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林口中学九年级数学2025-2026年秋期期中考试题
一、选择题（36分）
1.如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的范围是( )
A. B. 且 C. 且 D.
3.将抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线是( )
A. B. C. D.
4.如图，点A是上一点，AB切于点A，连接OB交于点C，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
5.下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A. B. C. D.
6.如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数分别为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”.大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆设这批椽有x株，则符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
8.如图，已知直线，根据图象可知不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，的半径为1，点A为上一点，如果，那么BC的长是( )
A.
B.
C. 2
D. 3
10.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，若，OH的长为，则( )
A. 24
B. 12
C. 8
D. 6
11.如图，在一块四边形ABCD空地中植草皮，测得，，，，且若每平方米草皮需要200元，则需要元投入．
A. 16800 B. 7200 C. 5100 D. 无法确定
12.抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：
①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤m为任意实数时，其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题（12分）
13.一元二次方程的解是______.
14.已知圆锥的母线长为5，底面圆半径为4，则此圆锥的侧面积为 结果保留
15.的相反数是 .
16.如图，，，，则 .
三、解答题（52分）
17.如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中：
画出绕点A顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标；
计算点B旋转到点位置时，经过的路径弧的长度．
18.如图，点A、B、C、D都在上，，
求的度数；
求的度数；
19.某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元其销售量就减少20件．
问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
当售价定为多少时，获得最大利润；最大利润是多少？
20.先化简，再求值：，其中
21.为调查某校初二学生一天零花钱的情况，随机调查了初二级部分学生的零钱金额，并用得到的数据绘制了如下统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题：
本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图1中m的值是______.
本次调查获取的样本数据的平均数、众数、中位数；
根据样本数据，估计该年级300名学生每天零花钱不多于10元的学生人数．
22.如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为1时，甲获胜；数字之和为2时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．
用画树状图或列表法求乙获胜的概率；
这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？对谁有利？请判断并说明理由．
23.已知关于x的方程
求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
若抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；
若点与在中抛物线上 点P、Q不重合，且，求代数式的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B.图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D.图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：
中心对称图形绕某一点旋转后的图形与原来的图形重合，轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合，据此逐一判断出既是轴对称图形又是中心对称图形的是哪个即可．
本题考查的是中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握两者的性质是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：关于x的一元二次方程没有实数根，
且，即且，
，
故选：
若一元二次方程没有实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为
本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于k的不等式是解答此题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线是：，即
故选：
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：切于点A，
，
，
，
，
，
故选：
根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、三角形内角和定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C符合题意；
，
选项D不符合题意；
故选：
先逐一计算各选项中一元二次方程根的判别式进行判断、辨别．
此题考查了运用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
6.【答案】B
【解析】解：，，
，
是由绕A点旋转得到的，
为旋转角，
旋转角的度数为
故选：
首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解．
此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角．
7.【答案】C
【解析】解：依题意，得：
故选：
根据单价=总价数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：根据图象可知当时，直线落在x轴下方，
即不等式的解集是
故选：
找出直线落在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9.【答案】A
【解析】解：如图，作于点D，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
故选：
由于，根据圆周角定理可求，又，根据垂径定理可知，在中，求出OD的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出BC的长．
本题主要考查了圆周角定理以及垂径定理的知识，解题的关键是求出BD的长．
10.【答案】B
【解析】解：四边形ABCD是菱形，
，，
，，
，，
，
故选：
根据菱形的性质得出，，，求出AC，BD，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出答案．
本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，注意：菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于对角线积的一半．
11.【答案】B
【解析】解：连接AC，
因为，，，，，
所以，
，
，
，
所以，
又因，
，
，
，
，
所以为直角三角形，
因此，
，
，
，

故费用为：元，
故选：
连接AC，可得与均为直角三角形，进而可求解四边形的面积．
本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，会用勾股定理逆定理求三角形是直角三角形．
12.【答案】B
【解析】解：抛物线与x轴有2个交点，
，
，故①正确；
抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，
方程的两个根是，，故②正确；
，即，
当时，，即，
，
即，故③错误；
抛物线与x轴的两点坐标为，，
当时，x的取值范围是，故④错误；
当时，函数有最大值，
为任意实数时，，
，故⑤正确；
所以其中结论正确有①②⑤共3个，
故选：
利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，则可对②进行判断；由对称轴方程得到，然后根据时函数值为0可得到，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于；抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
13.【答案】，
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：，
用直接开方法解方程即可．
本题考查一元二次方程-直接开方法，熟练掌握直接开方法解一元二次方程是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：依题意知母线长，底面半径，
则由圆锥的侧面积公式得
故答案为：
根据圆锥的底面半径为4，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫相反数，可以直接得到答案.
【解答】
解：的相反数是
16.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
故答案为：
根据三角形外角性质得出，再利用平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
17.【答案】解：如图所示，即为所求，其中，，
，，
弧的长度
【解析】分别作出点B、C绕点A顺时针旋转所得对应点，再与点A首尾顺次连接即可得；
利用弧长的公式求解可得．
本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及扇形的面积公式．
18.【答案】解：点A、B、C、D都在上，，
，
，
，
的度数为；
连接BD，
，
，
，
，

【解析】根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出的度数；
连接BD，根据圆内接四边形的性质便可求得结果．
此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识，熟练掌握和运用这些定理是解决问题的关键．
19.【答案】解：设每件售价定为x元时，才能使每天利润为640元，
，
解得：，
答：应将每件售价定为16元或12元时，能使每天利润为640元．
设利润为y：
则
，
当售价定为14元时，获得最大利润；最大利润为720元．
【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及配方法的应用，利用配方法求最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．
根据等量关系“利润售价-进价销量”列出方程．
根据中的函数关系式求得利润最大值．
20.【答案】解：原式
，
当时，
原式
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21.【答案】，
，
由图可知众数为10，
中位数为
人，
答：估计该年级300名学生每天零花钱不多于10元的学生人数为120人．
【解析】根据5元的人数和所占的百分比，可以求得本次抽查的人数，然后即可计算出m的值；
根据条形统计图中的数据，可以求得相应的平均数，众数，中位数；
根据统计图中的数据，可以求得该年级300名学生每天零花钱不多于10元的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：列表：
由列表法可知：会产生12种结果，它们出现的机会相等，其中和为2的有2种结果，
；
不公平，
理由：，
，
游戏不公平．
【解析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出乙获胜的概率即可；
根据概率公式求出甲乙获胜的概率，比较即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：当时，原方程化为，此时方程有实数根
当时，原方程为一元二次方程．
此时方程有两个实数根．
综上，不论m为任何实数，方程 总有实数根．
令，则
解得 ，
抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，
抛物线的解析式为
点与在抛物线上，
，
可得
即
点P，Q不重合，

【解析】分别讨论当和的两种情况，对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；
令，则 ，求出两根，再根据抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，求出m的值；
点与在抛物线上，求出和，和相等，求出 ，然后整体代入求出代数式的值．
本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系，此题难度不大，第三问需要整体代入．

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