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浙江省衢州市2024-2025学年高二上学期1月教学质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二上·衢州期末）已知，，若，则（　　）
A． B． C．1 D．0
2．（2025高二上·衢州期末）已知数列是等差数列，，，则（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2025高二上·衢州期末）已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·衢州期末）已知方向向量为的直线倾斜角为，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高二上·衢州期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（　　）
A． B．2 C． D．4
6．（2025高二上·衢州期末）已知正项数列，满足，，则（　　）
A．2 B． C．2024 D．
7．（2025高二上·衢州期末）反比例函数的图象是双曲线，两条坐标轴是它的渐近线，若以其中心为原点，实轴所在的直线为x轴，重新建立直角坐标系，则双曲线在新坐标系中的方程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·衢州期末）纸上画有一圆O，在圆内任取一定点异于点，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2025高二上·衢州期末）已知数列、都是正项等比数列，则（　　）
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列
C．数列是等差数列 D．数列是等比数列
10．（2025高二上·衢州期末）已知抛物线C：，过焦点F的直线与抛物线交于、两点，准线与x轴交于点D，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．线段AB中点到准线的距离最小值为2
C．若直线AB的斜率为，则
D．为直线AB的倾斜角
11．（2025高二上·衢州期末）已知为正方体，点P为棱上的动点，点Q为平面上的任意一点，Q到直线和到平面ABCD的距离相等，则下列表述正确的是（　　）
A．存在点P使得直线与平面所成的角为
B．存在直线PQ与平面所成的角大于二面角
C．点Q所在的曲线可能为双曲线
D．点Q所在的曲线可能为抛物线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二上·衢州期末）若椭圆E：的左右焦点为、，上顶点为P，则　 　.
13．（2025高二上·衢州期末）类似二维向量，定义n维向量空间中，，两点间“距离”校服公司根据经验，得出8种标准型号及相应测量参数，如表．学生身材数据按身高、胸围、腰围、肩宽排列，用四维向量表示，看作四维向量空间中的一个点.8种标准型号为8个标准点．按“距离”分类，学生身材点与8个标准点的距离，哪个最近就归入哪一类．某学生身高172 cm，胸围89 cm，腰围73 cm，肩宽38 cm，此人身材点应归类为　 　型号．
型号 身高 胸围 腰围 肩宽
XXS 150 76 62 34
XS 155 80 66 36
S 160 84 70 38
M 165 88 74 40
L 170 92 78 42
XL 175 96 82 44
XXL 180 100 86 46
XXXL 185 104 90 48
14．（2025高二上·衢州期末）已知双曲线C：，直线l是双曲线C右支的一条切线，与C的渐近线交于A、B两点，若AB的中点为，且三角形OAB的面积，则双曲线离心率为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高二上·衢州期末）已知圆M经过和，且圆心在直线上．
（1）求圆M的方程；
（2）若圆N：与圆M外切，求实数a的值．
16．（2025高二上·衢州期末）已知在三棱锥中，，，，，
（1）证明：平面平面ABC；
（2）求二面角的正弦值．
17．（2025高二上·衢州期末）已知数列满足且，数列满足且
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
18．（2025高二上·衢州期末）已知椭圆E：的右焦点为F，点在椭圆E上，轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当的面积为9时，求直线l的方程．
19．（2025高二上·衢州期末）集合，，称…为集合A的交错和，为集合A所有子集的交错和之和.
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若（），求集合B的元素个数有多少种情况
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 因为，，，
所以，
解得
故答案为：B
【分析】利用空间向量垂直的坐标运算性质，即两垂直向量的数量积为，通过计算数量积列方程求解.
2．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为.
已知，则，.
由，可得，即，解得.
则.
故答案为：C.
【分析】利用等差数列的通项公式（其中为公差），先通过已知条件求公差，再求.
3．【答案】A
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】解： 抛物线C的方程为，化为标准方程为，
即，，
则其准线方程为
故答案为：A
【分析】将抛物线方程化为标准形式，根据抛物线（）的准线方程为，求出后即可得准线方程.
4．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；斜率的计算公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解： 由题意可知，
.
