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浙江省杭州市育才中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷
1．（2025九上·杭州月考）已知点在半径为4的外，则OP的长可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆上的点到圆心的距离为半径=4，
∴圆外的点到圆心的距离大于4，
故答案为：5.
【分析】圆上的点到圆心的距离为半径，圆外的点到圆心的距离大于半径.
2．（2025九上·杭州月考）某同学抛掷一枚硬币，连续拋掷3次，都是反面朝上，则该同学拋掷第4次出现正面朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：每次抛掷硬币都是一个独立事件，前一次抛掷的结果不会影响下一次抛掷的结果，每次抛掷硬币正反朝上的概率都是，
故答案为：C.
【分析】每次抛掷硬币都是一个独立事件，前一次抛掷的结果不会影响下一次抛掷的结果.
3．（2025九上·杭州月考）如图，CD是的直径，A、B是上的两点，若，则的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ACD=∠ABD=20°，
∵ CD是的直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠ADC=90°-∠ACD=70°.
故答案为：D.
【分析】根据“同弧所对的圆周角相等”得∠ACD=∠ABD，再根据“直径所对圆周角是直角”知∠CAD=90°，根据“直角三角形两锐角互余”得∠ADC=70°.
4．（2025九上·杭州月考）若抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=2，则关于x的方程x2+bx=0的解为（　　）
A．x1=0，x2=2 B．x1=0，x2=4 C．x1=2，x2=4 D．x1=0，x2=-4
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵ x2+bx=0，
∴x（x+b）=0，
∴x1=0，x2=-b，
∵ 抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=2，
∴，
∴b=-4，
∴方程的解为：x1=0，x2=4，
故答案为：B.
【分析】根据x2+bx=0得x=0或x=-b，再结合抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=2知b=-4.
5．（2025九上·杭州月考）若抛物线y=（x+m）2+m+1向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围是（　　）
A．m>0 B．-12
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 抛物线y=（x+m）2+m+1向右平移2个单位 ，即y=（x+m-2）2+m+1，
∴顶点坐标（2-m，m+1），
∵ 抛物线的顶点在第一象限 ，
∴2-m>0，m+1>0，
∴ -1故答案为：B.
【分析】根据函数平移规律“左加右减”得新抛物线y=（x+m-2）2+m+1的顶点（2-m，m+1），根据顶点位置确定m的取值即可.
6．（2025九上·杭州月考）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'//AB，则∠BAB'=（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵ CC'//AB，
∴∠C'CA=∠CAB=75°，
由旋转知 △ABC≌△AB'C'，
∴AC=AC'，
∴∠CC'A=∠C'CA=75°，
∴∠CAC'=180°-∠CC'A-∠C'CA=30°，即旋转角=30°，
∴ ∠BAB'= 30°.
故答案为：A.
【分析】根据平行线性质知∠C'CA=∠CAB，根据旋转性质知AC=AC'，∠CAC'=∠BAB'，根据内角和定理计算出∠CAC'度数即可.
7．（2025九上·杭州月考）五个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，根据上述规律，第n个图形中点的个数у与n的关系是（　　）
A．у=n2-п+2 B．y=n2-2n+1 C．y=n2-n-1 D．y=n2-n+l
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：图1圆点个数： 1；
图2圆点个数：1+1×2；
图3圆点个数：1+2×3；
图4圆点个数： 1+3×4；
图5圆点个数： 1+4×5；
以此类推： 图n圆点个数： 1+（n-1）n=n2-n+1
故答案为：C.
【分析】根据图像圆点数量找出变化规律并用代数式表示即可.（也可验证选项作答）
8．（2025九上·杭州月考）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点，，，，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．8
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过O作OE⊥CD，连接OD，
∵，，
∴AB=AP+BP=8，
∴OA=4，
∴OP=OA-AP=2，
又∠OPE=，
∴OE==1，
∴由勾股定理得：ED===，
∴CD=2ED=2.
故答案为：C.
【分析】根据“30°角所对直角边等于斜边的一半”得OE的长，再根据垂径定理及勾股定理计算即可.
9．（2025九上·杭州月考）已知方程的两个解为、，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：令=x2-3x+2，则其对称轴x=，与x轴的交点坐标为（1，0）（2，0），函数开口朝上，
∵m>0，
∴直线y=m在x轴上方，
∵，
∴
故答案为：A.
【分析】将方程 转化为二次函数y= 与直线y=m的交点问题，再根据二次函数的图象性质来判断、与1，2得大小关系.
