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第五章 复 数
5.3 实系数一元二次方程的解法 一课一练
选择题
1．方程x2 4x+5=0的根的情况是（　　）
A.两个不相等的实数根
B.两个相等的实数根
C.一对共轭复数根
D.没有实数根也没有复数根
2．方程2x2 6x+5=0的两个根为（　　）
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
3．若实系数方程x2+mx+n=0有一个根为2 3i，则另一个根为（　　）
A.2+3i
B.-2+3i
C.-2-3i
D.3+2i
4．方程x2 2x+10=0的两个根之和与积分别为（　　）
A.2，10
B.-2，10
C.2，-10
D.-2，-10
5．若方程x2+(m 2)x+(5 m)=0有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A. 4或 1
B.4或 1
C. 4或1
D.4或1
6．方程x2+2x+k=0有一对共轭复数根，则k的取值范围是（　　）
A.k>1
B.k<1
C.k≥1
D.k≤1
填空题
7．实系数一元二次方程x2+4x+5=0的两个根为 。
8．若实系数方程x2 mx+10=0有一个根为3+i，则实数m= 。
解答题
9．求解实系数一元二次方程3x2 6x+5=0的两个根。
10．已知实系数一元二次方程x2+mx+n=0（m,n∈R）有一个根为1 4i，求实数m,n的值，并计算两根的平方和+。
第五章 复 数
5.3 实系数一元二次方程的解法 一课一练（解析版）
一、选择题
1．方程x2 4x+5=0的根的情况是（　　）
A.两个不相等的实数根
B.两个相等的实数根
C.一对共轭复数根
D.没有实数根也没有复数根
【答案】C
【分析】判别式与根的关系。
【详解】核心依据：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），通过判别式Δ=b2 4ac判断根的类型；复数范围内，实系数一元二次方程的虚根必为共轭复数对。
计算判别式：方程x2 4x+5=0中，a=1，b= 4，c=5，则：Δ=( 4)2 4×1×5=16 20= 4<0判别式小于0，故无实数根。
分析复数根性质：因方程系数为实数，虚根成对出现且互为共轭复数。求解方程可得根为2+i和2 i，是一对共轭复数。
对于A中，不符合上述求解结果，故A错误；
对于B中，不符合上述求解结果，故B错误；
对于C中，符合上述求解结果，故C正确；
对于D中，不符合上述求解结果，故D错误.
故选：C.
2．方程2x2 6x+5=0的两个根为（　　）
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
【答案】A
【分析】复数范围内的求根公式。
【详解】核心依据：实系数一元二次方程求根公式——对于ax2+bx+c=0（a≠0），根为x=，其中判别式Δ=b2 4ac；当Δ<0时，=i（i为虚数单位）。
计算判别式：方程2x2 6x+5=0中，a=2，b= 6，c=5，则：Δ=( 6)2 4×2×5=36 40= 4。
代入求根公式：x==。
对于A中，符合上述求解结果，故A正确；
对于B中，不符合上述求解结果，故B错误；
对于C中，不符合上述求解结果，故C错误；
对于D中，不符合上述求解结果，故D错误.
故选：A.
3．若实系数方程x2+mx+n=0有一个根为2 3i，则另一个根为（　　）
A.2+3i
B.-2+3i
C.-2-3i
D.3+2i
【答案】A
【分析】共轭虚根定理。
【详解】核心依据：实系数一元二次方程的虚根成对定理——若方程有一个虚根a+bi（a,b∈R，b≠0），则其共轭复数a bi必为另一个根。
应用定理：已知方程x2+mx+n=0（系数为实数）有一个根为2 3i，则其共轭复数2+3i即为另一个根。
对于A中，符合上述求解结果，故A正确；
对于B中，不符合上述求解结果，故B错误；
对于C中，不符合上述求解结果，故C错误；
对于D中，不符合上述求解结果，故D错误.
故选：A.
4．方程x2 2x+10=0的两个根之和与积分别为（　　）
A.2，10
B.-2，10
C.2，-10
D.-2，-10
【答案】A
【分析】韦达定理。
【详解】核心依据：韦达定理（根与系数的关系）——对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），无论根是实数还是虚数，均满足：两根之和= ；两根之积=。
代入计算：方程x2 2x+10=0中，a=1，b= 2，c=10。两根之和：-=2；两根之积：=10。
对于A中，符合上述求解结果，故A正确；
对于B中，不符合上述求解结果，故B错误；
对于C中，不符合上述求解结果，故C错误；
对于D中，不符合上述求解结果，故D错误.
