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2025北京首都师大苹果园中学初三（上）期中
数 学
班级 姓名 考号________________
考试时间：120分钟 满分：100分
第一部分 选择题
选择题（本题共16分，每小题2分）
下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如果()，那么下列比例式中正确的是( )
A. B. C. D.
2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，1，5 B．2，1，－5 C．2，0，－5 D．2，0，5
3. 将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在平面直角坐标系中，B是反比例函数
的图象上的一点，则矩形OABC的面积为（ ）
A. B. C. D.
5 .如图，在中，，且DE分别交AB，AC于点D，E，
若，则△和△的面积之比等于
A. B. C. D.
6.在□ABCD中，是上一点，交于点，若，，则的长为( )
A. B.
C. D.
7. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：
… …
… …
下列结论：
①抛物线开口向下； ②当时，随的增大而减小；
③抛物线的对称轴是直线； ④函数的最大值为2.
其中所有正确的结论为
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
8. 如右图，在△中，，，.点是边上的一个动点，过点作⊥交直角边于点，设为，△的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
第二部分 非选择题
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式_________
10．在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点A（a，2）和B（b，﹣2），则a+b的值为 　 　．
11. 已知抛物线与 与x轴的两个交点的坐标分别是（－3，0），（2，0），则方的解是_______________.
12. 已知点与点，两点都在反比例函数的图象上，且<<，那么___ .（填“＞”，“＝”，“＜”）
13．如图所示的网格是正方形网格，△和△的顶点都是网格线交点，那么∠∠ °．
14．两个函数和（abc≠0）的图象如图所示，请直接写出关于x的不等式的解集 ．
15.如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点M. 某同学得出以下结论：①；②△ADE ∽△ABC；③；④. 其中结论正确的是：________________（只填序号）.
16．在平面直角坐标系中，抛物线
的顶点为，且经过点，其部分图象如图
所示，下面四个结论中，
①；
②；
③若点在此抛物线上，则；
④若点在此抛物线上且，则．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 如图，，分别是△的边，上的点，．
求证：△∽△．
18．已知二次函数．
（1）将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标；
（2）求此函数图象与坐标轴交点的坐标；
19．已知二次函数的图象过点和．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围．
20. 已知某蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的
电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函
数关系，即，其图象如图所示．
（1）求的值；
（2）若用电器的电阻为，则电流
为 ；
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不得超过，那么用电器的电阻应控制的范围是 ．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点D在AB上，CA= CD，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E．
（1）求证：△ABC∽△DBE；
（2）如果BC = 5，BE= 3，求AC的长．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标．
23. 某超市按每袋20元的价格购进某种软糖，在销售过程中发现，该种软糖每天的销售量w(袋)与销售单价x(元)满足(20≤x≤40)，如果销售这种软糖每天的利润为y（元）.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当软糖销售单价定为每袋多少元时，销售这种软糖每天的利润最大？最大利润是多少？
24. 为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线 是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为米时，达到最大高度 米的处．小丁此次投掷的成绩是多少米？
25．阅读材料：
工厂加工某种新型材料，首先要将材料进行加温处理，使这种材料保持在一定的温度范围内方可进行继续加工．
处理这种材料时，材料温度y（℃）是时间x（min）的函数．
下面是小明同学研究该函数的过程，把它补充完整：
（1）在这个函数关系中，自变量x的取值范围是 ．
（2）下表记录了17min内10个时间点材料温度y随时间x变化的情况：
时间x（min） 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 …
温度y（℃） 15 24 42 60 m …
上表中m的值为 ．
（3）如下图，在平面直角坐标系xOy中，已经描出了上表中的部分点．根据描出的点，画出该函数的图象．
（4）根据列出的表格和所画的函数图象，可以得到，当0≤x≤5时，y与x之间的函数表达式为 ，当x＞5时，y与x之间的函数表达式为 ．
（5）根据工艺的要求，当材料的温度不低于30℃时，方可以进行产品加工，在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工的时间长度为 min．
26. 二次函数的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B，点B在二次函数的图象上．
（1）求点B的坐标（用含的代数式表示）；
（2）二次函数的对称轴是直线　 　；
（3）已知点（，），（，），（，）在二次函数的图象上．若， 比较， ，的大小，并说明理由．
27．如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝．
（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的长；
（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明.
28．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数， 对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数. 在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界. 例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2.
（1）函数①和②（）中是有上界函数的为 （只填序号即可），其上确界为 ；
（2）如果函数（）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过，求a的取值范围；
（3）如果函数（）是以3为上确界的有上界函数，求的取值范围；
参考答案
一、选择题
1-4 ABDB 5-8 BCAB
二、填空题
9. （答案不唯一） 10. 0 11. -3, 2 12.