10．（2025九上·杭州月考）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若的半径为则BC的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；垂径定理；翻折变换（折叠问题）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OD，AC，DC，OB，OC，作CE⊥AB于点E，作OF⊥CE于点F，
∵点D为AB的中点，AB=4，
∴OD⊥AB，AD=BD=AB=2，
∴由勾股定理得OD==1，
∵和所对的圆周角为∠ABC，
∴=，
∴AC=CD，
∴AE=DE=1，
∴四边形ODEF为正方形，
∴OF=EF=1，
在Rt△OCF中，CF==2，
∴CE=CF+EF=3，
又BE=BD+DE=3，
∴BC==.
故答案为：B.
【分析】通过连接相关线段，构建直角三角形和特殊四边形，再通过垂径定理、折叠性质、勾股定理以及正方形的判定与性质求解.
11．（2025九上·杭州月考）把二次函数改写成形如的形式是　 　．
【答案】y=2（x-1）2-2
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵=2（x2-2x）=2（x2-2x+1-1）=2（x-1）2-2，
故答案为：y=2（x-1）2-2.
【分析】根据配方思想对变形即可.
12．（2025九上·杭州月考）已知二次函数，当时，的取值范围是　 　．
【答案】5≤y≤13
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵=2（x+2）2+5，
∴对称轴为x=-2，
∴函数在x=-2处取得最小值，最小值为y=5，
且当x<-2时，y随x的增大而减小；当x>-2时，一随x的增大而增大，
∴当x=-3时，y=7；当x=0时，y=13，
∴ 当时，的取值范围是 5≤y≤13.
故答案为：5≤y≤13.
【分析】将函数变形为顶点式，根据函数的性质计算出在内，的最大值和最小值即可.
13．（2025九上·杭州月考）在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为　 　
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表，
K1 K2 K3
K1 --- K1K2 K1K3
K2 K2K1 --- K2K3
K3 K3K1 K2K3 ---
共有6种等可能结果，其中能够让灯泡发光的结果有K1K2，K1K3，K2K1，K3K1，
∴ 能够让灯泡发光的概率为 P=
故答案为：.
【分析】列用列表法列出开关闭合的所有可能，再用能够让灯泡发光的结果数除以所有可能数即可求解..
14．（2025九上·杭州月考）如图，图1是由若干个相同的图2组成的图案，若半径，则图2的周长为　 　cm．
【答案】54π
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：由图1知：，
∴图2的周长为，
∵OA=9cm，∠AOB=120°，
∴==27π，
∴图2的周长为=54π cm.
故答案为：54π .
【分析】根据图像知图2周长为，再根据弧长l=计算即可.
15．（2025九上·杭州月考）已知点在拋物线上，当时，总有成立，则的取值范围是　 　
【答案】a≥4
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵=2（x+）2 - ，
∴当x=时，函数最小值为 - ，
∵ 当时，总有成立，
∴≤-1且- ≤2，
∴a≥4.
故答案为：a≥4.
【分析】将函数变形为顶点式，结合题意知≤-1且- ≤2，解不等式得a的取值范围.
16．（2025九上·杭州月考）如图，在半径为2的中，弦为弦AB所对优弧上的动点．连结CA，CB，过点作AC的垂线与CB所在的直线交于点．
（1）的度数为　 　；
（2）在点运动的过程中，的面积的最大值为　 　.
【答案】（1）π
（2）4
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：⑴如图，连接OA，OB，则OA=OB=2，
∴OA2+OB2=22+22=8=AB2
∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°，
∴==
故答案为：π.
⑵∵∠AOB=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠ADC=90°-∠ACD=45°，
∴AC=AD，
∴S△ACD=AC×AD=AC2，
不妨设AB边的高为h，则S△ABD=AB×h，
∵
∴h越大，S△ABD越大，
∴当AC最长时，h最大，的面积最大，
即AC为直径时，即AC=4时，的面积最大，
此时∠ABC=90°，∠BAD=45°，
∴S△ABD=AB2=×==4.
故答案为：4.
【分析】⑴根据勾股定理逆定理判断△AOB为直角三角形，从而知的圆心角为90°.
（2）根据C得运动轨迹知，当AC经过圆心时最长，此时△ABD面积最大.
17．（2025九上·杭州月考）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张。
（1）直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率；
（2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜：否则小明获胜，你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由.
