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广东省东莞市光明中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
1．（2024高二上·东莞期中）已知点、，则过、两点的直线斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的斜率
【解析】【解答】解：已知点，，根据直线斜率公式可得直线的斜率.
故答案为：A.
【分析】要计算过两点的直线斜率，需用到直线斜率的计算公式.已知两点坐标，（），则直线的斜率，所以我们可以直接将点和的坐标代入该公式来求解直线的斜率.
2．（2024高二上·东莞期中）向量，，若，则（　　）
A． B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】 因为向量，，且，
则，解得，
故答案为：C.
【分析】空间向量平行的性质是：若两个空间向量，平行，则存在实数，使得，也就是对应坐标成比例，即（不为），所以我们可以根据这个性质，列出关于和的方程，进而求解.
3．（2024高二上·东莞期中）若空间向量，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量的模；空间向量的加减法
【解析】【解答】解：已知空间向量，.
根据向量加法的三角形法则，将对应坐标相加，.
根据空间向量模长公式（其中为向量坐标），可得：.
故答案为：C.
【分析】先依据向量加法的三角形法则，求出的坐标，再运用空间向量模长公式计算其模长.
4．（2024高二上·东莞期中）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的斜率；直线的截距式方程
【解析】【解答】 由题意可知，直线的斜率为，
又因为该直线在轴上的截距是，故直线的方程为.
故答案为：C.
【分析】要确定直线的方程，首先回忆直线的斜截式方程（其中是斜率，是在轴上的截距），所以需要先根据倾斜角求出斜率，再结合已知的轴截距，从而写出直线方程
5．（2024高二上·东莞期中）已知圆的方程是，则圆心的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】解： 圆的方程可化为，圆心的坐标是.
故答案为：A.
【分析】通过配方法将圆的一般方程转化为标准方程，其中就是圆心坐标.
6．（2024高二上·东莞期中）若椭圆的右焦点坐标是，长轴长是，则椭圆的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】 因为椭圆的右焦点坐标是，长轴长是，
则，可得，所以，该椭圆的标准方程为.
故答案为：A.
【分析】要确定椭圆的标准方程，需先明确椭圆的基本性质.对于椭圆，长轴长为，右焦点坐标为，且满足.所以我们可以根据已知的长轴长和右焦点坐标，先求出和的值，再利用求出，进而得到椭圆的标准方程.
7．（2024高二上·东莞期中）已知向量，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】设与的夹角为，所以，
又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】要计算两个空间向量的夹角，可依据空间向量夹角的余弦公式：对于空间向量和，它们夹角的余弦值，然后根据的值以及来确定夹角的大小.
8．（2024高二上·东莞期中）已知点， 若直线与线段 相交，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直线的斜率；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：由直线方程，可知直线过定点，
，，
作出示意图如图所示：直线与线段相交，
则可得或，解得或，
所以的取值范围是.
故选：D.
【分析】由直线，得到直线过定点，再由斜率公式，分别求得，，数形结合，即可求得实数的取值范围，得到答案.
9．（2024高二上·东莞期中）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：已知平面平面，是平面的法向量，所以平面的法向量与平行.
选项A：向量，因为，所以该向量与平行，是平面的法向量.
选项B：向量，假设存在实数，使得，则，
由得，代入，左边为，右边为，成立；代入，左边为，不成立，所以该向量与不平行，不是平面的法向量.
选项C：向量，假设存在实数，使得，则，
由得，代入，左边为，不成立，所以该向量与不平行，不是平面的法向量.
选项D：向量，因为，所以该向量与平行，是平面的法向量.
综上，平面的法向量可能为选项A、D中的向量.
故答案为：AD.
【分析】两个平行平面的法向量是平行的.所以平面的法向量应该与平面的法向量平行，即平面的法向量可以表示为（为非零实数）.我们需要逐一分析选项中的向量是否能表示为的形式，从而确定哪些是平面的法向量.
