资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2024北师大八上数学第7章命题与证明单元检测
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一．选择题（共12小题）
1．如图，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝57°，则∠4＝57°，下面是A，B，C，D四个同学的推理过程，你认为推理正确的是（　　）
A．因为∠1＝60°＝∠2，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57°
B．因为∠4＝57°＝∠3，所以a∥b，故∠1＝∠2＝60°
C．因为∠2＝∠5，又∠1＝60°，∠2＝60°，故∠1＝∠5＝60°，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57°
D．因为∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝57°，所以∠1＝∠3＝∠2﹣∠4＝60°﹣57°＝3°，故∠4＝57°
2．用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设（　　）
A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60°
3．三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是（　　）
A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定
4．如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ，做法如下：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
5．下列说法中正确的是（　　）
A．相等的两个角是对顶角
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．直线外一点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离
6．如图是一个可折叠的衣架，AB是水平地面，点A，B，M，N，P在同一平面内．当∠1＝∠2且∠3＝∠4时，可判定点N，P，M在同一条直线上，判定依据是（　　）
A．两点确定一条直线
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7．下列命题中，原命题和逆命题互为逆定理的是（　　）
A．成轴对称的两个图形全等
B．直角三角形两锐角互余
C．对顶角相等
D．全等三角形的面积相等
8．若通过举例说明“如果a+b＞0，那么ab＞0”是错误的，则下面可以作为例子的是（　　）
A．a＝1，b＝3 B．a＝3，b＝﹣1 C．a＝﹣3，b＝﹣2 D．a＝﹣3，b＝﹣1
9．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠D′EF等于（　　）
A．45° B．65° C．60° D．55°
10．如图，AB∥CD，点E在BC的延长线上，连接DE．若∠E＝25°，∠D＝24°，则∠B的度数是（　　）
A．24° B．49° C．50° D．69°
11．如图，在三角形ABC中，点D，E在边AB上，点F在边AC上，连接CD，DF，EF，若DF∥BC，则添加下列条件不能判定EF∥CD的是（　　）
A．∠EFD＝∠DCB B．∠AEF+∠CDB＝180°
C．∠EFC+∠DCB＝180° D．∠AFE＝∠ACD
12．下列命题，正确的是（　　）
A．绝对值等于本身的数为0
B．倒数等于本身的数有0，1
C．相反数等于本身的数是0
D．如果两个数的平方相等，那么这两个数也相等
二．填空题（共6小题）
13．老师在黑板上写了三个算式；52﹣32＝8×2，92﹣72＝8×4，152﹣132＝8×7．请你写两个具有相同规律的等式 　 　 、　 　 ．
14．“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的逆命题是　 　 ，逆命题　 　 （填成立/不成立）．
15．如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，折痕为EF．若∠DFC＝80°，则∠DEF＝　 　 °．
16．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．则第二局的输者是　 　 ．
17．用反证法证明命题“已知△ABC的三边长a、b、c（a≤b＜c）满足a2+b2≠c2．求证：△ABC不是直角三角形．”时，第一步应先假设 　 　 ．
18．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是　 　 ．
三．解答题（共8小题）
19．用反证法证明：平行于同一条直线的两条线平行．
20．如图，CE平分∠ACD，且CE∥AB，则△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由．
21．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：AD∥CE；
（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝64°，试求∠FAB的度数．
22．
问题呈现．角平分线的性质角的平分线上的点与角两边的点所连线段与角两边的位置关系的特殊情形，如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任一点，作OA与OB的垂线，垂足分别为点D和点E，通过测量，我们发现PD与PE相等．再类似取点P1，P2，…进行同样操作，发现它们仍相等，由此猜想有：角平分线上的点到角两边的距离相等．请结合图形写出已知和求证，并完成推理过程．已知：_____，求证：_____．
