角形；
若边长4为底边，则其腰长为=8，此时三角形三边为4，8，8；
故答案为：B.
【分析】对三角形边长进行讨论，根据三角形三边关系确定符合条件的腰长.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠知：∠B=∠BAD，∠C=∠CAM，
∵ ∠BAC=110 ，
∴∠C+∠B=180°-∠BAC=70°，
∴∠BAD+∠CAM=70°，
∴ ∠DAM =∠BAC-（∠BAD+∠CAM）=40°，
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和知∠C+∠B=180°-∠BAC=70°，再根据折叠知∠B=∠BAD，∠C=∠CAM，从而利用角的运算计算 ∠DAM的度数 .
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： ∵∠1=∠2，
∴ ∠1+∠ABE=∠2+∠ABE，
即∠DBE=∠ABC，
又 BC=BE ，
∴可以添加AB=BD(SAS)，∠A=∠D(AAS)， ∠ACB=∠DEB (ASA)，
∴选项A、B、C都可以判定 △ABC≌△DBE ，
故答案为：D.
【分析】根据三角形全等的判定方法作答.
8．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ ∠C=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠BAC=60°，∠B=30°，
∴AB=2AC=2.4m，
∵ 支架AE与地面CE呈 60°， 即∠AEC=60°，
∴∠CAE=90°-∠AEC=30°，
∴∠DAE=∠BAC-∠CAE=30°，
∴∠DAE=∠B，
∴AE=BE，
∵ DE⊥AB ，
∴BD=AB=1.2m.
故答案为：B.
【分析】根据题意得AE=BE，结合等腰三角形“三线合一”及“30°角所对直角边等于斜边一半”计算出BD的长.
9．【答案】C
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A选项作图知CA=CP，故不能判断 PA+PB=BC ；
B选项AP为∠BAC的角平分线，不能判断PA+PB=BC ；
C选项所作图为AC的垂直平分线，故有PA=PC，所以 PA+PB=PC+PB=BC；
D选项所作图为AB的垂直平分线，故有PB=PA，所以PA+PB=2PB，不能不能判断PA+PB=BC ；
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等作答.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵ CF是△ABC的角平分线，
∴∠ACM=∠BCM，
∵ AE平分∠CAD ，
∴∠DAE=∠CAE，
∵ AD是△ABC的高， BM⊥AE ，
∴∠BDH=∠AMH=90°，
又∠AHM=∠BHD，∠DAE+∠AHM+∠AMH=∠BHD+∠BDH+∠HBD=180°，
∴∠DAE=∠HBD，
∴∠CAE=∠CBM，
在△BCM和△ACM中，
∵∠CAE=∠CBM，∠ACM=∠BCM，CM=CM，
∴ △ACM≌△BCM （AAS），即①正确.
延长BM交AC于N点，
∵BM⊥AE，
∴∠BME=∠AMN=90°，
又∠DAE=∠CAE，AM=AM，
∴△AMH≌△AMN（ASA），
∴MH=MN，
∴BN=BH+MH+MN=BH+2MH≠BC，
故②错误；
故答案为：B.
【分析】根据“AAS”证明 △ACM≌△BCM得①正确；根据“ASA”证明△AMH≌△AMN得MH=MN，从而知BH+2MH=BN≠BC，即②错误.
11．【答案】90
【知识点】三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠ACB+∠A+∠B=180°， ∠A=60°，∠B=30°，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°.
故答案为：90.
【分析】根据三角形内角和定理及邻补角定义作答.
12．【答案】117
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠B=45°，∠C=72°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=63°，
∴∠A相邻的外角为180°-∠A=117°.
故答案为：117.
【分析】根据三角形内角和定理及外角定义作答.
13．【答案】
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：反例，即满足命题的条件部分，但命题的结论不成立，
若a=0，它的平方根为0，但此时a不是正数.
故答案为：a=0.
【分析】根据反例的定义作答.
14．【答案】24
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：据题意知：BD=4cm，AE=20cm，BD⊥DC，AE⊥CE，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∴∠BCD+∠DBC=90°，
∵∠BCA=90°，
∴∠BCD+∠ACE=90°，
∴∠DBC=∠ACE，
在△ACE和△CBD中，
∵∠AEC=∠BDC，∠DBC=∠ACE， AC=BC，
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴DC=AE=20cm，CE=BD=4cm，
∴DE=DC+CE=20+4=24cm.
故答案为：24.
【分析】根据“一线三等角”模型证明△ACE≌△CBD，利用全等三角形性质计算DE的长.
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵ ∠A=∠ADC，∠A=α，
∴∠BDH=180°-∠ADC=180°-α，
∵BH平分 ∠ABC，∠ABC=β，
∴∠ABH=∠ABC=β，
∴ ∠BHC =∠BDH+∠ABH=180°-α+β，
故答案为：180°-α+β.
【分析】根据作图轨迹知BH是 ∠ABC的平分线，从而知∠ABH=∠ABC=β，在根据外角性质知∠BHC =∠BDH+∠ABH=180°-α+β.
16．【答案】（1）
（2）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）如图，过D作DH⊥BC于H点，
∵ BD平分∠ABC ，∠BAC=90° ，
∴AD=DH，∠ABD=∠HBD，
又BD=BD，
∴△ABD≌△HBD（HL），
∴BH=AB=5，
∴CH=13-5=8，
设AD=a，则DH=a，CD=12-a，
在Rt△DHC中，CD2=DH2+CH2，
即（12-a）2=a2+82，
∴a=
故答案为：.