10．（2024高二上·东莞期中）下列说法一定正确的是（　　）
A．过点的直线方程为
B．直线的倾斜角为
C．若，，则直线不经过第三象限
D．过、两点的直线方程为
【答案】C,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜截式方程；直线的两点式方程
【解析】【解答】解：选项A：过点的直线，当直线斜率不存在时，方程为，并非，所以A错误.
选项B：直线，其斜率，但倾斜角的范围是，当时，倾斜角不是，所以B错误.
选项C：因为，，则直线的方程可化为，故直线的斜率为，该直线在轴上的截距为，
作出直线的图象如下图所示：
由图可知，当，时，直线不经过第三象限，C正确；
选项D：当直线过，时，若直线斜率存在且不为，两点式方程为，
交叉相乘可得；
当直线与轴垂直时，，代入方程左边为，右边为，
若，则，不符合，实际当直线与轴垂直时，方程变为，即，成立；
当直线与轴垂直时，，同理可验证方程成立.所以D正确.
故答案为：CD.
【分析】本题主要考查直线方程的相关知识，包括直线的斜截式、倾斜角、一般式化为斜截式分析直线经过的象限以及两点式方程.需要对每个选项逐一分析，根据直线方程的不同形式和性质来判断对错.
11．（2024高二上·东莞期中）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（　　）
A．直线被圆截得的弦长为 B．的最大值
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】C,D
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：选项A：圆心到直线（即）的距离.弦长，A错误.
选项B：原点到圆心的距离为，圆上点到原点的最大距离为，则的最大值为，B错误.
选项C：设，直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离.两边平方得，展开得，移项化简得，即，解得，所以的最大值为，C正确.
选项D：设，即，直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值为，D正确.
故答案为：CD.
【分析】本题围绕圆（圆心，半径），结合直线与圆的位置关系，分析各选项.对于直线被圆截得的弦长，用圆心到直线距离和勾股定理；是圆上点到原点距离的平方，用两点间距离；是圆上点与原点连线的斜率，可设为直线方程，均通过直线与圆有公共点时圆心到直线距离不大于半径来求解.
12．（2024高二上·东莞期中）直线与间的距离为　 　
【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：将直线两边同时除以，得到.此时两条直线与，、的系数相同，符合两平行直线间距离公式的使用条件.
根据距离公式，，，，，则距离.
故答案为：.
【分析】首先需要将两条直线的方程化为、系数相同的形式，然后运用两平行直线间的距离公式（其中直线方程为和）来求解.
13．（2024高二上·东莞期中）若直线与直线平行，且与间的距离为，则　 　.
【答案】15或
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，对于直线和，平行的条件是.
这里，，，，所以，解得.同时，即.
此时，将两边同时除以，化为.
根据两平行直线和间的距离公式，已知与间的距离为，则.
即，两边同乘得.则或.
当时，，解得；
当时，，解得.
当，时，；
当，时，.
所以的值为或.
故答案为：15或.
【分析】本题先依据两直线平行的条件求出的值，再将两条直线方程化为、系数相同的形式，最后利用两平行直线间的距离公式求出的值，进而计算.
14．（2024高二上·东莞期中）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则周长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【解答】 设圆心到直线的动点的距离为，
根据点到直线距离公式，.
因为，是圆的切线，所以（其中）.
又因为是直角三角形，由勾股定理可得，即.
的周长为.
因为是圆的弦，且和全等，所以.
根据三角形面积公式，（其中是圆的半径），
可得，所以，
则的周长.
因为与均在上单调递增，
所以当时，周长取得最小值. 最小值为.
故答案为：.
【分析】本题需要先明确圆的基本性质，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，确定点到圆心的最短距离.再根据切线的性质得出切线长、，结合三角形面积公式求出弦长，进而得到的周长表达式，最后根据函数单调性求出最小值.
15．（2024高二上·东莞期中）根据下列条件，分别求出直线的一般式方程：
（1）经过点，平行于直线；
（2）经过点，点.
【答案】（1）解：由题可知，所求直线斜率为3，故方程为，整理得.
（2）解：由条件可得斜率，故方程为：，整理得：
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）先明确平行直线斜率关系，再用点斜式推导；
（2）先算两点斜率，再结合点斜式转化，确保解题思路清晰且计算过程完整。
（1）由题可知，所求直线斜率为3，故方程为，整理得.
