资源简介

浙江省慈溪市2024-2025学年高二上学期期末测试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二上·慈溪期末）已知直线l过点和，则l的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解： 易知直线l的斜率为，
设l的倾斜角为，则，由，可得.
故答案为：D.
【分析】先根据两点坐标求出直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的正切关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角.
2．（2025高二上·慈溪期末）已知函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的概念；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解： 易知，
所以.
故答案为：A.
【分析】先明确导数的定义，即函数在某点的导数等于该点处的极限，再利用指数函数的导数公式求出的导数，最后代入计算.
3．（2025高二上·慈溪期末）已知等比数列的前n项和为，若，，则（　　）
A．51 B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】 记公比为，则，即，所以，
从而，
故答案为：C.
【分析】先根据等比数列的通项公式求出公比，再利用等比数列的前项和公式求出.
4．（2025高二上·慈溪期末）已知，，，，则在上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解： 已知，，，.
；
.
计算和，
.
根据投影向量公式，则投影向量为.
故答案为：A.
【分析】先求出向量和的坐标，再计算它们的数量积以及的模长的平方，最后根据投影向量的公式进行计算.
5．（2025高二上·慈溪期末）已知圆，圆，若圆与圆恰有三条公切线，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解： 圆的圆心为，半径为，
圆的标准方程为，则，可得，
圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，且，
由题意可得，即，解得.
故答案为：B.
【分析】两圆有三条公切线时外切，故需先求两圆的圆心、半径，再利用外切时“圆心距=半径和”列方程求.
6．（2025高二上·慈溪期末）已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】异面直线所成的角；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设，因为，，所以，
，
所以，
，
，
设向量与的夹角为，则
∴直线和夹角的余弦值为．
故答案为： D.
【分析】首先选取合适的空间向量基底（如以正四面体的三条棱对应的向量为基底），将直线对应的向量用基底表示出来，再利用向量的模长公式和数量积公式，结合异面直线夹角的余弦值公式（夹角余弦值等于对应向量夹角余弦值的绝对值）进行计算.
7．（2025高二上·慈溪期末）已知双曲线的左焦点为，一条渐近线方程为，过作这条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 设左焦点为
根据题意可知，所以直线的方程为，如下图所示：
联立，可得，
同理联立，可得，
因此.
故答案为：.
【分析】先利用双曲线的渐近线性质和点到直线的距离公式求出，再通过联立直线方程求出点的坐标，进而求出，最终得到两者的比值.
8．（2025高二上·慈溪期末）已知斐波那契数列满足，.卢卡斯数列满足，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解： 由已知，，
，
因此，
所以，从而，
令，则.
故答案为：.
【分析】本题需要通过递推关系推导斐波那契数列与卢卡斯数列的联系，从而将用卢卡斯数列的项表示.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二上·慈溪期末）已知曲线，则（　　）
A．当时，C是半径为的圆
B．当时，C是焦点在x轴上的椭圆
C．当时，C是焦点在x轴上的双曲线
D．当时，C是两条直线
【答案】A,C
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解： 对于A，当时，是半径为的圆，A正确；
对于B，取，，即，曲线是焦点在轴上的椭圆，B错误；
对于C，当时，是焦点在x轴上的双曲线，C正确；
对于D，当时，是一条直线，D错误.
故答案为：.
【分析】本题需根据圆、椭圆、双曲线的方程特征，对参数的不同取值范围逐一分析曲线的类型.
10．（2025高二上·慈溪期末）已知数列的前n项和为，若，且对任意m，，都有，则（　　）
A． B．
C． D．数列是递增数列
【答案】A,B,D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列的递推公式
【解析】【解答】解： 选项A：令，则，A正确.
选项B：令，，则.
再令，，得，即.
代入上式得，B正确.
选项C：令，，则，即，C错误.
选项D：令，得，所以是首项为，公差为的等差数列，，，则，显然是递增数列，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用赋值法代入递推式，分别分析各选项；再通过令推出数列的公差，确定其为等差数列，进而分析前项和与数列的单调性.
