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桐城部分学校联考2025-2026学年上学期九年级期中试卷
数　学
本卷共23小题,满分150分,考试时间120分钟.
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
每小题都给出代号为A,B,C,D的四个选项,其中只有一个是正确的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.下列各式中，是的二次函数的是 ( )
A. B. C. D.
2.抛物线的对称轴为直线，的最大值为，且与的图象开口大小相同，则这条抛物线的表达式为( )
A. B.
C. D.
3.已知二次函数的变量，的部分对应值如表：
根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是( )
A. B. C. D.
4.彝族年假期期间，某店销售特产苦荞饼，经调查发现每盒苦荞饼售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降元时，日销售量会增加盒．已知每盒苦荞饼的成本为元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
5.若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为( )
A. B. C. D.
6.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度与飞行时间满足函数表达式则下列说法中正确的是( )
A. 点火后和点火后 的升空高度相同 B. 点火后火箭落于地面
C. 点火后的升空高度为 D. 火箭升空的最大高度为
7.如图，是的中线，是上一点，，的延长线交于，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，正的边长为，点为边上的任意一点不与点、重合，且，交于点设，，则关于的函数图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的对应点为，则点的对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
10.如图，在数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退保持脚、镜和旗杆底端在同一条直线上，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为 ．
12.关于的函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
13.若，则 ．
14.如图，已知点、分别在边、上，，，那么： ．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
15.二次函数的图象顶点是，且过
求函数的解析式；
求出函数图象与坐标轴的交点．
16.已知，求的值．
四、解答题：本题共7小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知二次函数。
直接写出二次函数图象的顶点坐标；
画出这个二次函数的图象；
当时，的取值范围是_____________。
18.本小题分
如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点．
求的长
求的面积．
19.本小题分
如图，，，点，分别在函数和的图象上，且点的坐标为．
求，的值；
若点，分别在函数和的图象上，且不与点，重合，是否存在点，，使得≌若存在，请直接写出点，的坐标；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购买一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构，根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量个与销售单价元个之间的关系式为，许愿瓶的进价为元个．
按照上述市场调查的销售规律，求销售利润元与销售单价元个之间的函数解析式；为了方便顾客，售价定为多少时可获利元？
若许愿瓶的进货成本不超过元，要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润．
21.本小题分
如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．
求证：∽；
若，，，求的长．
22.本小题分
已知：如图，在四边形中，，对角线、交于点，点在边上，连接交线段于点，．
求证：；
连接，求证：．
23.本小题分
在中，于点，点为射线上任一点点除外连接，将线段绕点顺时针方向旋转，，得到，连接．
【观察发现】
如图，当，且时，与的数量关系是________，与的位置关系是________．
【猜想证明】
如图，当，且时，中的结论是否成立若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．请选择图，图中的一种情况予以证明或说理
【拓展探究】
在的条件下，若，，请直接写出的长．桐城部分学校联考2025-2026学年上学期九年级期中试卷
数学答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.
12. 且
13.
14.
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
15. 本小题分
解：设这个二次函数的解析式为，
该函数过点，
，
解得，
即该函数的解析式为；
当时，，
解得，，，
当时，，
由上可得，该函数的解析式为，与轴的交点坐标为，；与轴的交点坐标为
16.本小题分
解：，
令，，，
．
四、解答题：本题共7小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分 解：；
这个二次函数的图象如图，
。
18. 本小题分解：令，则，
；
令，则，
解得：，，
，，
则；
，，，
，，
．
19. 本小题分解：如图，过点作轴于，过点作轴于，
，
，，，
，
，
在和中，
≌，
，，
，
；
存在，，．
20. 本小题分解：由题意可得，
，
当时，，
解得，，，
故为了方便顾客，售价定为元，
答：销售利润元与销售单价元个之间的函数解析式是，为了方便顾客，售价定为元时可获利元；
由题意可得，
，
解得，，
，，
当时，随着的增大而增大，当时，随的增大而减小，
又，
当时，取得最大值，此时，
即许愿瓶的进货成本不超过元，要想获得最大利润，此时的销售单价是元，此时的最大利润是元．
21. 本小题分证明：因为四边形是平行四边形，
所以，．
所以， ．
因为，，
所以C.
所以∽．
解：因为，，
所以．
由得∽ ，
所以．
又，
所以．
在中，由勾股定理，得．
则的长为．

22. 本小题分证明：，
，
又，
∽，
，
，
，
；
，，
∽．
．
又，
∽．
．
．
23. （14分）解：；；
成立，不成立，与的关系为
理由如下：连接选图证明
由题意可知：、均为等腰直角三角形
，
即
又
∽
，
，


，
或．

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