（2）由条件可得斜率，故方程为：，
整理得：
16．（2024高二上·东莞期中）直线的方程为，.
（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
（2）若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值.
【答案】（1）解：当即时，直线的方程为，不满足题意；
当，即时，令得，令，得，
由截距相等得，解得或，
当时，直线的方程为，
当时，直线的方程为，
故综上所述，所求直线的方程为或．
（2）解：由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、，
所以，解得，
所以的面积，
由题意知，化简得，解得或，均满足条件，
所以或．

【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程
【解析】【分析】（1）核心是利用直线在坐标轴上截距的定义，分情况讨论直线斜率是否存在（即是否为），通过令、求出截距，再根据截距相等列方程求解.
（2）先确定直线在、轴正半轴有截距的条件，求出截距表达式，结合三角形面积公式得到关于的方程，进而求解的值，整个过程围绕直线截距与三角形面积的关系展开.
（1）当即时，直线的方程为，不满足题意；
当，即时，令得，令，得，
由截距相等得，解得或，
当时，直线的方程为，当时，直线的方程为，
故综上所述，所求直线的方程为或．
（2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、，
所以，解得，
所以的面积，
由题意知，化简得，解得或，均满足条件，
所以或．
17．（2024高二上·东莞期中）如图所示，在三棱锥中，，直线两两垂直，点分别为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：由点分别为棱的中点，得，又平面，平面，所以平面ADE.
（2）解：以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
设平面的法向量为，则，取，得，
由平面，得平面的一个法向量为，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）借助三角形中位线定理得到线线平行，再依据线面平行的判定定理，由且平面，平面，完成平面的证明.
（2）通过建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，求出两个平面的法向量，最后利用空间向量的夹角公式计算出平面与平面所成角的余弦值，将几何问题转化为代数计算问题.
（1）由点分别为棱的中点，得，又平面，平面，
所以平面ADE.
（2）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
设平面的法向量为，则，取，得，
由平面，得平面的一个法向量为，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
18．（2024高二上·东莞期中）已知圆的圆心在直线上，且过点，
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于、两点，求线段的长度.
【答案】（1）解：设圆心为，因为圆过点，，
则，解得：，则半径，
则圆的方程为：.
（2）解：圆心到直线的距离为，
则.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）利用圆的标准方程形式，结合圆心在直线上的条件设出圆心坐标，再根据圆过两点、，利用两点到圆心距离相等（都等于半径）列方程，求解出圆心和半径，从而确定圆的方程.
（2）先求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式（弦长，其中为圆半径，为圆心到直线的距离），计算出直线被圆截得的弦长.
（1）设圆心为，因为圆过点，，则
，解得：，
则半径，
则圆的方程为：.
（2）圆心到直线的距离为，
则.
19．（2024高二上·东莞期中）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知阳马中，侧棱底面；且，在的中点中选择一个记为点，使得四面体为鳖臑．
（1）确定点的位置，并证明四面体为鳖臑；
（2）若底面是边长为1的正方形，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：点是的中点，
因为，所以，
又因为底面，底面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
由，，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以，所以四面体为鳖臑；
（2）解：如图，分别以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，则，
则，
设平面一个法向量为，
则，令，则，
所以平面一个法向量为，
设平面一个法向量为，
则，令，则，
所以平面一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先确定点为中点，然后通过线面垂直的判定与性质，证明平面、平面，进而得出四面体的四个角为直角，证明其为鳖臑.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再利用空间向量的夹角公式，计算出两个平面夹角的余弦值，将几何问题转化为向量的代数运算.