11．（2025高二上·慈溪期末）如图，已知正方体的棱长为4，P，Q分别是线段，上的动点，M是线段的中点，且满足，过作平面，使得，则（　　）
A．当时，平面
B．当P为线段中点时，直线到平面的距离为
C．直线与平面所成角的最大角的正弦值为
D．的最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解： 构建如下图示的空间直角坐标系，
A：，则，且，又，
所以，可得，则，此时，
又，则，，，
显然、，则平面不成立，错；
B：且，，又，则，可得，
所以，则，而，
若是的一个法向量，则，
令，则，而，
显然直线到平面的距离，即为到平面的距离，对；
C：令且，且，，
则，可得，且，
由，，若是面的一个法向量，
所以，令，则，
所以直线与平面所成角的正弦值，
要使夹角最大，即最大，而在圆的四分之一圆弧上，
令且，则，
所以或时，最大，
此时最大正弦值为，对；
D：由C分析，则，
所以，
令且，
则且，
所以的最小值为，对.
故答案为：BCD.
【分析】对选项A，通过向量垂直的条件判断线面垂直是否成立；对选项B，求平面法向量，利用点到平面的距离公式计算线面距离；对选项C，利用线面角的向量公式，结合最值分析求解；对选项D，通过向量数量积的坐标运算，结合圆的参数方程求最值.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高二上·慈溪期末）已知点和直线，则点P到l的距离为　 　.
【答案】3
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解： 易知点P到l的距离为.
故答案为：
【分析】先明确点到直线距离公式的形式，再将点的坐标和直线方程的系数代入公式进行计算.
13．（2025高二上·慈溪期末）已知数列满足，若，，则的前n项积的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：已知①，则②.
用②÷①得：，即，所以数列的周期.
由，，代入①得：，解得.
设的前项积为：当（）时，，
当时，；
当（）时，，
当时，；
当（）时，，最大值为.
综上，的前项积的最大值为.
故答案为：
【分析】本题先通过递推公式推导数列的周期，再根据周期分析前项积的规律，进而求出最大值.
14．（2025高二上·慈溪期末）椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左、右焦点为，，P为椭圆上一点，过P的切线l分别与坐标轴交于M、N两点，若时，（O为坐标原点）的面积取到最小值，则C的离心率为　 　.
【答案】.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解： 由题可知满足，
切线与两坐标轴交点为，如下图所示：
易知的面积为，又，
即，因此，
当且仅当示，即时，等号成立；
又因为，
即，解得；
易知的面积为，
又，
即可得，所以，
可得，所以.
即C的离心率为.
故答案为：
【分析】先求面积最小值的条件，再利用余弦定理和面积法建立与的关系，最后结合椭圆基本关系求离心率.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2025高二上·慈溪期末）已知函数.
（1）若，求；
（2）若在处的切线与直线垂直，求a.
【答案】（1）解：因为，所以.
（2）解：因为，所以，
由题意知，，即，
所以，所以或.
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据导数的四则运算法则求导；
（2）先求函数在某点的导数（即切线斜率），再结合两直线垂直的斜率关系列方程求解.
（1）因为，所以.
（2）因为，所以，
由题意知，，即，
所以，所以或.
16．（2025高二上·慈溪期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明： 因为平面平面，平面平面，，
所以平面，所以；
在中，，，，
所以，
所以，即；
又因为，
所以平面.
（2）解： 由（1）知，平面，，
建立以A为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，
所以，，
设平面的一个平面法向量，
则，即，所以取；
同理可得，平面的一个法向量；
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)通过面面垂直的性质和勾股定理证明线线垂直，再结合线面垂直判定定理证明；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求两个平面法向量，进而求二面角的余弦值.
（1）因为平面平面，平面平面，，
所以平面，所以；
在中，，，，
所以，
所以，即；
又因为，
所以平面.
（2）由（1）知，平面，，
建立以A为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，
所以，，
设平面的一个平面法向量，
则，即，所以取；
同理可得，平面的一个法向量；
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．（2025高二上·慈溪期末）已知直线，圆，点在上，点在上.
（1）若一条光线沿着直线从右上往左下射出，经轴反射后，与相切，求；
（2）若，，求点的坐标，使有最小值，并求出这最小值.
【答案】（1）解：由题意知，入射光线与轴交于点，反射光线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，
因为圆心，所以圆心到反射光线所在直线的距离等于，即.
（2）解： 设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以，
因为，，
所以的最小值等于，
当且仅当点、为线段与直线、圆的交点时，取最小值，
直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，解得，
所以当点时，的最小值等于.
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）先确定反射光线的方程，再根据圆心到反射光线的距离等于半径求解；
（2）利用对称点将折线距离转化为直线距离，结合圆的性质求最小值及对应点坐标.