（1）定理证明：结合图1写出已知和求证，并写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
（2）定理应用：如图2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E在BC边上，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．求证：BE＝CE．
23．如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）判定AD与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．
24．在学习中，小朋发现：当n＝1，2，3时，n2﹣6n的值都是负数．于是小朋猜想：当n为任意正整数时，n2﹣6n的值都是负数．小朋的猜想正确吗？请简要说明你的理由．
25．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：EH∥AD；
（2）若∠DGC＝58°，且∠H﹣∠4＝10°，求∠H的度数．
26．如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P．
（1）∠EPF与∠PEF相等吗？请说明理由．
（2）若∠FHG＝3∠EPF，求∠EFD的度数．
（3）点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ．若∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ﹣∠EQF＝50°，求∠EQF的度数．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1．【考点】命题与定理
【分析】根据平行线的判定和性质即可作出判断．
解：A、因为∠1＝60°＝∠2，不能判定a∥b，错误；
B、因为∠4＝57°＝∠3，不能判定a∥b，错误；
C正确；
D、因为不能判定a∥b，所以不能计算出∠4＝57°，错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的判定及性质定理，比较简单．
2．【考点】反证法
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是∠A＞60°的反面有多种情况，应一一否定．
解：∠A与60°的大小关系有∠A＞60°，∠A＝60°，∠A＜60°三种情况，因而∠A＞60°的反面是∠A≤60°．因此用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°．
故选：D．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
3．【考点】平行公理及推论
【分析】根据平行公理的推论直接得出结论．
解：∵a∥b，b∥c，
∴a∥c，
∴a与c平行，
故选：B．
【点评】本题考查了平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行，掌握平行线公理的推论是解题的关键．
4．【考点】平行公理及推论；直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【分析】由垂线的性质：垂线段最短，即可判断．
解：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是：垂线段最短．
故选：C．
【点评】本题考查垂线的性质，关键是掌握垂线段最短．
5．【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角；点到直线的距离；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论
【分析】A；根据对顶角的概念即可判定；
B：根据平行公理，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行即可判定；
C：根据两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等即可判定；
D：根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离即可判定．
解：A：因为，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，所以A选项错误；
B：因为，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以B选项错误；
C：因为，两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，所以C选项错误；
D：因为，点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，对顶角，点到直线的距离及平行公理的概念，合理应用相关概念进行判断是解决本题的关键．
6．【考点】平行公理及推论
【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可．
解：当∠1＝∠2时，PM∥AB；∠3＝∠4时，PN∥AB，
根据“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”就可以确定点N，P，M在同一直线上．
故选：C．
【点评】本题考查了平行公理，理解并熟记平行公理是解题的关键．
7．【考点】命题与定理
【分析】把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据成轴对称图形、直角三角形的判定、对顶角相等、全等三角形的判定定理判断．
解：A、成轴对称的两个图形全等，逆命题为两个全等的图形成轴对称，逆命题是假命题，不符合题意；
