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2025-2026学年数学八年级上册期中测试试题（鲁教版）
提升三（含解析）
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．如图，已知线段AB=4，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
3．下列命题正确的是（ ）
A．两点之间，射线最短 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C．正六边形的外角和大于正五边形的外角和 D．不在同一直线上的三个点确定一个圆
4．已知函数，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
5．若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
6．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，四边形是平行四边形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；连接并延长，交于点E．连接，若，则的长为（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
8．从﹣2，﹣1，0，3，4，5，7这七个数中，随机抽一个数记为a，使关于x的分式方程有整数解，且使关于y的不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（　　）
A．﹣1 B．3 C．6 D．11
9．如图，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是正方形
11．如图，，根据图中尺规作图的痕迹，可得的度数为（　　）
A． B． C． D．
12．方程的正整数解的个数是（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
二、填空题
13．计算： ．
14．定义：若点在函数的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数称为函数的一个“派生函数”．例如：点在函数的图象上，则函数称为函数的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：
（1）存在函数的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧
（2）函数的所有“派生函数”的图象都经过同一点，请判断以上两个命题的真假：命题（1）是 命题，命题（2）是 命题（填真或假）
15．如图，在平面直角坐标系中，点，以点为圆心，以为半径画弧，然后分别以弧上一点和点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，，，．再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，若，则点的坐标为 ．
16．如图，在中,平分，过点B作，垂足为D，连接．若的面积为，则的面积为 ．
三、解答题
17．如图，，，．求证：．
18．解下列分式方程：
（1）先化简，再求值：，其中．
（2）计算．
20．先化简，然后在2，3中选一个你认为合适的值代入求值．
21．【综合与实践】某校在10周年校庆前设计了吉祥物“育育”挂件，并根据挂件尺寸设计了长方体的包装盒．设计组有细心的同学发现，把吉祥物“育育”装进包装盒后，拐角处还空余不少空间，这样比较浪费，所以打算进一步探究节省材料的方案．
任务1 探究：对于底面积和高一定的长方体包装盒，什么情况下最省材料（即表面积最小）？
通过探究发现，问题等价于“底面矩形的面积一定时，周长何时最小？”设计组先假定底面积为16，列出下表：
长 16 14 12 10 8 6 4
宽 1 1.6 2 4
周长 34 23.2 20 16
根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，_____时周长最小．
为了证明上述猜测，小丫同学假设矩形面积为，设两邻边长分别为和（均为非负数），则，得．
……（请表示出周长并补全后续的证明过程）．
任务2 计算对比，合理优化．
设计组之前设计的长方体包装盒的尺寸为：长、宽、高，小明同学在保持底面积不变小的前提下，建议将包装盒形状改为底面直径为的圆，高保持不变的圆柱体，从节省材料的角度来看，你觉得合理吗？请判断并说明理由．
22．如图，在中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交于点，交于点，交于点，连接．
求证：是的切线；
(2)若点是的中点，，求阴影部分的面积．
23．先化简：，再从不等式组的解集中选一个合适的整数x的值代入求值．
《2025-2026学年数学八年级上册期中测试试题（鲁教版）提升三（含解析）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D D D D A B A D
题号 11 12
答案 C C
1．A
【分析】根据同分母分式相减，分母不变，将分子相减，然后约分即可化简．
【详解】解：
=
，
故选：A．
【点睛】此题考查分式的加减法，解题关键在于掌握运算法则．
2．D
【分析】利用基本作图得到m＞AB，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：根据题意得m＞AB，
即b＞2，
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
3．D
【分析】根据线段，菱形的判定，多边形的外角的性质，圆的确定方法，逐项判断即可求解．
【详解】A、两点之间，线段最短，故原命题错误．
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误．
C、多边形的外角和均等于360°，故原命题错误．
D、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原命题正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，菱形的判定，多边形的外角的性质，圆的确定方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是知晓分母不为0时分式有意义．
根据分式的意义求解自变量的范围即可．
【详解】当时，分式有意义，
故自变量x的取值范围是．
故选：D．
5．D
【分析】去分母将分式方程化为整式方程求解，再根据方程的解是负数及分式的性质得到-1-a>0，且-1-a0，求出结果．
【详解】解：
4x+2a-2x+2=0
2x=-2-2a
x=-1-a，
∵方程的解是正数
∴-1-a>0，且-1-a0，
解得且，
故选：D．
【点睛】此题考查了根据分式方程的解的情况求参数，正确掌握解分式方程的法则是解题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂除法计算，分式的乘除法计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
7．A
【分析】如图，连接FE，设AE交BF于点O．首先证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出AB即可．
【详解】如图，连接FE，设AE交BF于点O．
由作图可知：AB=AF，AE平分∠BAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，
∴AO=OE=4，BO=OF=3，
在Rt△AOB中，，
故选：A．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．B
【分析】解分式方程，根据分式方程有整数解，即可从﹣2，﹣1，0，3，4，5，7这七个数中找出符合条件的a的值（注意分式方程有增根）；解不等式组，根据不等式组至少有3个整数解，可确定a的取值范围，最后找出符合条件的a的值再求和即可求解．