（1）由题意知，入射光线与轴交于点，反射光线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，
因为圆心，所以圆心到反射光线所在直线的距离等于，即.
（2）设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以，
因为，，
所以的最小值等于，
当且仅当点、为线段与直线、圆的交点时，取最小值，
直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，解得，
所以当点时，的最小值等于.
18．（2025高二上·慈溪期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且.
（1）求C的方程；
（2）若M，N是C上的两个不同动点（M在x轴上方，N在x轴下方），满足.
（ⅰ）求证：直线过定点P；
（ⅱ）设直线的斜率为k，过点P，且斜率为的直线交C于R，S两点，求四边形面积的最小值.
【答案】（1）解：因为，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）解： （ⅰ）设直线的方程为，，，
联立得，显然，
且，，易知，所以；
因为
，
所以或（舍），所以直线过定点.
（ⅱ）设直线的方程为，，，，，如下图所示：
由得，，则，，
所以，
则R，S到直线的距离和
因为直线RS的直线方程为，所以，
所以，
由得，，即，，所以，
所以，
令，，则在上单调递增，
所以当，即时，.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求出，进而得到抛物线方程；
（2）（i）设直线的方程，联立抛物线方程，结合向量数量积求出直线所过定点；（ii）分别求出直线和的弦长及距离，进而得到四边形面积表达式，利用基本不等式求最小值.
（1）因为，所以，所以抛物线C的方程为；
（2）（ⅰ）设直线的方程为，，，
联立得，显然，
且，，易知，所以；
因为
，
所以或（舍），所以直线过定点.
（ⅱ）设直线的方程为，，，，，如下图所示：
由得，，则，，
所以，
则R，S到直线的距离和
因为直线RS的直线方程为，所以，
所以，
由得，，即，，所以，
所以，
令，，则在上单调递增，
所以当，即时，.
19．（2025高二上·慈溪期末）若数列满足：（，且），则称数列为“差增数列”；若对于差增数列，存在整数k，同时满足以下两个条件：①对任意，都有成立；②存在，使得成立，则称数列为差增数列的“下限数列”.
（1）已知数列是差增数列，若，试写出项数为5的差增数列；
（2）已知等差数列是公差为d的正项数列，其前n项和为，等比数列是公比为的非常数数列，且；
（ⅰ）试判断数列是否为“差增数列”，并说明理由；
（ⅱ）若，且，，成等比数列，则是否存在以数列为“下限数列”的差增数列？若存在，求q的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：根据“差增数列”的定义可得，，，，；
（2）解：（ⅰ）因为，则首项，公差，所以，，因为
，
即对任意且恒成立，
故数列为“差增数列”.
（ⅱ）因为，则，且，
所以，所以，
假设存在以数列为“下限数列”的差增数列，
则，而，，所以q的可能取值为2、4，
①若，则，若存在，则其下限数列为，即恒成立，
事实上，当时，，故时不符合；
②若，则，所以
，，
而，所以对任意恒成立，
所以数列是差增数列，令，
则，
当时，，即，当时，，
所以，即，所以，
所以符合，所以数列的下限数列为；
综上所述，存在以数列为“下限数列”的差增数列，此时q的值为4.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据“差增数列”定义和小于20的质数，直接构造项数为5的差增数列；
（2）（i）通过等差数列的通项和前项和公式，计算差值判断数列是否为“差增数列”；（ii）先求出和，再结合“下限数列”和“差增数列”定义，对分类讨论求解.
（1）根据“差增数列”的定义可得，，，，；
（2）（ⅰ）因为，则首项，公差，所以，，
因为
，
即对任意且恒成立，
故数列为“差增数列”.
（ⅱ）因为，则，且，
所以，所以，
假设存在以数列为“下限数列”的差增数列，
则，而，，所以q的可能取值为2、4，
①若，则，若存在，则其下限数列为，即恒成立，
事实上，当时，，故时不符合；
②若，则，所以
，，
而，所以对任意恒成立，
所以数列是差增数列，令，
则，
当时，，即，当时，，
所以，即，所以，
所以符合，所以数列的下限数列为；
综上所述，存在以数列为“下限数列”的差增数列，此时q的值为4.