B、直角三角形两锐角互余，逆命题为两锐角互余的三角形是直角三角形，原命题和逆命题是真命题，符合题意；
C、对顶角相等，逆命题为相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；
D、全等三角形的面积相等，逆命题为面积相等的三角形全等，逆命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．【考点】有理数的乘法；有理数的加法
【分析】利用有理数的乘法法则和有理数的加法法则解答．
解：两数相加大于0，两数相乘有可能小于0，所以有可能一正一负，但正数绝对值大，B．符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘法、加法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则和有理数的加法法则．
9．【考点】平行线的性质
【分析】根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，由此可得∠DEF＝∠EFB，再结合图形翻折可得∠D′EF＝∠DEF，由此可求．
解：∵在长方形中，AD∥BC，∠EFB＝65°，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°（两直线平行，内错角相等），
∵长方形纸片沿EF折叠，
∴∠D′EF＝∠DEF＝65°，
则∠D′EF等于65°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是平行线性质的熟练掌握．
10．【考点】平行线的性质
【分析】由三角形的外角性质可得∠BCD＝∠E+∠D＝49°，再根据平行线的性质即可求解．
解：∵∠E＝25°，∠D＝24°，
∴∠BCD＝∠E+∠D＝25°+24°＝49°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BCD＝49°（两直线平行，内错角相等），
则∠B的度数为49°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．
11．【考点】平行线的判定与性质
【分析】根据平行线的性质与判定方法解答即可．
解：∵DF∥BC，
∴∠CDF＝∠DCB，
A．∵∠EFD＝∠DCB，∠CDF＝∠DCB，
∴∠EFD＝∠CDF，
∴EF∥CD，故本选项不合题意；
B．∵∠AEF+∠CDB+∠DEF+∠CDE＝180°×2，∠AEF+∠CDB＝180°，
∴∠DEF+∠CDE＝180°，
∴EF∥CD，故本选项不合题意；
C．∠EFC+∠DCB＝180°不能判定EF∥CD，故本选项符合题意；
D．∵∠AFE＝∠ACD，
∴EF∥CD，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
12．【考点】命题与定理；相反数；绝对值；倒数；有理数的乘方
【分析】根据绝对值的性质、倒数、相反数的性质、乘方运算逐项判断即可得．
解：绝对值的性质、倒数、相反数的性质、乘方逐项分析判断如下：
A、绝对值等于本身的数为非负数，则此项错误，不符合题意；
B、倒数等于本身的数有﹣1，1，则此项错误，不符合题意；
C、相反数等于本身的数是0，则此项正确，符合题意；
D、命题错误，如12＝（﹣1）2＝1，但1≠﹣1，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值的性质、倒数、相反数的性质、乘方，熟练掌握各运算法则和性质是解题关键．
二．填空题（共6小题）
13．【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算
【分析】根据题意，等式左边为连个连续奇数平方的差，右边为8的倍数．
解：根据题意，得出：172﹣152＝8×8，72﹣52＝8×3，
故答案为：172﹣152＝8×8，72﹣52＝8×3．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，找到题目中的规律是解题的关键．
14．【考点】命题与定理；角平分线的性质
【分析】根据角平分线的性质进行判定即可求解．
解：由题意得，原命题的逆命题为“角的内部，角平分线上的点到角两边的距离相等”成立．
故答案为：“角的内部，角平分线上的点到角两边的距离相等”；成立．
【点评】本题考查了命题与定理，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15．【考点】平行线的性质
【分析】根据折叠的性质和邻补角的定义求得∠EFB的度数，然后利用平行线的性质求解即可．
解：如图，由折叠的性质知：∠EFB＝∠EFD．
∵∠DFC＝80°，∠EFB+∠EFD+∠DFC＝180°，
∴．
又∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝50°（两直线平行，内错角相等）．
则∠DEF的度数为50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
16．【考点】推理与论证
【分析】由题意知道，甲和乙各与丙比赛了一场．丙当了三次裁判，说明甲和乙比赛了三场，这三场中间分别是甲和丙，乙和丙比赛．因此第一，三，五场比赛是甲和乙比赛，第二，四场是甲和丙，乙和丙比赛，并且丙都输了．故第二局输者是丙．
解：由题意，知：由丙当了3次裁判知有三场比赛是甲乙比赛，丙当裁判，且这三场比赛分别是第一局，第三局，第五局：
第一局：甲VS乙，丙当裁判；
第三局：甲VS乙，丙当裁判；
第五局：甲VS乙，丙当裁判；
由于输球的人下局当裁判，因此第二场输的人是丙．
故答案为丙．
【点评】此题主要考查了推理与论证，解决本题的关键是推断出每场比赛的双方．
17．【考点】反证法；勾股定理的逆定理
【分析】根据反证法定义判断．
解：用反证法证明“已知△ABC的三边长a、b、c（a≤b＜c）满足a2+b2≠c2．求证：△ABC不是直角三角形”时，第一步应先假设这个三角形是直角三角形．