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
\
\ 6
\
6 \
据表知：总共有6种等可能结果，其中乘积为有理数的结果有2种，
故P（小丽获胜）=，P（小明获胜）=，
∵
∴游戏不公平，对小明更有利.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵ 小丽取出的卡片 可以是，共3中可能结果，
∴ 小丽取出的卡片恰好是的概率 为P=.
【分析】⑴从 三张背面完全相同的卡片 中选一张，概率为.
⑵根据表格计算小丽、小明获胜的概率并比较.
18．（2025九上·杭州月考）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形ABCDEF，⊙O是它的外接圆
（1）求∠BAF的度数
（2）连接OC，OD，作OG⊥CD.若劣弧CD的长为π，求OG的长
【答案】（1）解：∵n边形内角和为：180°（n-2），
∴正六边形的每一个内角==120°，
即 ∠BAF的度为120°.
（2）解：正六边形的每个中心角为 =60°，即∠COD=60°，
∵OC=OD，
∴△COD为等边三角形，
∴CO=OD=CD=π，
∵ OG⊥CD ，
∴GD=CD=π，
∴由勾股定理知：OG=.
【知识点】多边形内角与外角；圆内接正多边形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】⑴根据正n边形每一个内角=计算即可.
⑵根据正n边形每一个中心角=得∠COD=60°，从而知△COD是等边三角形，再结合等边三角形“三线合一”及勾股定理计算出OG的长.
19．（2025九上·杭州月考）已知二次函数y=x2-2x-3
（1）求函数图象的顶点坐标及图象与坐标轴的交点坐标.
（2）根据图象直接回答：
①当y<0时x的取值范围；
②当y>-3时x的取值范围
【答案】（1）解：∵ y=x2-2x-3 =（x-1）2-4，
∴函数图象的顶点为（1，-4），
令 x2-2x-3 =0，
解得x1=-1，x2=3，
故图象与坐标轴的交点坐标 为（-1，0）和（3，0）.
（2）解：如图，
①当y<0时，-1② 当y>-3时 ，x<0或x>2.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；作图-二次函数图象
【解析】【分析】⑴将函数一般式变形为顶点式求顶点，令函数y=0，解方程求函数图象与x轴的交点.
⑵根据函数图象作答即可.
20．（2025九上·杭州月考）如图，已知△ABC.
（1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆O；
（2）若AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径。
【答案】（1）解：如图， 以点A、B为圆心，取大于 A B 的长度为半径画弧，两弧在AB两侧交于两点，连接这两点得到AB的垂直平分线；以点A、C为圆心，取大于 A C 的长度为半径画弧，两弧在AC两侧交于两点，连接这两点得到AC的垂直平分线 ，其交点O即为 △ABC的外接圆O .
（2）解：如图，连接OA、OB、OC，OA与BC交于点D，
则OA=OB=OC，
∴AB=AC，
∴OA⊥BC，且BD=CD==12，
由勾股定理得AD=，
不妨设半径OB=r，则OD=r-5，
在Rt△OBD中，OB2=OD2+BD2，
即r2=122+（r-5）2，
解得r=16.9.
即 ⊙O的半径 为16.9.
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【分析】⑴分别作出三角形两边的垂直平分线，取其交点，即为三角形外接圆圆心.
⑵根据等腰三角形“三线合一”及勾股定理计算出圆的半径即可.
21．（2025九上·杭州月考）如图，A，B，C是⊙O上的三点，且=2.过点B作BE⊥OC于点E，延长BO交⊙O于点D，连结AD.
（1）若∠ADB=62°，求∠OBE的度数；
（2）求证：AB=2BE.
【答案】（1）解：如图，连接OA，
∵=2，
∴∠AOB=2∠BOC，
又∵ ∠ADB=62° ，
∴∠AOB=2 ∠ADB=124°，
∴∠BOC=62°，
∵ BE⊥OC ，
∴∠OEB=90°，
∴∠OBE=90°-∠BOE=28°.
（2）证明：如图，连接OA，过O作OF⊥AB于F点，
∵OA=OB，
∴∠BEO=90°，AB=2BF
∵=2，
∴∠AOB=2∠BOC，
又∠AOB=2∠ADB，
∴∠BOC=∠ADB，
∵BD是直径， BE⊥OC ，
∴∠BAD=∠BEO=90°，
∴∠ABD=∠OBE，
∴OE=OF，
∴△OBF≌△OBE(AAS)，
∴BF=BE，
∴AB=2BE.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】⑴根据同弧所对的圆心角等于其所对圆周角的2倍知∠AOB=2 ∠ADB，结合题意=2知AOB=2∠BOC，从而知∠BOC的度数，再根据“直角三角形两锐角互余”得 ∠OBE的度数 .