故答案为：C
【分析】先由直线方向向量求出倾斜角的正切值，再利用二倍角正弦公式和同角三角函数关系求解.
5．【答案】C
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解： 由题意，直线l：过定点，
圆心，半径，
因为，
所以点P在圆内，
当直线CP与弦垂直时，弦长最短，
且，
所以最短弦长为
故答案为：C
【分析】先确定直线过的定点，判断该定点与圆的位置关系，再根据圆的弦长性质，当定点与圆心的连线垂直于直线时，弦长最短，最后结合勾股定理计算最短弦长.
6．【答案】D
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：已知①
当时，②
① - ②得：
因式分解得：，进一步整理为（因为数列是正项数列，各项不为），即.
则.
所以
故答案为：D
【分析】通过作差法得出与的递推关系，再利用累乘法求出数列的通项公式，进而得到.
7．【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【解答】解：反比例函数的图象是等轴双曲线，新坐标系中实轴在上.
联立，解得或，则实半轴长.
因为是等轴双曲线，，所以新坐标系下双曲线方程为.
故答案为：C
【分析】先确定新坐标系下双曲线的实轴位置，求出实半轴长，再根据等轴双曲线的性质得出方程.
8．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解： 如图，圆半径为，是一条折痕，点关于的对称点在圆上，连接交直线于，则，所以，
所以点轨迹是以为焦点的椭圆，椭圆长轴长为．
故答案为：B
【分析】设圆半径为，折痕为直线，点关于的对称点为（在圆上），连接交于，利用对称性质和椭圆定义判断轨迹.
9．【答案】B,C
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：设数列的公比为，的公比为（，）.
选项A：取，，则，，，
故不是等比数列，A错误.
选项B：（常数），所以是等比数列，B正确.
选项C：（常数），所以是等差数列，C正确.
选项D：取，，则，，；，，故不是等比数列，D错误.
故答案为：BC.
【分析】通过特值法判断选项A、D，利用等比数列、等差数列的定义判断选项B、C.
10．【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：抛物线的焦点，准线，.
设直线的方程为，联立，得，
则，.
选项A：，A错误.
选项B：，中点横坐标为，中点到准线的距离为（当时取等号），B正确.
选项C：直线斜率为，则，，C正确.
选项D：当时，轴，，，；
当时，通过斜率分析可得（为直线倾斜角），D正确.
故答案为：BCD.
【分析】设过焦点的直线方程为，与抛物线联立，利用韦达定理、抛物线定义及三角函数知识逐一分析选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：设正方体棱长为，以为原点，、、分别为、、轴建立坐标系，
则，，，，设（）.
选项A：平面的法向量满足，即，
取，则，，.
直线的方向向量为，
设直线与平面所成角为，
则.
令，则，解得，有解，故A正确.
选项B：平面的法向量为，直线与平面所成角的正弦值和二面角的平面角正切值经分析可知，不存在直线满足条件，故B错误.
选项C、D：设到直线的距离为，到平面的距离为，由题意.以为原点，为轴建立圆锥面（母线与轴夹角），平面与该圆锥面的交线，当平面与母线斜交时为双曲线，与轴垂直时为抛物线，故C、D正确.
故答案为：ACD.
【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角公式、二面角定义及圆锥曲线定义，分别分析各选项.
12．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：对于椭圆，可得，，，
所以上顶点，焦点.
在中，（因为，），
所以，则.
故答案为：.
【分析】先根据椭圆方程求出、、的值，再在直角三角形中利用三角函数求出角的大小，进而得到.
13．【答案】
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：设该学生身材点为，分别计算与各型号的距离：
与XXS的距离：
与XS的距离：
与S的距离：
与M的距离：
与L的距离：
与XL的距离：
与XXL的距离：
与XXXL的距离：
比较可知，与L型号的距离最小，故此人身材点应归类为L型号.
故答案为：
【分析】根据题目定义的四维向量“距离”公式，分别计算该学生身材点与8个标准型号点的距离，距离最小的即为归属型号.