故答案为：△ABC为直角三角形．
【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
18．【考点】平行线的判定与性质
【分析】过点H作HQ∥AB，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y，分别表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案．
解：∵∠FMA＝∠FGC，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴结论①正确；
过点H作HQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥HQ∥CD（平行于同一直线的两直线相互平行），
∴∠GHQ＝∠HGC（两直线平行，内错角相等），∠EHQ＝∠AEH＝∠NEB，
设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y，
∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠NEB+∠HGC＝x+y，
∴∠FEN+∠FGH＝2（x+y）＝2∠EHG，
∴结论②正确；
∵∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG，
∴∠EFM＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣2y）＝3x+3y﹣180°，
∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，
∴结论③错误；
3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，
∴结论④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，关键是平行线判定定理和性质的熟练掌握．
三．解答题（共8小题）
19．【考点】反证法
【分析】画出图形，写出已知、求证，然后根据反证法的步骤给出证明即可解决问题．
证明：假设a与b相交于点M，
则过M点有两条直线平行于直线c，
这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾，
所以a∥b．
【点评】查了反证法．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，只要否定其一即可．
20．【考点】平行线的性质
【分析】由角平分线的定义可得∠ACE＝∠ECD，由平行线的性质可得∠ECD＝∠B，∠ACE＝∠A，即∠B＝∠A，然后运用等角对等边即可解答．
解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD，
∵CE∥AB，
∴∠ECD＝∠B（两直线平行，同位角相等），∠ACE＝∠A（两直线平行，内错角相等），
∴∠B＝∠A（等量代换），
∴AC＝BC（等角对等边），
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
21．【考点】平行线的判定与性质
【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出AB∥CD，进而得出∠ADC+∠3＝180°，即可得出答案；
（2）利用角平分线的定义结合已知得出∠FAD＝∠AEC＝90°，即可得出答案．
（1）证明：∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换），
∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝64°，
∴∠BDC＝64°，
∵DA平分∠BDC，
∴∠ADC∠BDC＝32°（角平分线定义），
∴∠2＝∠ADC＝32°（已证），
又∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°（垂直定义），
∵AD∥CE（已证），
∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等），
∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣32°＝58°．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出∠FAD＝∠AEC＝90°是解题关键．
22．【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【分析】（1）先结合图1写出已知、求证，然后证明△POE≌△POD，从而得到PE＝PD，
（2）证明：过E点作EF⊥AB于F点，EG⊥AD于G点，EH⊥CD于H点，如图2，根据角平分线的性质可证明EF＝EH，然后证明△BEF≌△CEH，从而得到BE＝CE．
（1）已知：OC平分∠AOB，PE⊥OB于E点，PD⊥OA于D点，如图1，
求证：PE＝PD．
证明：∵OC平分∠AOB，
∴∠POE＝∠POD，
∵PE⊥OB于E点，PD⊥OA于D点，
∴∠PEO＝∠PDO＝90°，
在△POE和△POD中，
，
∴△POE≌△POD（AAS），
∴PE＝PD，
所以角平分线上的点到角两边的距离相等；
（2）证明：过E点作EF⊥AB于F点，EG⊥AD于G点，EH⊥CD于H点，如图2，
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴EF＝EG，EG＝EH，
∴EF＝EH，
在△BEF和△CEH中，
，
∴△BEF≌△CEH（AAS），
∴BE＝CE．
【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证．熟练掌握角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质是解决问题关键．