⑵根据等腰三角形“三线合一”知OF垂直平分AB，结合（1）易得∠ABD=∠OBE，从而得OE=OF，再根据“AAS”证明△OBF≌△OBE(AAS)知BF=BE，从而证明 AB=2BE.
22．（2025九上·杭州月考）教科书中例1：有一个窗户形状如图①所示，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这道例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05 m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形(如图②)，材料总长仍为6 m，利用图②，解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积．
（2）与教科书中例1比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
【答案】（1）解：由已知可得：AD==，
则S=1×=；
（2）解：设AB= xm，则AD=（3-x）m，AF=（3-x）m
∵AB＞0，AD＞0，AF＞0，
∴0设窗户的面积为S，
由已知可得：S= AB×AD= x(3-x)=-x2+3x=-（x-）2+，
当x=时，S有最大值，为，
∵＞1.05，
∴现在窗户透光的最大值变大.
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用已知制作窗框的材料总长为6m，利用矩形的性质可求出EF，DC的长，即可求出AD的长然后利用矩形的面积公式可求出此时窗户的透光面积.
（2）设AB= xm，可表示出AD，AF的长，再根据AB＞0，AD＞0，AF＞0，可得到关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集，可得到x的取值范围；再利用矩形的面积公式可得到s与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求解.
23．（2025九上·杭州月考）已知二次函数的图像经过点
（1）求二次函数的图象的对称轴．
（2）若的最小值为-3，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象。当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．
（3）设的图像与轴的交点分别为，且．若，求的取值范围．
【答案】（1）解：将 代入，得-2=4a+2b-2，即b=-2a，
∴对称轴x==1.
（2）解：据题意知当x=1时，y=-3，
故有a+b-2=-3，
∵b=-2a，
∴a=1，b=-2，
∴函数表达式为=（x-1）2-3，
∴新函数表达式为y=（x-1-2）2-3=（x-3）2-3，
∴当x=3时，函数有最小值-3，
当x=0时，y=6；当x=5时，y=1，
∴ 当时 ，新函数最小值为-3，最大值为6，
∴最大值与最小值的和为6+（-3）=3.
（3）解：令=0，得，
则x1+x2=，x1x2=，
∴，
∴=2，
∵，
∴2<<4，
即4<4+<16，
∴a>.
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】⑴将 A(2，-2)代入可得关于a和b的方程，结合对称轴公式 x = 求解对称轴.
⑵据题意求出a、b的值，从而知函数表达式，再根据平移规律确定新的函数表达式， 分析区间[0，5]上的最值之和 .
⑶根据“韦达定理”得x1+x2=，x1x2=，再结合，得出a得取值范围.
24．（2025九上·杭州月考）研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于，对角线，且
（1）求证：；
（2）若的半径为8，弧BD的度数为，求四边形ABCD的面积；
（3）如图2，作于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
即，
∴.
（2）解：连接OD、OB，过点O作OE⊥BD于E点，
∵ 弧BD的度数为 ，
∴∠BOE=60°，
∴BE=OB=4，
∴BD=2BE=8，
∴AC=BD=8，
∴ 四边形ABCD的面积 =AC×BD=×8×8=96.
（3）解：AD=2OM，
理由如下：
如图，连接OA、OB、OC、OD，过O点作ON⊥AD于N点，
∵OA=OB=OC=OD，，ON⊥AD
∴AN=ND，BM=CM，∠BOC=2∠BOM，∠AOD=2∠AON，
∵∠BOC=2∠BAC，∠AOD=2∠ABD，
∴∠BOM=∠BAC，∠ABD=∠AON，
∵ ，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AON=90°，
又∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠AON=∠OBM，
在△OBM和△AON中，
∵∠ANO=∠OMB=90°，∠AON=∠OBM，OA=OB，
∴△OBM≌△AON，
∴AN=OM，
∴AD=2OM.
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】⑴根据得，再根据弧的分布知，从而证明；
⑵ 通过弧的度数求弦长 ，再根据题意“ 四边形的面积等于对角线乘积的一半 ”计算即可.
