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江苏省徐州市2025-2026学年高三上学期期中抽测数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作的垂线，垂足为，若的平分线经过与轴的交点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在各项均为正数的等比数列中，，则的最小值为（ ）
A． B．12 C．17 D．
7．“”是“圆与圆相交”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．在中，，则（ ）
A． B． C．或 D．7
二、多选题
9．已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若与所成角相等，则
10．若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．定义在上的函数满足，当时，，则（ ）
A．
B．当时，
C．
D．当时，
三、填空题
12．若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为，则 .
13．一个正三棱台的上 下底面边长分别为1和2，则它的外接球体积的最小值为 .
14．若函数在区间上恰有5个极值点，且在区间上单调，则的取值范围为 .
四、解答题
15．为了解学生对某项运动的喜欢程度，某校随机调查了200名学生，得到如下列联表：
喜欢程度 性别 喜欢 感觉一般 合计
男 30 70 100
女 50 50 100
合计 80 120 200
(1)根据小概率值的独立性检验，分析学生对该运动的喜欢程度是否与性别有关；
(2)从这200人中随机选出了5名男生和3名女生作为代表，其中有2名男生和2名女生喜欢该运动.现从这8名代表中任选3名男生和2名女生进一步交流，求这5人中恰有2人喜欢该运动的概率.
附：
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
16．如图，在三棱锥中，平面为棱的中点，，.
(1)求二面角的余弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
18．已知双曲线的右焦点为，点是与直线的公共点，直线分别与直线轴交于点，直线与轴交于点，记的面积分别为．
(1)若，求点到的渐近线的距离；
(2)证明：；
(3)的右支上是否存在点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
19．已知函数.
(1)若，证明：当时，；
(2)若为的极小值点，求的取值范围.
参考答案
1．C
【详解】由，即，解得，
所以，
又，所以.
故选：C
2．A
【详解】因为，所以，
所以的虚部为.
故选：A
3．C
【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
由题意可知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，
故，则，
故椭圆离心率为，
故选：C
4．B
【详解】因为，所以，
又，
所以，
所以，
，
所以，
又，所以，
即与的夹角为.
故选：B
5．D
【详解】抛物线的焦点为，
设准线与轴交于点，依题意，又，
所以，又，所以，
所以，
所以，则四边形为正方形，又，所以，解得.
故选：D
6．B
【详解】因为是正项等比数列，所以，又，所以，
设公比为，所以，
令，则
因为，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以当时，即取得最小值，最小值为.
故选：B
7．C
【详解】圆，即，圆心为，半径；
圆，即，圆心为，半径；
则
若两圆相交，则，即，解得，
因为真包含于，
所以 “”是“圆与圆相交”的必要不充分条件.
故选：C
8．B
【详解】在中，，故，即得，
结合，得，
则，即，
则，即得，则C为锐角，
由，结合，
解得，
则，
，
故，
由，得，
故选：B
9．BC
【详解】对于A：若，则或，故A错误；
对于B：因为，，，所以或，且或。若，因为是不同的直线，
则与是内两条平行线，又，所以。同理，若，则。所以“或”必成立,故B正确。
对于C：若，则或，
若，则内必定存在直线使得，又，所以，所以；
若，又，所以，
综上可得，故C正确；
对于D：若且，此时与所成角均为，相等，
此时，故D错误.
故选：BC
10．ABD
【详解】对于A：因为，，即，
所以，又，所以，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，
而，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：ABD
11．ABD
【详解】对于A：当时，，所以，
又，所以，故A正确；
对于B：当时，，，
所以，
所以，故B正确；
对于C：当时，
当时，
所以，则在上单调递增，
在上单调递减，
所以，故C错误；
对于D：由上述推导可归纳，
对任意正整数，当时，，
当，即当时，，符合题意；
假设时成立，即当时，；
则当时
，也成立，
所以当时，，
则，
所以当时，
即当时，，故D正确.
故选：ABD
12．
【详解】因为展开式的通项为，
因为第2项与第3项的二项式系数之比为，
所以，即，解得.
故答案为：
13．
【详解】因为正三棱台的上 下底面边长分别为1和2，
所以上底面外接圆的半径，
下底面外接圆的半径，
设高为，外接球的半径，上底面外接圆圆心，下底面外接圆圆心，外接球球心为，
则，则，
所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，
所以外接球体积的最小值为.
故答案为：
14．
【详解】由，所以，又函数在区间上恰有5个极值点，
所以，解得，
由，则，
又在区间上单调，
由，所以，所以或，
解得或，
综上可得的取值范围为.
故答案为：
15．(1)有关
(2)
【详解】（1）零假设：学生对该运动的喜欢程度与性别无关，
则，
故根据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立，
则学生对该运动的喜欢程度与性别有关；
（2）设进一步交流的男生喜欢该运动的人数为X，女生中喜欢该运动的人数为Y，
从这8名代表中任选3名男生和2名女生的选法有种，
则
，
即这5人中恰有2人喜欢该运动的概率为.
16．(1)；
(2).
【详解】（1）取中点，连接， ，因为，为 中点，
所以.
因为平面平面，所以， .
在中，，
在中，，
从而，又 为中点，
所以. 故为二面角的平面角，
因为平面 平面，所以，
又，所以，
从而，
所以二面角的余弦值为.
（2）设点到平面的距离为.
因为平面，所以平面.
又平面，所以.
所以.
由，得，即，故，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
当时，，
两式相减得，即，
所以，所以，
累乘得，
即，又，所以，
又也满足上式，所以.
（2）记，
所以
.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)不存在，原因见解析
【详解】（1）若，双曲线，
所以，得，所以双曲线，
渐近线方程为，即，
直线与轴的交点，
点到渐近线的距离为．
（2）联立，得，即，
所以，且，，，
，
所以，令，得，即，
所以，
因为，所以，所以，
因为，，所以．
（3）由（2）知,，所以PQ的中点为，
所以PQ的中垂线方程为，
令，因为，所以，则，
将代入，得，
令，对称轴为，
①当，即时，
，
此时方程无解；
②当，即时，由，得，又，故，
，
此时方程无解；
综上，E的右支上不存在点M使得．
19．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）当 时, .
令，，则，
当 时, ,所以 单调递减，故，
又时，，所以；
（2）①当 时, .
令，，
考察 ，所以.
因为为函数的极小值点，所以存在区间 (其中 )，
使得 时，，且 ,
所以，从而 ,故也是的极小值点.
又，
令 ，则 ，
且 .
令，由于 ，则有两个不相等的实数根 ，
.
（i）当时,因为的对称轴，，则 .
当时, ,即,所以单调递增,
所以,则单调递减,
当时, ,即,所以 单调递增,
所以,则单调递增,
所以0是 的极小值点,符合题意.
（ii）当时,因为的对称轴，则 .
当时,，即，所以单调递减,
所以 ,则单调递减,
此时0不是的极小值点,不符合题意.
当时，则，
当 时, ,即,所以单调递减,
所以 ,则单调递增,
当时, ,即,所以单调递增,
所以 ,则单调递增,
此时 0 不是 的极小值点,不符合题意.
②由(1)知，当时,,此时0不是的极小值点,不符合题意.
当 时, ,即 ,
当 ,.
（i）当 时, ,当 时, ,
此时0不是的极小值点,不符合题意.
（ii）当且时, ，
所以有两个不相等的实数根,
若 ,则 ,当时,,则 ,
此时0不是的极小值点,不符合题意;
若 ,则 ,当 时, ,则 ,
此时 0不是的极小值点,不符合题意.
综上所述,实数 的取值范围为 .

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