故选：A.
5．若方程x2+(m 2)x+(5 m)=0有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A. 4或 1
B.4或 1
C. 4或4
D.4或1
【答案】C
【分析】判别式与参数关系。
【详解】核心依据：一元二次方程有两个相等实数根 判别式Δ=0。判别式公式：Δ= b-4ac。
代入系数计算：方程x +(m 2)x+(5 m)=0中，a=1，b=m 2，c=5 m。
Δ=(m 2) -4×1×(5 m)=m -4m+4-20+4m=m -16。解方程求m：令Δ=0：m -16=0 m=±4。
对于A中，不符合上述求解结果，故A错误；
对于B中，不符合上述求解结果，故B错误；
对于C中，符合上述求解结果，故C正确；
对于D中，不符合上述求解结果，故D错误.
故选：C.
6．方程x2+2x+k=0有一对共轭复数根，则k的取值范围是（　　）
A.k>1
B.k<1
C.k≥1
D.k≤1
【答案】A
【分析】判别式与根的关系。
【详解】核心依据：实系数一元二次方程有共轭复数根 判别式Δ<0。判别式公式：Δ=b -4ac。
代入系数计算：方程x +2x+k=0中，a=1，b=2，c=k。Δ=2 -4×1×k=4-4k。
求解k的取值范围：令Δ<0：4-4k<0 k>1。
对于A中，符合上述求解结果，故A正确；
对于B中，不符合上述求解结果，故B错误；
对于C中，不符合上述求解结果，故C错误；
对于D中，不符合上述求解结果，故D错误.
故选：A.
二、填空题
7．实系数一元二次方程x2+4x+5=0的两个根为 。
【答案】 2+i和 2 i
【分析】复数范围内实系数一元二次方程的求根。
【详解】计算判别式：方程x2+4x+5=0中，a=1，b=4，c=5。判别式Δ=b2 4ac=42 4 15=16 20= 4。因为Δ<0，所以方程有一对共轭复数根。
求根公式计算：根的公式：x=。代入值：x== 2±i.
故答案： 2+i和 2 i.
8．若实系数方程x2 mx+10=0有一个根为3+i，则实数m= 。
【答案】6
【分析】共轭虚根定理与韦达定理的应用。
【详解】利用共轭复根定理：实系数方程的虚根成对出现，互为共轭；已知一个根为3+i，则另一个根为3-i。
应用韦达定理求m：方程：x -mx+10=0；两根之和=m=(3+i)+(3-i)=6。因此m=6.
故答案：6.
三、解答题
9．求解实系数一元二次方程3x2 6x+5=0的两个根。
【答案】两个根为1±i。
【分析】复数范围内实系数一元二次方程的求解流程。
【详解】计算判别式：方程3x2 6x+5=0中，a=3，b= 6，c=5。判别式Δ=b2 4ac=( 6)2 4×3×5=36 60= 24。因Δ<0，方程有一对共轭复数根。
代入求根公式：实系数一元二次方程求根公式：x=。其中=i=2i（i为虚数单位）。代入得：x==1±i。
故答案：两个根为1±i.
10．已知实系数一元二次方程x2+mx+n=0（m,n∈R）有一个根为1 4i，求实数m,n的值，并计算两根的平方和+。
【答案】m= 2，n=17；两根的平方和= 30。
【分析】共轭虚根定理、韦达定理的应用及代数式变形。
【详解】确定另一根：实系数方程的虚根成对出现，互为共轭；已知一根为1 4i，则另一根为1+4i。
用韦达定理求 m,n：方程：x +mx+n=0；
两根之和：(1 4i)+(1+4i)=2= m m= 2；两根之积：(1 4i)(1+4i)=1+16=17=n n=17。
计算两根的平方和：平方和公式：+=(x1+x2) 2x1x2=2 2×17=4 34= 30。
故答案：m= 2，n=17；两根的平方和= 30.

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