14．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 如图：
设，，A到直线OM的距离为d，
由题意解得，
过点A作直线OM的平行线，设其方程为，直线OM的方程为，
可知两平行线距离，则，得，
所以过点A作直线OM的平行线：
同理得过点B作直线OM的平行线：
联立，，解得点A的横坐标，
同理联立，，解得点B的横坐标，
因为AB的中点为，则，
得 ， 得，，
解得或（舍），
所以双曲线离心率
故答案为：
【分析】先利用三角形面积和中点坐标求出相关距离与坐标关系，再结合双曲线渐近线和中点公式，推导离心率.
15．【答案】（1）解：以和为端点的线段的中点为，斜率为，
所以以和为端点的线段的垂直平分线为：，即圆心在上，
又圆心在直线上，由，解得，
所以圆心为，半径为，
所以圆M的方程为：；
（2）解：圆，所以圆心，半径，
因为圆M与圆N外切，所以，
所以，
所以
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）先求两点连线的垂直平分线方程，再与已知直线联立求圆心，进而得圆的方程；
（2）将圆化为标准式，利用两圆外切时圆心距等于半径和求解.
（1）以和为端点的线段的中点为，斜率为，
所以以和为端点的线段的垂直平分线为：，
即圆心在上，
又圆心在直线上，由，解得，
所以圆心为，半径为，
所以圆M的方程为：；
（2）圆，所以圆心，半径，
因为圆M与圆N外切，所以，
所以，所以
16．【答案】（1）证明：
取BC的中点为点O，AC的中点为点E，连接DO，EO，
因为为等腰直角三角形，故，故，
在中，，，
在中，，，，，
，，且EO、面ABC，
面ABC，又面BCD，面面
（2）解： 由（1）得面ABC，，所以可以以点为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面BCD的法向量，
，
设平面ABD的法向量，
，
，
，，
，，
二面角的正弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）通过取中点找线面垂直，进而证明面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值.
（1）
取BC的中点为点O，AC的中点为点E，连接DO，EO，
因为为等腰直角三角形，故，故，
在中，，，
在中，，，，，
，，且EO、面ABC，
面ABC，又面BCD，面面
（2）由（1）得面ABC，，所以可以以点为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面BCD的法向量，
，
设平面ABD的法向量，
，
，
，，
，，
二面角的正弦值为
17．【答案】（1）解：因为，所以，又因为，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，，
因为，
所以
，
又因为也适合，所以；
（2）解：因为，所以①，②，
①-②得，
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）对于数列，通过构造等比数列求解通项；对于数列，利用裂项相消法求通项.
（2）先求出的表达式，再用错位相减法求前项和.
（1）因为，所以，
又因为，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，，
因为，
所以
，
又因为也适合，所以；
（2）因为，
所以①，
②，
①-②得，
所以.
18．【答案】（1）解：轴，，
又点在曲线上，
，
椭圆E的方程为
（2）解：根据题意画如下图：
①当直线l的斜率不存在时，不符合题意
②设直线l的方程为，，
直线I方程与椭圆方程联立得，
，，得或，
，
直线BA所在的直线方程为：，得
直线CA所在的直线方程为：，得
，
或舍去
直线l的方程为
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据轴确定的值，再将点代入椭圆方程，结合求出椭圆方程；
（2）设直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理和三角形面积公式求解直线斜率，进而得到直线方程.
（1）轴，，
又点在曲线上，
，
椭圆E的方程为
（2）根据题意画如下图：
①当直线l的斜率不存在时，不符合题意
②设直线l的方程为，，
直线I方程与椭圆方程联立得，
，，得或，
，
直线BA所在的直线方程为：，得
直线CA所在的直线方程为：，得
，
或舍去
直线l的方程为
19．【答案】（1）解：
（2）解：分类列举A所有子集：单元素集为
单元素集所有交错和之和为
双元素集为，，，
，，
，
双元素集所有交错和之和为，
三元素集为，
，
，
三元素集所有交错和之和为
四元素集为，，
，
四元素集所有交错和之和
五元素集为，
五元素集所有交错和之和
所以，
（3）解： 要使元素少，那么出现重复的数值就要多.
先考虑特殊情况，取，
此时共个元素最少为
一般的，不妨设，显然，
共有个.