【详解】解：∵关于x的分式方程有整数解，
∴，
∵a在﹣2，﹣1，0，3，4，5，7这七个数中，
∴a＝﹣1，4，5，7，
∵x＝1是分式方程的增根，
∴a＝7舍去，
∴a＝﹣1，4，5，
∵关于y的不等式组至少有3个整数解，
∴至少有3个整数解，
∴，
∴，
综上所述，a＝﹣1，4，
所有符合条件的整数a的和为，
故选：B．
【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的整数解，解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，正确掌握解分式方程的方法、解不等式组的方法是解题的关键．
9．A
【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理与三角形的外角，根据等边对等角，结合三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选A．
10．D
【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据正方形的各种判定方法逐项分析即可．
【详解】解：A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原命题是真命题，故A不符合题意；
B．对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题是真命题，故B不符合题意；
C．对角线相等的菱形是正方形，原命题是真命题，故C不符合题意；
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，故D符合题意．
故选：D．
11．C
【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、三角形内角和定理等知识．由尺规作图的作法得到，根据三角形内角和定理代入数据计算即可得到答案．
【详解】解：由尺规作图可知，，
即，
∵，
∴，
故选：C．
12．C
【分析】此题考查了分式方程的化简，因式分解，解此题的关键是将方程变形为．
方程变形为，又由与，是正整数，即可得，或，或，或，或，或，或，或，或，，即可求得答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，，是正整数，
，或，或，或，或，或，或，或，或，，
，或，或，或，或，或，或，或，或，．
方程的正整数解的个数是9个．
故选：C．
13．
【分析】本题考查了分式的除法运算，根据分式的除法法则计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
14． 假 真
【分析】（1）根据点在函数的图象上，可得和是同号，对称轴的值小于0，由此即可判断其真假；
（2）根据函数的所有“派生函数”为，可得时，，即可判断所有“派生函数”为都经过原点，由此可判断其真假．
【详解】解：（1）点在函数的图象上，
和是同号，对称轴在轴左侧，
存在函数的一个“派生函数”，其图象的对称轴在轴的右侧是假命题；
（2）函数的所有“派生函数”为，
时，，
所有“派生函数”为都经过原点，
函数的所有“派生函数”的图象都过同一点，是真命题．
故答案为：假；真．
【点睛】本题考查命题真假的判断，熟练掌握真、假命题的定义是解题关键．
15．
【分析】本题考查了几何作图、垂直平分线的性质、正切、坐标与图形，熟练掌握几何作图的一般步骤是解题的关键．
由作图可知，，为的垂直平分线，设，结合正切值可求出点C的坐标，再根据垂直平分线的性质可求出点B的坐标，直线所在直线为，设直线解析式为，利用待定系数法可求出解析式，联立两直线求解即可得出答案．
【详解】解：由作图可知，，为的垂直平分线，
，
，
设，
，
，，
，，
，
，直线所在直线为，
设直线解析式为，
，
解得：，
，
联立，
，
点的坐标为．
16．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．延长交于点，证明，得到，，，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，延长交于点．
平分，且，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
，
，
，
故答案为：．
17．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：，
，即，
在和中，
，
．
18．
【分析】本题考查了分式方程的求解，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
先去分母，即分式方程的两边同乘，整理为一元一次方程，再去括号移项并合并同类项求解即可．
【详解】解：分式方程为：，
整理可得，
两边同乘，可得，
去括号可得，，
移项并合并同类项可得，，
经检验，是原方程的解，
∴该分式方程的解为．
19．（1），；（2）
【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、分式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
（1）根据分式的运算法则以及因式分解进行计算即可；
（2）根据分式的运算法则以及因式分解进行计算即可．
【详解】解：（1）原式，
当时，原式；
（2）原式
．
20．；当时，原式．
【分析】本题考查分式化简求值，分式有意义的条件．
按照运算法则对原式进行化简，根据分式有意义的条件，选择合适的的值，代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，
原式
，
当时，，分式无意义，
∴当时，原式．
21．任务1：长和宽相等，见解析；任务2：合理，理由见解析
【分析】本题考查了整式乘法的应用、圆柱体和长方体体积与表面积计算，
任务1：观察表格可得结论：矩形的面积一定时，长和宽相等时周长最小，根据过程由即可得出结论.
任务2：分别计算长方体和圆柱体的的表面积即可得出结论.
【详解】解：任务1：长和宽相等
设两邻边长分别为和（均为非负数），则，得．
矩形周长为．
所以，即矩形为正方形时，周长最小．
任务2：长方体的体积，圆柱体的体积,
长方体的表面积为：．
圆柱体的表面积为：．
因为，所以改为圆柱体更节省材料．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，由四边形是平行四边形，得，，从而得到，根据全等三角形的判定证得，根据全等三角形的性质得到，由圆的切线的判定定理即可证得结论；
（2）由已知条件求得，，再利用勾股定理得到，进而求出，根据等腰三角形的判定定理和等边三角形的判定定理证得，可得，由扇形的面积公式求得，根据阴影部分面积为即可求得结论．
【详解】（1）证明：与相切．
理由如下：连接，如图所示：
在中，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：点是的中点，
，
，
，，
在中，，，
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
阴影部分面积为；
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系、含直角三角形的性质、扇形面积计算，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证得．
23．；当时，原式=4
【分析】先求出不等式组的解集，得到整数解，再对原代数式进行化简，确定合适的x的值代入求解即可．
【详解】解：
由①得：，
由②得：，
∴该不等式组的解集为：，
∴整数解为，0，1，2，
=
=
=
=；
∵，
∴
∴可取，
∴原式=，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和分式的化简求值，涉及到了分式的加减乘除混合运算，解题关键是掌握解不等式的方法和分式的运算法则等知识．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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