⑶根据等腰三角形"三线合一"知 AN=ND=，BM=CM，∠BOC=2∠BOM，∠AOD=2∠AON，再根据圆周角定理及同角的余角相等知∠AON=∠OBM，从而证明△OBM≌△AON得AN=OM，即AD=2OM，
1 / 1浙江省杭州市育才中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷
1．（2025九上·杭州月考）已知点在半径为4的外，则OP的长可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025九上·杭州月考）某同学抛掷一枚硬币，连续拋掷3次，都是反面朝上，则该同学拋掷第4次出现正面朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．1
3．（2025九上·杭州月考）如图，CD是的直径，A、B是上的两点，若，则的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．（2025九上·杭州月考）若抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=2，则关于x的方程x2+bx=0的解为（　　）
A．x1=0，x2=2 B．x1=0，x2=4 C．x1=2，x2=4 D．x1=0，x2=-4
5．（2025九上·杭州月考）若抛物线y=（x+m）2+m+1向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围是（　　）
A．m>0 B．-12
6．（2025九上·杭州月考）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'//AB，则∠BAB'=（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
7．（2025九上·杭州月考）五个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，根据上述规律，第n个图形中点的个数у与n的关系是（　　）
A．у=n2-п+2 B．y=n2-2n+1 C．y=n2-n-1 D．y=n2-n+l
8．（2025九上·杭州月考）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点，，，，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．8
9．（2025九上·杭州月考）已知方程的两个解为、，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025九上·杭州月考）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若的半径为则BC的长是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·杭州月考）把二次函数改写成形如的形式是　 　．
12．（2025九上·杭州月考）已知二次函数，当时，的取值范围是　 　．
13．（2025九上·杭州月考）在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为　 　
14．（2025九上·杭州月考）如图，图1是由若干个相同的图2组成的图案，若半径，则图2的周长为　 　cm．
15．（2025九上·杭州月考）已知点在拋物线上，当时，总有成立，则的取值范围是　 　
16．（2025九上·杭州月考）如图，在半径为2的中，弦为弦AB所对优弧上的动点．连结CA，CB，过点作AC的垂线与CB所在的直线交于点．
（1）的度数为　 　；
（2）在点运动的过程中，的面积的最大值为　 　.
17．（2025九上·杭州月考）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张。
（1）直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率；
（2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜：否则小明获胜，你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由.
18．（2025九上·杭州月考）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形ABCDEF，⊙O是它的外接圆
（1）求∠BAF的度数
（2）连接OC，OD，作OG⊥CD.若劣弧CD的长为π，求OG的长
19．（2025九上·杭州月考）已知二次函数y=x2-2x-3
（1）求函数图象的顶点坐标及图象与坐标轴的交点坐标.
（2）根据图象直接回答：
①当y<0时x的取值范围；
②当y>-3时x的取值范围
20．（2025九上·杭州月考）如图，已知△ABC.
（1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆O；
（2）若AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径。
21．（2025九上·杭州月考）如图，A，B，C是⊙O上的三点，且=2.过点B作BE⊥OC于点E，延长BO交⊙O于点D，连结AD.
（1）若∠ADB=62°，求∠OBE的度数；
（2）求证：AB=2BE.
22．（2025九上·杭州月考）教科书中例1：有一个窗户形状如图①所示，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这道例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05 m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形(如图②)，材料总长仍为6 m，利用图②，解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积．
（2）与教科书中例1比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
23．（2025九上·杭州月考）已知二次函数的图像经过点
（1）求二次函数的图象的对称轴．
（2）若的最小值为-3，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象。当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．
（3）设的图像与轴的交点分别为，且．若，求的取值范围．
24．（2025九上·杭州月考）研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于，对角线，且
（1）求证：；
（2）若的半径为8，弧BD的度数为，求四边形ABCD的面积；
（3）如图2，作于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆上的点到圆心的距离为半径=4，
∴圆外的点到圆心的距离大于4，
故答案为：5.
【分析】圆上的点到圆心的距离为半径，圆外的点到圆心的距离大于半径.
2．【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：每次抛掷硬币都是一个独立事件，前一次抛掷的结果不会影响下一次抛掷的结果，每次抛掷硬币正反朝上的概率都是，
故答案为：C.
【分析】每次抛掷硬币都是一个独立事件，前一次抛掷的结果不会影响下一次抛掷的结果.
3．【答案】D
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ACD=∠ABD=20°，
∵ CD是的直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠ADC=90°-∠ACD=70°.
故答案为：D.
【分析】根据“同弧所对的圆周角相等”得∠ACD=∠ABD，再根据“直径所对圆周角是直角”知∠CAD=90°，根据“直角三角形两锐角互余”得∠ADC=70°.