（1）点是的中点，
因为，所以，
又因为底面，底面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
由，，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以，所以四面体为鳖臑；
（2）如图，分别以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，则，
则，
设平面一个法向量为，
则，令，则，
所以平面一个法向量为，
设平面一个法向量为，
则，令，则，
所以平面一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
1 / 1广东省东莞市光明中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
1．（2024高二上·东莞期中）已知点、，则过、两点的直线斜率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·东莞期中）向量，，若，则（　　）
A． B．，
C．， D．，
3．（2024高二上·东莞期中）若空间向量，，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·东莞期中）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·东莞期中）已知圆的方程是，则圆心的坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·东莞期中）若椭圆的右焦点坐标是，长轴长是，则椭圆的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高二上·东莞期中）已知向量，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·东莞期中）已知点， 若直线与线段 相交，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024高二上·东莞期中）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024高二上·东莞期中）下列说法一定正确的是（　　）
A．过点的直线方程为
B．直线的倾斜角为
C．若，，则直线不经过第三象限
D．过、两点的直线方程为
11．（2024高二上·东莞期中）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（　　）
A．直线被圆截得的弦长为 B．的最大值
C．的最大值为 D．的最大值为
12．（2024高二上·东莞期中）直线与间的距离为　 　
13．（2024高二上·东莞期中）若直线与直线平行，且与间的距离为，则　 　.
14．（2024高二上·东莞期中）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则周长的最小值为　 　．
15．（2024高二上·东莞期中）根据下列条件，分别求出直线的一般式方程：
（1）经过点，平行于直线；
（2）经过点，点.
16．（2024高二上·东莞期中）直线的方程为，.
（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
（2）若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值.
17．（2024高二上·东莞期中）如图所示，在三棱锥中，，直线两两垂直，点分别为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
18．（2024高二上·东莞期中）已知圆的圆心在直线上，且过点，
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于、两点，求线段的长度.
19．（2024高二上·东莞期中）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知阳马中，侧棱底面；且，在的中点中选择一个记为点，使得四面体为鳖臑．
（1）确定点的位置，并证明四面体为鳖臑；
（2）若底面是边长为1的正方形，求平面与平面夹角的余弦值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的斜率
【解析】【解答】解：已知点，，根据直线斜率公式可得直线的斜率.
故答案为：A.
【分析】要计算过两点的直线斜率，需用到直线斜率的计算公式.已知两点坐标，（），则直线的斜率，所以我们可以直接将点和的坐标代入该公式来求解直线的斜率.
2．【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】 因为向量，，且，
则，解得，
故答案为：C.
【分析】空间向量平行的性质是：若两个空间向量，平行，则存在实数，使得，也就是对应坐标成比例，即（不为），所以我们可以根据这个性质，列出关于和的方程，进而求解.
3．【答案】C
【知识点】向量的模；空间向量的加减法
【解析】【解答】解：已知空间向量，.
根据向量加法的三角形法则，将对应坐标相加，.
根据空间向量模长公式（其中为向量坐标），可得：.
故答案为：C.
【分析】先依据向量加法的三角形法则，求出的坐标，再运用空间向量模长公式计算其模长.
4．【答案】C
【知识点】直线的斜率；直线的截距式方程
【解析】【解答】 由题意可知，直线的斜率为，
又因为该直线在轴上的截距是，故直线的方程为.
故答案为：C.
【分析】要确定直线的方程，首先回忆直线的斜截式方程（其中是斜率，是在轴上的截距），所以需要先根据倾斜角求出斜率，再结合已知的轴截距，从而写出直线方程
5．【答案】A
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】解： 圆的方程可化为，圆心的坐标是.
故答案为：A.
【分析】通过配方法将圆的一般方程转化为标准方程，其中就是圆心坐标.
6．【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】 因为椭圆的右焦点坐标是，长轴长是，
则，可得，所以，该椭圆的标准方程为.
故答案为：A.
【分析】要确定椭圆的标准方程，需先明确椭圆的基本性质.对于椭圆，长轴长为，右焦点坐标为，且满足.所以我们可以根据已知的长轴长和右焦点坐标，先求出和的值，再利用求出，进而得到椭圆的标准方程.
7．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】设与的夹角为，所以，
又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】要计算两个空间向量的夹角，可依据空间向量夹角的余弦公式：对于空间向量和，它们夹角的余弦值，然后根据的值以及来确定夹角的大小.
8．【答案】D
【知识点】直线的斜率；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：由直线方程，可知直线过定点，
，，
作出示意图如图所示：直线与线段相交，
则可得或，解得或，
所以的取值范围是.