同理，要使元素最多，所取的数必须不小于前面两个最大数的和，
如取斐波那契数列和等比数列构成集合，
元素最多为
再证元素个数能取遍到所有整数.
证明：考虑特殊情况，此时共个元素.
设，，
则，
若使中元素最多，则，
此时共有个元素，
即最大元素变化时，集合元素个数从连续取到最大
当最大数字变大时，新集合中数字与原来由形成的集合重复元素减少，
当最大值大于的最大值后就不再有重复数字，这时所有这样的比多个元素.
以此类推，比多2个元素，而有1个元素，
则最多有个元素.
所以，对于，，
元素个数能取遍到所有整数.
综上：集合 B元素有种情况.
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的个数问题
【解析】【分析】（1）根据交错和定义直接计算；
（2）分类列举所有子集，分别计算交错和后求和；
（3）通过分析元素和的重复情况，推导集合元素个数的情况数， 采用从特殊到一般的方法，然后证明即可.
（1）
（2）分类列举A所有子集：
单元素集为
单元素集所有交错和之和为
双元素集为，，，
，，
，
双元素集所有交错和之和为，
三元素集为，
，
，
三元素集所有交错和之和为
四元素集为，，
，
四元素集所有交错和之和
五元素集为，
五元素集所有交错和之和
所以，
（3）要使元素少，那么出现重复的数值就要多.
先考虑特殊情况，取，
此时共个元素最少为
一般的，不妨设，显然，
共有个.
同理，要使元素最多，所取的数必须不小于前面两个最大数的和，
如取斐波那契数列和等比数列构成集合，
元素最多为
再证元素个数能取遍到所有整数.
证明：考虑特殊情况，此时共个元素.
设，，
则，
若使中元素最多，则，
此时共有个元素，
即最大元素变化时，集合元素个数从连续取到最大
当最大数字变大时，新集合中数字与原来由形成的集合重复元素减少，
当最大值大于的最大值后就不再有重复数字，这时所有这样的比多个元素.
以此类推，比多2个元素，而有1个元素，
则最多有个元素.
所以，对于，，
元素个数能取遍到所有整数.
综上：集合 B元素有种情况.
1 / 1浙江省衢州市2024-2025学年高二上学期1月教学质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二上·衢州期末）已知，，若，则（　　）
A． B． C．1 D．0
【答案】B
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 因为，，，
所以，
解得
故答案为：B
【分析】利用空间向量垂直的坐标运算性质，即两垂直向量的数量积为，通过计算数量积列方程求解.
2．（2025高二上·衢州期末）已知数列是等差数列，，，则（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为.
已知，则，.
由，可得，即，解得.
则.
故答案为：C.
【分析】利用等差数列的通项公式（其中为公差），先通过已知条件求公差，再求.
3．（2025高二上·衢州期末）已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】解： 抛物线C的方程为，化为标准方程为，
即，，
则其准线方程为
故答案为：A
【分析】将抛物线方程化为标准形式，根据抛物线（）的准线方程为，求出后即可得准线方程.
4．（2025高二上·衢州期末）已知方向向量为的直线倾斜角为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；斜率的计算公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解： 由题意可知，
.
故答案为：C
【分析】先由直线方向向量求出倾斜角的正切值，再利用二倍角正弦公式和同角三角函数关系求解.
5．（2025高二上·衢州期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解： 由题意，直线l：过定点，
圆心，半径，
因为，
所以点P在圆内，
当直线CP与弦垂直时，弦长最短，
且，
所以最短弦长为
故答案为：C
【分析】先确定直线过的定点，判断该定点与圆的位置关系，再根据圆的弦长性质，当定点与圆心的连线垂直于直线时，弦长最短，最后结合勾股定理计算最短弦长.
6．（2025高二上·衢州期末）已知正项数列，满足，，则（　　）
A．2 B． C．2024 D．
【答案】D
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：已知①
当时，②
① - ②得：
因式分解得：，进一步整理为（因为数列是正项数列，各项不为），即.
则.
所以
故答案为：D
【分析】通过作差法得出与的递推关系，再利用累乘法求出数列的通项公式，进而得到.