23．【考点】平行线的判定与性质
【分析】（1）由平行线的性质得∠BAD＝∠1，再由∠1+∠2＝180°，得∠BAD+∠2＝180°，然后由平行线的判定即可得出结论；
（2）先求出∠1＝38°，再由平行线的性质得∠CDG＝∠1＝38°，然后由平行线的性质即可得出结论．
解：（1）AD∥EF，理由如下：
∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠1，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠BAD+∠2＝180°
∴AD∥EF；
（2）∵∠2＝142°，∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣42°＝38°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG＝∠1＝38°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠CDG＝38°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
24．【考点】因式分解﹣运用公式法；非负数的性质：偶次方
【分析】根据因式分解，可得n（n﹣6），再分类讨论，可得答案．
解：小明的猜想不对．
∵n2﹣6n＝n（n﹣6），
当n≤0，或n≥6时，n2﹣6n≥0，
∴小明的说法不对．
【点评】本题考查了因式分解，由因式分解，可得出代数式的值是非负数．
25．【考点】平行线的判定与性质
【分析】（1）由∠1＝∠B得AB∥GD，即得∠2＝∠BAD，进而可得∠BAD+∠3＝180°，即可求证；
（2）由平行线的性质可得∠2＝∠H，即得∠H＝∠BAD，即可得∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°，进而由∠H﹣∠4＝10°可得∠4＝24°，据此即可求解．
（1）证明：∵∠1＝∠B，
∴AB∥GD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠BAD+∠3＝180°，
∴EH∥AD；
（2）解：∵EH∥AD，
∴∠2＝∠H（两直线平行，同位角相等），
∵∠2＝∠BAD，
∴∠H＝∠BAD，（等量代换）
∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°，
∵∠H﹣∠4＝10°，
∴2∠4+10°＝58°，
∴∠4＝24°，
∴∠H＝34°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
26．【考点】平行线的性质
【分析】（1）根据角平分线得∠PEA＝∠PEF，再根据AB∥CD得∠PEA＝∠EPF，由此可得出结论；
（2）设∠EPF＝α，则∠FHG＝3α，由（1）可知∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α，根据AB∥CD得∠EFD＝∠AEF＝2α，然后根据EF∥GH得2α+3α＝180°，由此解出α即可得出∠EFD的度数；
（3）设∠EQF＝β，则∠PEQ＝50°+β，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段GH上时，证明∠1∠EFD，∠2∠AEF，根据AB∥CD得∠1＝∠2，则PE∥FQ，再根据平行线的性质得50°+β+β＝180°，由此解出β即可得出∠EQF的度数；②当点Q在线段GH的延长线上时，过点Q作QR∥CD交EF的延长线于R，证明∠3+∠2＝90°，AB∥QR，则∠AEQ+∠EQR＝180°，进而得∠2+50°+β+∠3+β＝180°，由此解出β即可得出∠EQF的度数；综上所述即可得出答案．
解：（1）∠EPF与∠PEF相等，理由如下：
∵EP是∠AEF的平分线，
∴∠PEA＝∠PEF，
∵AB∥CD，
∴∠PEA＝∠EPF，
∴∠EPF＝∠PEF；
（2）设∠EPF＝α，
∴∠FHG＝3∠EPF＝3α，
由（1）可知：∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α，
∴∠AEF＝2α，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠AEF＝2α，
∵EF∥GH，
∴∠EFH+∠FHG＝180°，
即2α+3α＝180°，
解得：α＝36°，
∴∠EFD＝2α＝72°；
（3）设∠EQF＝β，
∵∠PEQ﹣∠EQF＝50°，
∴∠PEQ＝50°+β，
∵点Q为射线GH上一点，
∴有以下两种情况：
①当点Q在线段GH上时，如图1所示：
∵EF∥GH，
∴∠1＝∠FQH，
∵∠QFH＝∠FQH，
∴∠1＝∠QFH，
∴∠1∠EFD，
∵EP是∠AEF的平分线，
∴∠2∠AEF，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD，
∴∠1＝∠2，
∴PE∥FQ，
∴∠PEQ+∠EQF＝180°，
即50°+β+β＝180°，
解得：β＝65°，
即∠EQF＝β＝65°；
②当点Q在线段GH的延长线上时，
过点Q作QR∥CD交EF的延长线于R，如图2所示：
∵EF∥GH，
∴∠1＝∠FQH，∠3＝∠QFH，
∵∠QFH＝∠FQH，
∴∠1＝∠QFH＝∠3，
∴∠RFH＝2∠1＝2∠3，
∵∠RFH＝∠PFE，
∴∠PFE＝2∠3，
∵EP是∠AEF的平分线，
∴∠AEF＝2∠2，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴2∠3+2∠2＝180°，
∴∠3+∠2＝90°，
∵AB∥CD，QR∥CD，
∴AB∥QR，
∴∠AEQ+∠EQR＝180°，
即∠2+50°+β+∠3+β＝180°，
解得：β＝20°，
∴∠EQF＝β＝20°，
综上所述：∠EQF的度数为65°或20°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