4．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵ x2+bx=0，
∴x（x+b）=0，
∴x1=0，x2=-b，
∵ 抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=2，
∴，
∴b=-4，
∴方程的解为：x1=0，x2=4，
故答案为：B.
【分析】根据x2+bx=0得x=0或x=-b，再结合抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=2知b=-4.
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 抛物线y=（x+m）2+m+1向右平移2个单位 ，即y=（x+m-2）2+m+1，
∴顶点坐标（2-m，m+1），
∵ 抛物线的顶点在第一象限 ，
∴2-m>0，m+1>0，
∴ -1故答案为：B.
【分析】根据函数平移规律“左加右减”得新抛物线y=（x+m-2）2+m+1的顶点（2-m，m+1），根据顶点位置确定m的取值即可.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵ CC'//AB，
∴∠C'CA=∠CAB=75°，
由旋转知 △ABC≌△AB'C'，
∴AC=AC'，
∴∠CC'A=∠C'CA=75°，
∴∠CAC'=180°-∠CC'A-∠C'CA=30°，即旋转角=30°，
∴ ∠BAB'= 30°.
故答案为：A.
【分析】根据平行线性质知∠C'CA=∠CAB，根据旋转性质知AC=AC'，∠CAC'=∠BAB'，根据内角和定理计算出∠CAC'度数即可.
7．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：图1圆点个数： 1；
图2圆点个数：1+1×2；
图3圆点个数：1+2×3；
图4圆点个数： 1+3×4；
图5圆点个数： 1+4×5；
以此类推： 图n圆点个数： 1+（n-1）n=n2-n+1
故答案为：C.
【分析】根据图像圆点数量找出变化规律并用代数式表示即可.（也可验证选项作答）
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过O作OE⊥CD，连接OD，
∵，，
∴AB=AP+BP=8，
∴OA=4，
∴OP=OA-AP=2，
又∠OPE=，
∴OE==1，
∴由勾股定理得：ED===，
∴CD=2ED=2.
故答案为：C.
【分析】根据“30°角所对直角边等于斜边的一半”得OE的长，再根据垂径定理及勾股定理计算即可.
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：令=x2-3x+2，则其对称轴x=，与x轴的交点坐标为（1，0）（2，0），函数开口朝上，
∵m>0，
∴直线y=m在x轴上方，
∵，
∴
故答案为：A.
【分析】将方程 转化为二次函数y= 与直线y=m的交点问题，再根据二次函数的图象性质来判断、与1，2得大小关系.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；垂径定理；翻折变换（折叠问题）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OD，AC，DC，OB，OC，作CE⊥AB于点E，作OF⊥CE于点F，
∵点D为AB的中点，AB=4，
∴OD⊥AB，AD=BD=AB=2，
∴由勾股定理得OD==1，
∵和所对的圆周角为∠ABC，
∴=，
∴AC=CD，
∴AE=DE=1，
∴四边形ODEF为正方形，
∴OF=EF=1，
在Rt△OCF中，CF==2，
∴CE=CF+EF=3，
又BE=BD+DE=3，
∴BC==.
故答案为：B.
【分析】通过连接相关线段，构建直角三角形和特殊四边形，再通过垂径定理、折叠性质、勾股定理以及正方形的判定与性质求解.
11．【答案】y=2（x-1）2-2
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵=2（x2-2x）=2（x2-2x+1-1）=2（x-1）2-2，
故答案为：y=2（x-1）2-2.
【分析】根据配方思想对变形即可.
12．【答案】5≤y≤13
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵=2（x+2）2+5，
∴对称轴为x=-2，
∴函数在x=-2处取得最小值，最小值为y=5，
且当x<-2时，y随x的增大而减小；当x>-2时，一随x的增大而增大，
∴当x=-3时，y=7；当x=0时，y=13，
∴ 当时，的取值范围是 5≤y≤13.
故答案为：5≤y≤13.
【分析】将函数变形为顶点式，根据函数的性质计算出在内，的最大值和最小值即可.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表，
K1 K2 K3
K1 --- K1K2 K1K3
K2 K2K1 --- K2K3
K3 K3K1 K2K3 ---
共有6种等可能结果，其中能够让灯泡发光的结果有K1K2，K1K3，K2K1，K3K1，
∴ 能够让灯泡发光的概率为 P=
故答案为：.
【分析】列用列表法列出开关闭合的所有可能，再用能够让灯泡发光的结果数除以所有可能数即可求解..
14．【答案】54π
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：由图1知：，
∴图2的周长为，
∵OA=9cm，∠AOB=120°，
∴==27π，
∴图2的周长为=54π cm.