7．（2025高二上·衢州期末）反比例函数的图象是双曲线，两条坐标轴是它的渐近线，若以其中心为原点，实轴所在的直线为x轴，重新建立直角坐标系，则双曲线在新坐标系中的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的应用
【解析】【解答】解：反比例函数的图象是等轴双曲线，新坐标系中实轴在上.
联立，解得或，则实半轴长.
因为是等轴双曲线，，所以新坐标系下双曲线方程为.
故答案为：C
【分析】先确定新坐标系下双曲线的实轴位置，求出实半轴长，再根据等轴双曲线的性质得出方程.
8．（2025高二上·衢州期末）纸上画有一圆O，在圆内任取一定点异于点，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解： 如图，圆半径为，是一条折痕，点关于的对称点在圆上，连接交直线于，则，所以，
所以点轨迹是以为焦点的椭圆，椭圆长轴长为．
故答案为：B
【分析】设圆半径为，折痕为直线，点关于的对称点为（在圆上），连接交于，利用对称性质和椭圆定义判断轨迹.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2025高二上·衢州期末）已知数列、都是正项等比数列，则（　　）
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列
C．数列是等差数列 D．数列是等比数列
【答案】B,C
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：设数列的公比为，的公比为（，）.
选项A：取，，则，，，
故不是等比数列，A错误.
选项B：（常数），所以是等比数列，B正确.
选项C：（常数），所以是等差数列，C正确.
选项D：取，，则，，；，，故不是等比数列，D错误.
故答案为：BC.
【分析】通过特值法判断选项A、D，利用等比数列、等差数列的定义判断选项B、C.
10．（2025高二上·衢州期末）已知抛物线C：，过焦点F的直线与抛物线交于、两点，准线与x轴交于点D，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．线段AB中点到准线的距离最小值为2
C．若直线AB的斜率为，则
D．为直线AB的倾斜角
【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：抛物线的焦点，准线，.
设直线的方程为，联立，得，
则，.
选项A：，A错误.
选项B：，中点横坐标为，中点到准线的距离为（当时取等号），B正确.
选项C：直线斜率为，则，，C正确.
选项D：当时，轴，，，；
当时，通过斜率分析可得（为直线倾斜角），D正确.
故答案为：BCD.
【分析】设过焦点的直线方程为，与抛物线联立，利用韦达定理、抛物线定义及三角函数知识逐一分析选项.
11．（2025高二上·衢州期末）已知为正方体，点P为棱上的动点，点Q为平面上的任意一点，Q到直线和到平面ABCD的距离相等，则下列表述正确的是（　　）
A．存在点P使得直线与平面所成的角为
B．存在直线PQ与平面所成的角大于二面角
C．点Q所在的曲线可能为双曲线
D．点Q所在的曲线可能为抛物线
【答案】A,C,D
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：设正方体棱长为，以为原点，、、分别为、、轴建立坐标系，
则，，，，设（）.
选项A：平面的法向量满足，即，
取，则，，.
直线的方向向量为，
设直线与平面所成角为，
则.
令，则，解得，有解，故A正确.
选项B：平面的法向量为，直线与平面所成角的正弦值和二面角的平面角正切值经分析可知，不存在直线满足条件，故B错误.
选项C、D：设到直线的距离为，到平面的距离为，由题意.以为原点，为轴建立圆锥面（母线与轴夹角），平面与该圆锥面的交线，当平面与母线斜交时为双曲线，与轴垂直时为抛物线，故C、D正确.
故答案为：ACD.
【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角公式、二面角定义及圆锥曲线定义，分别分析各选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二上·衢州期末）若椭圆E：的左右焦点为、，上顶点为P，则　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：对于椭圆，可得，，，
所以上顶点，焦点.
在中，（因为，），
所以，则.
故答案为：.
【分析】先根据椭圆方程求出、、的值，再在直角三角形中利用三角函数求出角的大小，进而得到.