1 / 1浙江省慈溪市2024-2025学年高二上学期期末测试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二上·慈溪期末）已知直线l过点和，则l的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·慈溪期末）已知函数，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·慈溪期末）已知等比数列的前n项和为，若，，则（　　）
A．51 B． C． D．
4．（2025高二上·慈溪期末）已知，，，，则在上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025高二上·慈溪期末）已知圆，圆，若圆与圆恰有三条公切线，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·慈溪期末）已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·慈溪期末）已知双曲线的左焦点为，一条渐近线方程为，过作这条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·慈溪期末）已知斐波那契数列满足，.卢卡斯数列满足，且，则（　　）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二上·慈溪期末）已知曲线，则（　　）
A．当时，C是半径为的圆
B．当时，C是焦点在x轴上的椭圆
C．当时，C是焦点在x轴上的双曲线
D．当时，C是两条直线
10．（2025高二上·慈溪期末）已知数列的前n项和为，若，且对任意m，，都有，则（　　）
A． B．
C． D．数列是递增数列
11．（2025高二上·慈溪期末）如图，已知正方体的棱长为4，P，Q分别是线段，上的动点，M是线段的中点，且满足，过作平面，使得，则（　　）
A．当时，平面
B．当P为线段中点时，直线到平面的距离为
C．直线与平面所成角的最大角的正弦值为
D．的最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高二上·慈溪期末）已知点和直线，则点P到l的距离为　 　.
13．（2025高二上·慈溪期末）已知数列满足，若，，则的前n项积的最大值为　 　.
14．（2025高二上·慈溪期末）椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左、右焦点为，，P为椭圆上一点，过P的切线l分别与坐标轴交于M、N两点，若时，（O为坐标原点）的面积取到最小值，则C的离心率为　 　.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2025高二上·慈溪期末）已知函数.
（1）若，求；
（2）若在处的切线与直线垂直，求a.
16．（2025高二上·慈溪期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17．（2025高二上·慈溪期末）已知直线，圆，点在上，点在上.
（1）若一条光线沿着直线从右上往左下射出，经轴反射后，与相切，求；
（2）若，，求点的坐标，使有最小值，并求出这最小值.
18．（2025高二上·慈溪期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且.
（1）求C的方程；
（2）若M，N是C上的两个不同动点（M在x轴上方，N在x轴下方），满足.
（ⅰ）求证：直线过定点P；
（ⅱ）设直线的斜率为k，过点P，且斜率为的直线交C于R，S两点，求四边形面积的最小值.
19．（2025高二上·慈溪期末）若数列满足：（，且），则称数列为“差增数列”；若对于差增数列，存在整数k，同时满足以下两个条件：①对任意，都有成立；②存在，使得成立，则称数列为差增数列的“下限数列”.
（1）已知数列是差增数列，若，试写出项数为5的差增数列；
（2）已知等差数列是公差为d的正项数列，其前n项和为，等比数列是公比为的非常数数列，且；
（ⅰ）试判断数列是否为“差增数列”，并说明理由；
（ⅱ）若，且，，成等比数列，则是否存在以数列为“下限数列”的差增数列？若存在，求q的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解： 易知直线l的斜率为，
设l的倾斜角为，则，由，可得.
故答案为：D.
【分析】先根据两点坐标求出直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的正切关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角.
2．【答案】A
【知识点】导数的概念；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解： 易知，
所以.
故答案为：A.
【分析】先明确导数的定义，即函数在某点的导数等于该点处的极限，再利用指数函数的导数公式求出的导数，最后代入计算.
3．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】 记公比为，则，即，所以，
从而，
故答案为：C.
【分析】先根据等比数列的通项公式求出公比，再利用等比数列的前项和公式求出.
4．【答案】A
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解： 已知，，，.
；
.
计算和，
.
根据投影向量公式，则投影向量为.
故答案为：A.
【分析】先求出向量和的坐标，再计算它们的数量积以及的模长的平方，最后根据投影向量的公式进行计算.
5．【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解： 圆的圆心为，半径为，
圆的标准方程为，则，可得，
圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，且，
由题意可得，即，解得.
故答案为：B.
【分析】两圆有三条公切线时外切，故需先求两圆的圆心、半径，再利用外切时“圆心距=半径和”列方程求.
6．【答案】D
【知识点】异面直线所成的角；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设，因为，，所以，
，
所以，
，
，
设向量与的夹角为，则
∴直线和夹角的余弦值为．
故答案为： D.