故答案为：54π .
【分析】根据图像知图2周长为，再根据弧长l=计算即可.
15．【答案】a≥4
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵=2（x+）2 - ，
∴当x=时，函数最小值为 - ，
∵ 当时，总有成立，
∴≤-1且- ≤2，
∴a≥4.
故答案为：a≥4.
【分析】将函数变形为顶点式，结合题意知≤-1且- ≤2，解不等式得a的取值范围.
16．【答案】（1）π
（2）4
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：⑴如图，连接OA，OB，则OA=OB=2，
∴OA2+OB2=22+22=8=AB2
∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°，
∴==
故答案为：π.
⑵∵∠AOB=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠ADC=90°-∠ACD=45°，
∴AC=AD，
∴S△ACD=AC×AD=AC2，
不妨设AB边的高为h，则S△ABD=AB×h，
∵
∴h越大，S△ABD越大，
∴当AC最长时，h最大，的面积最大，
即AC为直径时，即AC=4时，的面积最大，
此时∠ABC=90°，∠BAD=45°，
∴S△ABD=AB2=×==4.
故答案为：4.
【分析】⑴根据勾股定理逆定理判断△AOB为直角三角形，从而知的圆心角为90°.
（2）根据C得运动轨迹知，当AC经过圆心时最长，此时△ABD面积最大.
17．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
\
\ 6
\
6 \
据表知：总共有6种等可能结果，其中乘积为有理数的结果有2种，
故P（小丽获胜）=，P（小明获胜）=，
∵
∴游戏不公平，对小明更有利.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵ 小丽取出的卡片 可以是，共3中可能结果，
∴ 小丽取出的卡片恰好是的概率 为P=.
【分析】⑴从 三张背面完全相同的卡片 中选一张，概率为.
⑵根据表格计算小丽、小明获胜的概率并比较.
18．【答案】（1）解：∵n边形内角和为：180°（n-2），
∴正六边形的每一个内角==120°，
即 ∠BAF的度为120°.
（2）解：正六边形的每个中心角为 =60°，即∠COD=60°，
∵OC=OD，
∴△COD为等边三角形，
∴CO=OD=CD=π，
∵ OG⊥CD ，
∴GD=CD=π，
∴由勾股定理知：OG=.
【知识点】多边形内角与外角；圆内接正多边形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】⑴根据正n边形每一个内角=计算即可.
⑵根据正n边形每一个中心角=得∠COD=60°，从而知△COD是等边三角形，再结合等边三角形“三线合一”及勾股定理计算出OG的长.
19．【答案】（1）解：∵ y=x2-2x-3 =（x-1）2-4，
∴函数图象的顶点为（1，-4），
令 x2-2x-3 =0，
解得x1=-1，x2=3，
故图象与坐标轴的交点坐标 为（-1，0）和（3，0）.
（2）解：如图，
①当y<0时，-1② 当y>-3时 ，x<0或x>2.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；作图-二次函数图象
【解析】【分析】⑴将函数一般式变形为顶点式求顶点，令函数y=0，解方程求函数图象与x轴的交点.
⑵根据函数图象作答即可.
20．【答案】（1）解：如图， 以点A、B为圆心，取大于 A B 的长度为半径画弧，两弧在AB两侧交于两点，连接这两点得到AB的垂直平分线；以点A、C为圆心，取大于 A C 的长度为半径画弧，两弧在AC两侧交于两点，连接这两点得到AC的垂直平分线 ，其交点O即为 △ABC的外接圆O .
（2）解：如图，连接OA、OB、OC，OA与BC交于点D，
则OA=OB=OC，
∴AB=AC，
∴OA⊥BC，且BD=CD==12，
由勾股定理得AD=，
不妨设半径OB=r，则OD=r-5，
在Rt△OBD中，OB2=OD2+BD2，
即r2=122+（r-5）2，
解得r=16.9.
即 ⊙O的半径 为16.9.
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【分析】⑴分别作出三角形两边的垂直平分线，取其交点，即为三角形外接圆圆心.
⑵根据等腰三角形“三线合一”及勾股定理计算出圆的半径即可.
21．【答案】（1）解：如图，连接OA，
∵=2，
∴∠AOB=2∠BOC，
又∵ ∠ADB=62° ，
∴∠AOB=2 ∠ADB=124°，
∴∠BOC=62°，
∵ BE⊥OC ，
∴∠OEB=90°，
∴∠OBE=90°-∠BOE=28°.