故选：D.
【分析】由直线，得到直线过定点，再由斜率公式，分别求得，，数形结合，即可求得实数的取值范围，得到答案.
9．【答案】A,D
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：已知平面平面，是平面的法向量，所以平面的法向量与平行.
选项A：向量，因为，所以该向量与平行，是平面的法向量.
选项B：向量，假设存在实数，使得，则，
由得，代入，左边为，右边为，成立；代入，左边为，不成立，所以该向量与不平行，不是平面的法向量.
选项C：向量，假设存在实数，使得，则，
由得，代入，左边为，不成立，所以该向量与不平行，不是平面的法向量.
选项D：向量，因为，所以该向量与平行，是平面的法向量.
综上，平面的法向量可能为选项A、D中的向量.
故答案为：AD.
【分析】两个平行平面的法向量是平行的.所以平面的法向量应该与平面的法向量平行，即平面的法向量可以表示为（为非零实数）.我们需要逐一分析选项中的向量是否能表示为的形式，从而确定哪些是平面的法向量.
10．【答案】C,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜截式方程；直线的两点式方程
【解析】【解答】解：选项A：过点的直线，当直线斜率不存在时，方程为，并非，所以A错误.
选项B：直线，其斜率，但倾斜角的范围是，当时，倾斜角不是，所以B错误.
选项C：因为，，则直线的方程可化为，故直线的斜率为，该直线在轴上的截距为，
作出直线的图象如下图所示：
由图可知，当，时，直线不经过第三象限，C正确；
选项D：当直线过，时，若直线斜率存在且不为，两点式方程为，
交叉相乘可得；
当直线与轴垂直时，，代入方程左边为，右边为，
若，则，不符合，实际当直线与轴垂直时，方程变为，即，成立；
当直线与轴垂直时，，同理可验证方程成立.所以D正确.
故答案为：CD.
【分析】本题主要考查直线方程的相关知识，包括直线的斜截式、倾斜角、一般式化为斜截式分析直线经过的象限以及两点式方程.需要对每个选项逐一分析，根据直线方程的不同形式和性质来判断对错.
11．【答案】C,D
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：选项A：圆心到直线（即）的距离.弦长，A错误.
选项B：原点到圆心的距离为，圆上点到原点的最大距离为，则的最大值为，B错误.
选项C：设，直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离.两边平方得，展开得，移项化简得，即，解得，所以的最大值为，C正确.
选项D：设，即，直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值为，D正确.
故答案为：CD.
【分析】本题围绕圆（圆心，半径），结合直线与圆的位置关系，分析各选项.对于直线被圆截得的弦长，用圆心到直线距离和勾股定理；是圆上点到原点距离的平方，用两点间距离；是圆上点与原点连线的斜率，可设为直线方程，均通过直线与圆有公共点时圆心到直线距离不大于半径来求解.
12．【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：将直线两边同时除以，得到.此时两条直线与，、的系数相同，符合两平行直线间距离公式的使用条件.
根据距离公式，，，，，则距离.
故答案为：.
【分析】首先需要将两条直线的方程化为、系数相同的形式，然后运用两平行直线间的距离公式（其中直线方程为和）来求解.
13．【答案】15或
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，对于直线和，平行的条件是.
这里，，，，所以，解得.同时，即.
此时，将两边同时除以，化为.
根据两平行直线和间的距离公式，已知与间的距离为，则.
即，两边同乘得.则或.
当时，，解得；
当时，，解得.
当，时，；
当，时，.
所以的值为或.
故答案为：15或.
【分析】本题先依据两直线平行的条件求出的值，再将两条直线方程化为、系数相同的形式，最后利用两平行直线间的距离公式求出的值，进而计算.
14．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【解答】 设圆心到直线的动点的距离为，
根据点到直线距离公式，.
因为，是圆的切线，所以（其中）.
又因为是直角三角形，由勾股定理可得，即.
的周长为.
因为是圆的弦，且和全等，所以.
根据三角形面积公式，（其中是圆的半径），
可得，所以，
则的周长.