【分析】首先选取合适的空间向量基底（如以正四面体的三条棱对应的向量为基底），将直线对应的向量用基底表示出来，再利用向量的模长公式和数量积公式，结合异面直线夹角的余弦值公式（夹角余弦值等于对应向量夹角余弦值的绝对值）进行计算.
7．【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 设左焦点为
根据题意可知，所以直线的方程为，如下图所示：
联立，可得，
同理联立，可得，
因此.
故答案为：.
【分析】先利用双曲线的渐近线性质和点到直线的距离公式求出，再通过联立直线方程求出点的坐标，进而求出，最终得到两者的比值.
8．【答案】C
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解： 由已知，，
，
因此，
所以，从而，
令，则.
故答案为：.
【分析】本题需要通过递推关系推导斐波那契数列与卢卡斯数列的联系，从而将用卢卡斯数列的项表示.
9．【答案】A,C
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解： 对于A，当时，是半径为的圆，A正确；
对于B，取，，即，曲线是焦点在轴上的椭圆，B错误；
对于C，当时，是焦点在x轴上的双曲线，C正确；
对于D，当时，是一条直线，D错误.
故答案为：.
【分析】本题需根据圆、椭圆、双曲线的方程特征，对参数的不同取值范围逐一分析曲线的类型.
10．【答案】A,B,D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列的递推公式
【解析】【解答】解： 选项A：令，则，A正确.
选项B：令，，则.
再令，，得，即.
代入上式得，B正确.
选项C：令，，则，即，C错误.
选项D：令，得，所以是首项为，公差为的等差数列，，，则，显然是递增数列，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用赋值法代入递推式，分别分析各选项；再通过令推出数列的公差，确定其为等差数列，进而分析前项和与数列的单调性.
11．【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解： 构建如下图示的空间直角坐标系，
A：，则，且，又，
所以，可得，则，此时，
又，则，，，
显然、，则平面不成立，错；
B：且，，又，则，可得，
所以，则，而，
若是的一个法向量，则，
令，则，而，
显然直线到平面的距离，即为到平面的距离，对；
C：令且，且，，
则，可得，且，
由，，若是面的一个法向量，
所以，令，则，
所以直线与平面所成角的正弦值，
要使夹角最大，即最大，而在圆的四分之一圆弧上，
令且，则，
所以或时，最大，
此时最大正弦值为，对；
D：由C分析，则，
所以，
令且，
则且，
所以的最小值为，对.
故答案为：BCD.
【分析】对选项A，通过向量垂直的条件判断线面垂直是否成立；对选项B，求平面法向量，利用点到平面的距离公式计算线面距离；对选项C，利用线面角的向量公式，结合最值分析求解；对选项D，通过向量数量积的坐标运算，结合圆的参数方程求最值.
12．【答案】3
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解： 易知点P到l的距离为.
故答案为：
【分析】先明确点到直线距离公式的形式，再将点的坐标和直线方程的系数代入公式进行计算.
13．【答案】
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：已知①，则②.
用②÷①得：，即，所以数列的周期.
由，，代入①得：，解得.
设的前项积为：当（）时，，
当时，；
当（）时，，
当时，；
当（）时，，最大值为.
综上，的前项积的最大值为.
故答案为：
【分析】本题先通过递推公式推导数列的周期，再根据周期分析前项积的规律，进而求出最大值.
14．【答案】.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解： 由题可知满足，
切线与两坐标轴交点为，如下图所示：
易知的面积为，又，
即，因此，
当且仅当示，即时，等号成立；
又因为，
即，解得；
易知的面积为，
又，
即可得，所以，
可得，所以.
即C的离心率为.
故答案为：
【分析】先求面积最小值的条件，再利用余弦定理和面积法建立与的关系，最后结合椭圆基本关系求离心率.
15．【答案】（1）解：因为，所以.
（2）解：因为，所以，
由题意知，，即，
所以，所以或.
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据导数的四则运算法则求导；
（2）先求函数在某点的导数（即切线斜率），再结合两直线垂直的斜率关系列方程求解.
（1）因为，所以.
（2）因为，所以，
由题意知，，即，
所以，所以或.
16．【答案】（1）证明： 因为平面平面，平面平面，，
所以平面，所以；
在中，，，，
所以，
所以，即；
又因为，
所以平面.