（2）证明：如图，连接OA，过O作OF⊥AB于F点，
∵OA=OB，
∴∠BEO=90°，AB=2BF
∵=2，
∴∠AOB=2∠BOC，
又∠AOB=2∠ADB，
∴∠BOC=∠ADB，
∵BD是直径， BE⊥OC ，
∴∠BAD=∠BEO=90°，
∴∠ABD=∠OBE，
∴OE=OF，
∴△OBF≌△OBE(AAS)，
∴BF=BE，
∴AB=2BE.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】⑴根据同弧所对的圆心角等于其所对圆周角的2倍知∠AOB=2 ∠ADB，结合题意=2知AOB=2∠BOC，从而知∠BOC的度数，再根据“直角三角形两锐角互余”得 ∠OBE的度数 .
⑵根据等腰三角形“三线合一”知OF垂直平分AB，结合（1）易得∠ABD=∠OBE，从而得OE=OF，再根据“AAS”证明△OBF≌△OBE(AAS)知BF=BE，从而证明 AB=2BE.
22．【答案】（1）解：由已知可得：AD==，
则S=1×=；
（2）解：设AB= xm，则AD=（3-x）m，AF=（3-x）m
∵AB＞0，AD＞0，AF＞0，
∴0设窗户的面积为S，
由已知可得：S= AB×AD= x(3-x)=-x2+3x=-（x-）2+，
当x=时，S有最大值，为，
∵＞1.05，
∴现在窗户透光的最大值变大.
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用已知制作窗框的材料总长为6m，利用矩形的性质可求出EF，DC的长，即可求出AD的长然后利用矩形的面积公式可求出此时窗户的透光面积.
（2）设AB= xm，可表示出AD，AF的长，再根据AB＞0，AD＞0，AF＞0，可得到关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集，可得到x的取值范围；再利用矩形的面积公式可得到s与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求解.
23．【答案】（1）解：将 代入，得-2=4a+2b-2，即b=-2a，
∴对称轴x==1.
（2）解：据题意知当x=1时，y=-3，
故有a+b-2=-3，
∵b=-2a，
∴a=1，b=-2，
∴函数表达式为=（x-1）2-3，
∴新函数表达式为y=（x-1-2）2-3=（x-3）2-3，
∴当x=3时，函数有最小值-3，
当x=0时，y=6；当x=5时，y=1，
∴ 当时 ，新函数最小值为-3，最大值为6，
∴最大值与最小值的和为6+（-3）=3.
（3）解：令=0，得，
则x1+x2=，x1x2=，
∴，
∴=2，
∵，
∴2<<4，
即4<4+<16，
∴a>.
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】⑴将 A(2，-2)代入可得关于a和b的方程，结合对称轴公式 x = 求解对称轴.
⑵据题意求出a、b的值，从而知函数表达式，再根据平移规律确定新的函数表达式， 分析区间[0，5]上的最值之和 .
⑶根据“韦达定理”得x1+x2=，x1x2=，再结合，得出a得取值范围.
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
即，
∴.
（2）解：连接OD、OB，过点O作OE⊥BD于E点，
∵ 弧BD的度数为 ，
∴∠BOE=60°，
∴BE=OB=4，
∴BD=2BE=8，
∴AC=BD=8，
∴ 四边形ABCD的面积 =AC×BD=×8×8=96.
（3）解：AD=2OM，
理由如下：
如图，连接OA、OB、OC、OD，过O点作ON⊥AD于N点，
∵OA=OB=OC=OD，，ON⊥AD
∴AN=ND，BM=CM，∠BOC=2∠BOM，∠AOD=2∠AON，
∵∠BOC=2∠BAC，∠AOD=2∠ABD，
∴∠BOM=∠BAC，∠ABD=∠AON，
∵ ，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AON=90°，
又∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠AON=∠OBM，
在△OBM和△AON中，
∵∠ANO=∠OMB=90°，∠AON=∠OBM，OA=OB，
∴△OBM≌△AON，
∴AN=OM，
∴AD=2OM.
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】⑴根据得，再根据弧的分布知，从而证明；
⑵ 通过弧的度数求弦长 ，再根据题意“ 四边形的面积等于对角线乘积的一半 ”计算即可.
⑶根据等腰三角形"三线合一"知 AN=ND=，BM=CM，∠BOC=2∠BOM，∠AOD=2∠AON，再根据圆周角定理及同角的余角相等知∠AON=∠OBM，从而证明△OBM≌△AON得AN=OM，即AD=2OM，
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