13. 14. 15. ①②④ 16. ①③
三、解答题
17.证明： ∵， ………….………..……….2分
又∵， ………….………..……….4分
∴△∽△. ………….………..……….5分
18.解：（1）
.
顶点坐标为. …………… 2分
（2）令，得
.
解得，.
∴此函数图象与坐标轴交点的坐标为，，（0，-3）．……… 5分
19．解：（1）∵二次函数的图象过点和，
∴
解得
∴这个二次函数的解析式为. ………………………… 3分
（2）. ………………………… 5分
20. （1）∵反比例函数的图象经过点，
∴． ………………………… 2分
（2）． ………………………… 3分
（3）． ………………………… 5分
21（1）证明：∵ CA=CD，
∴ ∠A =∠ADC ．
∵∠ADC =∠BDE，
∴ ∠A =∠BDE ．……………………………………………………………1分
∵∠ACB = 90°，BE⊥CD，
∴ ∠ACB =∠E = 90°．…………………………………………………………2分
∴ △ABC∽△DBE．…………………………………………………………3分
（2）解：在Rt△BCE中，∠E = 90°，BC = 5，BE = 3．
∴ 由勾股定理得 CE=4．…………………………………………………………4分
∵ △ABC∽△DBE，
∴ ．
∵ AC=DC，
∴ ．
∴ ．………………………………………………………………………5分
22. 解：（1）由点在反比例函数图象上，
得 ， ………………………………………1分
反比例函数的表达式为，
将代入，
得 ，即，…………………………………2分
将A、B点的坐标代入一次函数表达式中，
得，解得：，
一次函数的表达式为；……………………………3分
（2）点的坐标为或．…………………………5分
23. （1）…………………….…………2分
.
（2）.
∵, a =-2<0,
∴当时，. ……………………………….………5分
答：当软糖销售单价定为每袋30元时，销售这种软糖每天的利润最大，最大利润为
200元. …………………………….………………………6分
24. 解法一：建立平面直角坐标系，如图1所示．
则点的坐标为，顶点为．
设抛物线的表达式为， ………………………… 2分
∵点在抛物线上，
∴．
解得．
∴抛物线的表达式为．
………………………… 4分
令，则，
解得，（不合实际，舍去）．……………………………….5分
即．
答：小丁此次投掷的成绩是米． ………………………… 6分
解法二：以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图2所示．
则点的坐标为，，．
设抛物线的表达式为， ………………………… 2分
∵点在抛物线上，
∴．
解得．
∴抛物线的表达式为．
………………………… 4分
令，则 ，
解得，（不合实际，舍去）．………………………… 5分
∴
答：小丁此次投掷的成绩是米． ………………………… 6分
25.（1） ……1分
（2）20 ………2分
（3）略 ……..3分
（4） ……..5分
（5） ……..6分
26.解：（1）∵令，
∴，
∴点A的坐标为（0，）， ………………… 1分
∵将点A向右平移4个单位长度，得到点B，
∴点B的坐标为（4，）. ………………… 2分
（2） ………………… 3分
（3）∵对称轴是直线，，
∴点（，），（，）在对称轴的左侧，
点（，）在对称轴的右侧， ………………… 4分
∵，
∴，
∴， ………………… 5分
， ………………… 6分
∵，
∴. ………………… 7分
27. （1）解： ∵∠BOE＝∠BAO，，
∴△OBE∽△ABO， ………………… 1分
∴， ………………… 2分
∵AB＝，E为AB的中点，
∴
∴，
∴（舍负）. ………………… 3分
（2）线段OE和CD的数量关系是.
证明：延长OE到点F，使得，连接AF，FB. ………………… 4分
∵
∴四边形AFBO是平行四边形， ………………… 5分
∴∥，，
∴，
∵∠AOB+∠COD＝，
∴，
∵OB＝OC，
∴，
在△AOF和△DOC中，
，
∴△AOF ≌△DOC， ………………… 6分
∴
∴. ………………… 7分
证法二：延长AO到点H，使得，连接BH. 或延长BO到点G，使得，连接AG.
28.解：（1）②；1 ……………………2分
（2）∵在中 y 随 x 的增大而减小，
∴上确界为2-a，即2-a= b ，
又 b > a ，所以2-a> a ，解得 a <1
∵函数的最小值是2-b，
∴2-b≤2a+1，得a≤2a+1，解得 a ≥-1，
综上所述：-1≤a<1 ……………………5分
(3）函数的对称轴为 x = a ，
①当a≤3时，函数的上确界是25-10a+2=27-10a
∴27-10a3
解得 ，
②当 a >3时，函数的上确界是1-2a+2=3-2a
∴3-2a3，解得 ，
综上所述： ……………………7分

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