（2）解： 由（1）知，平面，，
建立以A为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，
所以，，
设平面的一个平面法向量，
则，即，所以取；
同理可得，平面的一个法向量；
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)通过面面垂直的性质和勾股定理证明线线垂直，再结合线面垂直判定定理证明；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求两个平面法向量，进而求二面角的余弦值.
（1）因为平面平面，平面平面，，
所以平面，所以；
在中，，，，
所以，
所以，即；
又因为，
所以平面.
（2）由（1）知，平面，，
建立以A为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，
所以，，
设平面的一个平面法向量，
则，即，所以取；
同理可得，平面的一个法向量；
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）解：由题意知，入射光线与轴交于点，反射光线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，
因为圆心，所以圆心到反射光线所在直线的距离等于，即.
（2）解： 设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以，
因为，，
所以的最小值等于，
当且仅当点、为线段与直线、圆的交点时，取最小值，
直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，解得，
所以当点时，的最小值等于.
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）先确定反射光线的方程，再根据圆心到反射光线的距离等于半径求解；
（2）利用对称点将折线距离转化为直线距离，结合圆的性质求最小值及对应点坐标.
（1）由题意知，入射光线与轴交于点，反射光线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，
因为圆心，所以圆心到反射光线所在直线的距离等于，即.
（2）设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以，
因为，，
所以的最小值等于，
当且仅当点、为线段与直线、圆的交点时，取最小值，
直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，解得，
所以当点时，的最小值等于.
18．【答案】（1）解：因为，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）解： （ⅰ）设直线的方程为，，，
联立得，显然，
且，，易知，所以；
因为
，
所以或（舍），所以直线过定点.
（ⅱ）设直线的方程为，，，，，如下图所示：
由得，，则，，
所以，
则R，S到直线的距离和
因为直线RS的直线方程为，所以，
所以，
由得，，即，，所以，
所以，
令，，则在上单调递增，
所以当，即时，.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求出，进而得到抛物线方程；
（2）（i）设直线的方程，联立抛物线方程，结合向量数量积求出直线所过定点；（ii）分别求出直线和的弦长及距离，进而得到四边形面积表达式，利用基本不等式求最小值.
（1）因为，所以，所以抛物线C的方程为；
（2）（ⅰ）设直线的方程为，，，
联立得，显然，
且，，易知，所以；
因为
，
所以或（舍），所以直线过定点.
（ⅱ）设直线的方程为，，，，，如下图所示：
由得，，则，，
所以，
则R，S到直线的距离和
因为直线RS的直线方程为，所以，
所以，
由得，，即，，所以，
所以，
令，，则在上单调递增，
所以当，即时，.
19．【答案】（1）解：根据“差增数列”的定义可得，，，，；
（2）解：（ⅰ）因为，则首项，公差，所以，，因为
，
即对任意且恒成立，
故数列为“差增数列”.
（ⅱ）因为，则，且，
所以，所以，
假设存在以数列为“下限数列”的差增数列，
则，而，，所以q的可能取值为2、4，
①若，则，若存在，则其下限数列为，即恒成立，
事实上，当时，，故时不符合；
②若，则，所以
，，
而，所以对任意恒成立，
所以数列是差增数列，令，
则，
当时，，即，当时，，
所以，即，所以，
所以符合，所以数列的下限数列为；
综上所述，存在以数列为“下限数列”的差增数列，此时q的值为4.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据“差增数列”定义和小于20的质数，直接构造项数为5的差增数列；
（2）（i）通过等差数列的通项和前项和公式，计算差值判断数列是否为“差增数列”；（ii）先求出和，再结合“下限数列”和“差增数列”定义，对分类讨论求解.
（1）根据“差增数列”的定义可得，，，，；
（2）（ⅰ）因为，则首项，公差，所以，，
因为
，
即对任意且恒成立，
故数列为“差增数列”.
（ⅱ）因为，则，且，
所以，所以，
假设存在以数列为“下限数列”的差增数列，
则，而，，所以q的可能取值为2、4，
①若，则，若存在，则其下限数列为，即恒成立，
事实上，当时，，故时不符合；
②若，则，所以
，，
而，所以对任意恒成立，
所以数列是差增数列，令，
则，
当时，，即，当时，，
所以，即，所以，
所以符合，所以数列的下限数列为；
综上所述，存在以数列为“下限数列”的差增数列，此时q的值为4.
1 / 1

展开更多......

收起↑