13．（2025高二上·衢州期末）类似二维向量，定义n维向量空间中，，两点间“距离”校服公司根据经验，得出8种标准型号及相应测量参数，如表．学生身材数据按身高、胸围、腰围、肩宽排列，用四维向量表示，看作四维向量空间中的一个点.8种标准型号为8个标准点．按“距离”分类，学生身材点与8个标准点的距离，哪个最近就归入哪一类．某学生身高172 cm，胸围89 cm，腰围73 cm，肩宽38 cm，此人身材点应归类为　 　型号．
型号 身高 胸围 腰围 肩宽
XXS 150 76 62 34
XS 155 80 66 36
S 160 84 70 38
M 165 88 74 40
L 170 92 78 42
XL 175 96 82 44
XXL 180 100 86 46
XXXL 185 104 90 48
【答案】
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：设该学生身材点为，分别计算与各型号的距离：
与XXS的距离：
与XS的距离：
与S的距离：
与M的距离：
与L的距离：
与XL的距离：
与XXL的距离：
与XXXL的距离：
比较可知，与L型号的距离最小，故此人身材点应归类为L型号.
故答案为：
【分析】根据题目定义的四维向量“距离”公式，分别计算该学生身材点与8个标准型号点的距离，距离最小的即为归属型号.
14．（2025高二上·衢州期末）已知双曲线C：，直线l是双曲线C右支的一条切线，与C的渐近线交于A、B两点，若AB的中点为，且三角形OAB的面积，则双曲线离心率为　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 如图：
设，，A到直线OM的距离为d，
由题意解得，
过点A作直线OM的平行线，设其方程为，直线OM的方程为，
可知两平行线距离，则，得，
所以过点A作直线OM的平行线：
同理得过点B作直线OM的平行线：
联立，，解得点A的横坐标，
同理联立，，解得点B的横坐标，
因为AB的中点为，则，
得 ， 得，，
解得或（舍），
所以双曲线离心率
故答案为：
【分析】先利用三角形面积和中点坐标求出相关距离与坐标关系，再结合双曲线渐近线和中点公式，推导离心率.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高二上·衢州期末）已知圆M经过和，且圆心在直线上．
（1）求圆M的方程；
（2）若圆N：与圆M外切，求实数a的值．
【答案】（1）解：以和为端点的线段的中点为，斜率为，
所以以和为端点的线段的垂直平分线为：，即圆心在上，
又圆心在直线上，由，解得，
所以圆心为，半径为，
所以圆M的方程为：；
（2）解：圆，所以圆心，半径，
因为圆M与圆N外切，所以，
所以，
所以
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）先求两点连线的垂直平分线方程，再与已知直线联立求圆心，进而得圆的方程；
（2）将圆化为标准式，利用两圆外切时圆心距等于半径和求解.
（1）以和为端点的线段的中点为，斜率为，
所以以和为端点的线段的垂直平分线为：，
即圆心在上，
又圆心在直线上，由，解得，
所以圆心为，半径为，
所以圆M的方程为：；
（2）圆，所以圆心，半径，
因为圆M与圆N外切，所以，
所以，所以
16．（2025高二上·衢州期末）已知在三棱锥中，，，，，
（1）证明：平面平面ABC；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：
取BC的中点为点O，AC的中点为点E，连接DO，EO，
因为为等腰直角三角形，故，故，
在中，，，
在中，，，，，
，，且EO、面ABC，
面ABC，又面BCD，面面
（2）解： 由（1）得面ABC，，所以可以以点为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面BCD的法向量，
，
设平面ABD的法向量，
，
，
，，
，，
二面角的正弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）通过取中点找线面垂直，进而证明面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值.
（1）
取BC的中点为点O，AC的中点为点E，连接DO，EO，
因为为等腰直角三角形，故，故，
在中，，，
在中，，，，，
，，且EO、面ABC，
面ABC，又面BCD，面面
（2）由（1）得面ABC，，所以可以以点为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面BCD的法向量，
，
设平面ABD的法向量，
，
，
，，
，，
二面角的正弦值为
17．（2025高二上·衢州期末）已知数列满足且，数列满足且
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
【答案】（1）解：因为，所以，又因为，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，，
因为，
所以
，
又因为也适合，所以；
（2）解：因为，所以①，②，
①-②得，
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）对于数列，通过构造等比数列求解通项；对于数列，利用裂项相消法求通项.