因为与均在上单调递增，
所以当时，周长取得最小值. 最小值为.
故答案为：.
【分析】本题需要先明确圆的基本性质，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，确定点到圆心的最短距离.再根据切线的性质得出切线长、，结合三角形面积公式求出弦长，进而得到的周长表达式，最后根据函数单调性求出最小值.
15．【答案】（1）解：由题可知，所求直线斜率为3，故方程为，整理得.
（2）解：由条件可得斜率，故方程为：，整理得：
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）先明确平行直线斜率关系，再用点斜式推导；
（2）先算两点斜率，再结合点斜式转化，确保解题思路清晰且计算过程完整。
（1）由题可知，所求直线斜率为3，故方程为，整理得.
（2）由条件可得斜率，故方程为：，
整理得：
16．【答案】（1）解：当即时，直线的方程为，不满足题意；
当，即时，令得，令，得，
由截距相等得，解得或，
当时，直线的方程为，
当时，直线的方程为，
故综上所述，所求直线的方程为或．
（2）解：由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、，
所以，解得，
所以的面积，
由题意知，化简得，解得或，均满足条件，
所以或．

【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程
【解析】【分析】（1）核心是利用直线在坐标轴上截距的定义，分情况讨论直线斜率是否存在（即是否为），通过令、求出截距，再根据截距相等列方程求解.
（2）先确定直线在、轴正半轴有截距的条件，求出截距表达式，结合三角形面积公式得到关于的方程，进而求解的值，整个过程围绕直线截距与三角形面积的关系展开.
（1）当即时，直线的方程为，不满足题意；
当，即时，令得，令，得，
由截距相等得，解得或，
当时，直线的方程为，当时，直线的方程为，
故综上所述，所求直线的方程为或．
（2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、，
所以，解得，
所以的面积，
由题意知，化简得，解得或，均满足条件，
所以或．
17．【答案】（1）证明：由点分别为棱的中点，得，又平面，平面，所以平面ADE.
（2）解：以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
设平面的法向量为，则，取，得，
由平面，得平面的一个法向量为，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）借助三角形中位线定理得到线线平行，再依据线面平行的判定定理，由且平面，平面，完成平面的证明.
（2）通过建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，求出两个平面的法向量，最后利用空间向量的夹角公式计算出平面与平面所成角的余弦值，将几何问题转化为代数计算问题.
（1）由点分别为棱的中点，得，又平面，平面，
所以平面ADE.
（2）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
设平面的法向量为，则，取，得，
由平面，得平面的一个法向量为，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：设圆心为，因为圆过点，，
则，解得：，则半径，
则圆的方程为：.
（2）解：圆心到直线的距离为，
则.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）利用圆的标准方程形式，结合圆心在直线上的条件设出圆心坐标，再根据圆过两点、，利用两点到圆心距离相等（都等于半径）列方程，求解出圆心和半径，从而确定圆的方程.
（2）先求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式（弦长，其中为圆半径，为圆心到直线的距离），计算出直线被圆截得的弦长.
（1）设圆心为，因为圆过点，，则
，解得：，
则半径，
则圆的方程为：.
（2）圆心到直线的距离为，
则.
19．【答案】（1）证明：点是的中点，
因为，所以，
又因为底面，底面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
由，，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以，所以四面体为鳖臑；
（2）解：如图，分别以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，则，
则，
设平面一个法向量为，
则，令，则，
所以平面一个法向量为，
设平面一个法向量为，
则，令，则，
所以平面一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先确定点为中点，然后通过线面垂直的判定与性质，证明平面、平面，进而得出四面体的四个角为直角，证明其为鳖臑.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再利用空间向量的夹角公式，计算出两个平面夹角的余弦值，将几何问题转化为向量的代数运算.
（1）点是的中点，
因为，所以，
又因为底面，底面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
由，，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以，所以四面体为鳖臑；
（2）如图，分别以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，则，
则，
设平面一个法向量为，
则，令，则，
所以平面一个法向量为，
设平面一个法向量为，
则，令，则，
所以平面一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
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