（2）如图，
在BC上取BG=BF，连接EG，
由（1）知，∠ABD=∠HBD，
又BE=BE，
∴△FBE≌△GBE（SAS），
∴FE=GE，
∴ AE+EF的最小值即AE+GE的最小值，
∴当AG⊥BC时，AE+GE有最小值，最小值为AG，
∵S△ABC=AB×AC=AG×BC，
AG==
故答案为：.
【分析】⑴根据角平分线的性质及定义知AD=DH，∠ABD=∠HBD，从而易证△ABD≌△HBD，根据全等三角形性质及勾股定理求 AD的长 .
⑵利用对称性，根据“将军饮马”思路知垂线段AG即为所求，再根据面积法求AG的长.
17．【答案】证明：，
即
又∵
∴（SAS）
∴＝
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】 要证明∠AEB=∠CFD，可通过证明△ABE≌△CDF，利用全等三角形对应角相等得出结论.注意需将BF=DE转换为BE=DF，进而结合已知条件应用“边角边（SAS）”判定全等.
18．【答案】（1）3
（2）解：∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：（1）解：∵是的中线，且的面积为6，
∴的面积为，
故答案为：3.
【分析】⑴根据三角形中线平分三角形面积作答.
⑵根据三角形内角和定理知∠BAC的度数，再根据角平分线定义知∠CAE的度数，最后根据直角三角形两锐角互余求 ∠DAE的度数 .
19．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
在△AED和△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD（SAS）
（2）解：由（1）知△AED≌△ACD，
∴ED＝CD，
∴BD＋ED＝BD＋CD＝BC＝6cm，
∴BD＋ED＋BE＝6＋3＝9（cm），
∴△BED的周长是9 cm．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】⑴根据角平分线定义知∠EAD＝∠CAD，再根据“SAS”证明△AED≌△ACD.
⑵根据（1）知△AED≌△ACD得ED＝CD，从容知BD＋ED＝BD＋CD＝BC，最后计算周长即可.
20．【答案】（1）3；BC
（2）B；AB
（3）解：如图所示，即为所求；
（4）8
【知识点】等腰三角形的概念；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：（1）如图，
符合条件的C点有3个，此时等腰三角形的底边为BC，
故答案为：3；BC.
⑵如图，
以点B为圆心，以AB长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置 ，共有3个符合条件的C点.
故答案为：B；AB.
(4)由以上作图知，共有8个符合条件的C点.
故答案为：8.
【分析】⑴ 以点A为圆心，以AB长为半径画弧， 根据作图轨迹作答.
⑵以点B为圆心，以AB长为半径画弧， 根据作图方法作答.
⑶以A、B分别为圆心，以大于AB长为半径作图.
⑷综合以上作图可知答案.
21．【答案】（1）解：△OBD与△COE全等．
理由如下：
由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，，
∴△COE≌△OBD（AAS）
（2）解：∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.6m和2m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2﹣1.6＝0.4（m），
∵AD＝1.2m，
∴AE＝AD+DE＝1.6（m），
答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由题意可知∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，根据同角的余角相等可得∠COE=∠OBD，然后根据全等三角形的判定定理进行解答；
（2）根据全等三角形的性质可得CE=OD，OE=BD，则DE=OD-OE=CE-BD=0.4m，然后根据AE=AD+DE进行计算.
22．【答案】（1）11
（2）解：，
，
直线垂直平分边，
，
.
（3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下：
连接、，
直线垂直平分边，点在直线上，
，
点在边的垂直平分线上，
，
，
点在边的垂直平分线上．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：（1）∵ 直线l垂直平分边BC ，
∴BD=CD，
∵ △ABD的周长为19，
∴AB+BD+AD=19，
即AB+CD+AD=AB+AC=19，
∵AB=8，
∴AC=11.
故答案为：11.
【分析】⑴根据垂直平分线的性质知BD=CD，从而知周长=AB+AD+BD=AB+CD，计算出AC的长即可.
⑵根据题意知，结合BD=CD，知.
⑶根据垂直平分线性质知PA=PB=PC，根据垂直平分线的判定知点在边的垂直平分线上.
23．【答案】（1）解：不一定.
如图， △DEF和△ABC不全等 .

（2）一定
（3）证明：在和，且都是钝角，如图，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于，
且都是钝角，
由AAS得
由（2）的结论可得
在和中
；
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；邻补角
【解析】【解答】解：（2）∵ ∠B=∠E=90° ，
∴AB2=AC2-BC2，DE2=DF2-EF2，
∵ AC=DF，BC=EF，
∴AB=DE，
∴ △ABC≌△DEF（SSS）.
故答案为：一定.
【分析】⑴根据作图回答问题.
⑵根据勾股定理知AB=DE，从而根据“SSS”证明△ABC≌△DEF.
⑶根据“AAS”证明 ，从而知CG=HF，根据（2）知，从而知，最后根据“AAS”证明 .
24．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分交于点，平分交于点，
∴，，
∴，
∴
（2）证明：如图，在BC上取点H，使，连接OH，，
∵平分交于点，平分交于点，
∴，，
在中
∴，
∴，，
∴，
在中
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：如图，过作于，过作于，
∴，
由（1）得：，
∴，
由（2）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】 （1）根据三角形内角和知∠ABC+∠ACB的和，再利用角平分线性质知 ，最后再根据三角形内角和求 ∠BOC 的度数 .
（2）通过构造辅助线BH=BE，结合角平分线定义易证，从而证明，结合全等三角形性质比较线段差；
（3）利用面积比及全等三角形性质推导线段比值.
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