（2）先求出的表达式，再用错位相减法求前项和.
（1）因为，所以，
又因为，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，，
因为，
所以
，
又因为也适合，所以；
（2）因为，
所以①，
②，
①-②得，
所以.
18．（2025高二上·衢州期末）已知椭圆E：的右焦点为F，点在椭圆E上，轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当的面积为9时，求直线l的方程．
【答案】（1）解：轴，，
又点在曲线上，
，
椭圆E的方程为
（2）解：根据题意画如下图：
①当直线l的斜率不存在时，不符合题意
②设直线l的方程为，，
直线I方程与椭圆方程联立得，
，，得或，
，
直线BA所在的直线方程为：，得
直线CA所在的直线方程为：，得
，
或舍去
直线l的方程为
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据轴确定的值，再将点代入椭圆方程，结合求出椭圆方程；
（2）设直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理和三角形面积公式求解直线斜率，进而得到直线方程.
（1）轴，，
又点在曲线上，
，
椭圆E的方程为
（2）根据题意画如下图：
①当直线l的斜率不存在时，不符合题意
②设直线l的方程为，，
直线I方程与椭圆方程联立得，
，，得或，
，
直线BA所在的直线方程为：，得
直线CA所在的直线方程为：，得
，
或舍去
直线l的方程为
19．（2025高二上·衢州期末）集合，，称…为集合A的交错和，为集合A所有子集的交错和之和.
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若（），求集合B的元素个数有多少种情况
【答案】（1）解：
（2）解：分类列举A所有子集：单元素集为
单元素集所有交错和之和为
双元素集为，，，
，，
，
双元素集所有交错和之和为，
三元素集为，
，
，
三元素集所有交错和之和为
四元素集为，，
，
四元素集所有交错和之和
五元素集为，
五元素集所有交错和之和
所以，
（3）解： 要使元素少，那么出现重复的数值就要多.
先考虑特殊情况，取，
此时共个元素最少为
一般的，不妨设，显然，
共有个.
同理，要使元素最多，所取的数必须不小于前面两个最大数的和，
如取斐波那契数列和等比数列构成集合，
元素最多为
再证元素个数能取遍到所有整数.
证明：考虑特殊情况，此时共个元素.
设，，
则，
若使中元素最多，则，
此时共有个元素，
即最大元素变化时，集合元素个数从连续取到最大
当最大数字变大时，新集合中数字与原来由形成的集合重复元素减少，
当最大值大于的最大值后就不再有重复数字，这时所有这样的比多个元素.
以此类推，比多2个元素，而有1个元素，
则最多有个元素.
所以，对于，，
元素个数能取遍到所有整数.
综上：集合 B元素有种情况.
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的个数问题
【解析】【分析】（1）根据交错和定义直接计算；
（2）分类列举所有子集，分别计算交错和后求和；
（3）通过分析元素和的重复情况，推导集合元素个数的情况数， 采用从特殊到一般的方法，然后证明即可.
（1）
（2）分类列举A所有子集：
单元素集为
单元素集所有交错和之和为
双元素集为，，，
，，
，
双元素集所有交错和之和为，
三元素集为，
，
，
三元素集所有交错和之和为
四元素集为，，
，
四元素集所有交错和之和
五元素集为，
五元素集所有交错和之和
所以，
（3）要使元素少，那么出现重复的数值就要多.
先考虑特殊情况，取，
此时共个元素最少为
一般的，不妨设，显然，
共有个.
同理，要使元素最多，所取的数必须不小于前面两个最大数的和，
如取斐波那契数列和等比数列构成集合，
元素最多为
再证元素个数能取遍到所有整数.
证明：考虑特殊情况，此时共个元素.
设，，
则，
若使中元素最多，则，
此时共有个元素，
即最大元素变化时，集合元素个数从连续取到最大
当最大数字变大时，新集合中数字与原来由形成的集合重复元素减少，
当最大值大于的最大值后就不再有重复数字，这时所有这样的比多个元素.
以此类推，比多2个元素，而有1个元素，
则最多有个元素.
所以，对于，，
元素个数能取遍到所有整数.
综上：集合 B元素有种情况.
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