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江苏省无锡市经开区太湖高级中学 2026届高三上学期 10月阶段测试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { | 3 = 4 }， = { || 2| < 3}，则 ∩ =( )
A. ( 1,2) B. { 2,0} C. {0,2} D. { 2,0,2}
2.若复数 满足i = 3 + 4i，则| | =( )
A. 1 B. 5 C. 7 D. 25
3.等差数列{ }的前 项和为 ，且9 1，3 2， 3成等比数列.若 1 = 3，则 4 =
A. 7 B. 8 C. 12 D. 16
4.已知向量 ， 满足| | = 1，| + | = √ 7，且( ) ⊥ ，则| | =( )
2√ 6
A. 1 B. C. √ 2 D. √ 6
3
π π 2
5.已知 ∈ (0, ) , sin ( ) = ，那么sin 等于( )
2 3 3
√ 5+2 √ 15 2 √ 5 2 √ 15+2
A. B. C. D.
3 6 3 6
π π 1
6.已知函数 = sin (2 )的定义域为[ , ]，值域为[ 1, ]，则 的取值范围是( )
6 2 2
5π 7π 5π 2π 7π 2π
A. [ , ] B. [ , π] C. [ , ] D. [ , π]
6 6 6 3 6 3
7.某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度 ，选取了在同一水平面上的 ， ， 三处，如图.已知在 ，
， 处测得该建筑顶部 的仰角分别为30 ，45 ，60 ， 是 的中点， = 10米，则该建筑的高度
=( )
A. 10√ 2米 B. 5√ 6米 C. 5√ 3米 D. 5√ 2米
8.已知圆 ： 2 + ( 3)2 = 4，过点(0,4)的直线 与 轴交于点 ，与圆 交于 ， 两点，则
( + )的取值范围是( )
A. [0,1] B. [0,1) C. [0,2] D. [0,2)
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{ }的前 项和 =
2 4 ，则( )
A. 2为{ }中的最小项 B. = 2 5

C. 数列{ }是等差数列 D. | 1| + | 2| + + | 10| = 67
10.下列选项中正确的是( )
A. 705°与 15°是终边相同的角
3
B. 若一扇形的圆心角为15°，半径为3 ，则该扇形面积为 πcm2
4
1 2
C. 向量 = (1,2)，向量 = ( 1,0),则 在 上的投影向量是( , )
5 5
π
D. 函数 = sin2 的图象可由函数 = cos2 的图象向右平移 之后得到
4

11.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, < < )的部分图象如图，则( )
2 2

A. = √ 3 B. 函数 ( + )的图象关于 轴对称
3

C. 函数 ( + )在(0, )上单调递减 D. 函数 ( )在(0,2 )有4个极值点
3 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.设 为复数 的共轭复数，若复数 满足 2 + + 3 = 0，则 + = ．
3
13.设 是数列{
+1
}的前 项和， = 2 3 则 = ．
3 4 π π
14.点 1 ( , )为锐角 的终边与单位圆的交点， 1逆时针旋转 得 2， 2逆时针旋转 得 ，…，5 5 3 3 3
π
1逆时针旋转 得 ，则cos2 = ，点 2025的横坐标为 ． 3
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
3
cos( + )cos( + )
已知函数 ( ) = 2 2 ．
sin( )cos(2 )
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7
(1)求 ( )值；
4
sin (sin +cos )
(2)若 ( ) = 2，求 2 的值． 1+sin
16.(本小题15分)
2
+ 2 2
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2．
cos
(1)求 ；
cos cos
(2)若 = 1，求△ 面积．
cos + cos
17.(本小题15分)
已知正项数列的{ }的前 项为 ，且满足2√ = + 1，等比数列{ }是递增数列， 1 = 1， 为其前
项和，且满足5 2 = 4．
(1)分别求{ }，{ }的通项公式；
(2)当 > 0时，若 ≤ + 1对任意的 ∈ N 恒成立，求实数 的最大值．
18.(本小题17分)
如图，半圆 的直径为2， 为直径延长线上的一点， = 2， 为半圆上任意一点，以 为一边作等边三
角形 ，设∠ = (0 < < π)
(1)当 = 60°时，求 的外接圆面积；
(2)当 为何值时，四边形 面积最大，最大值为多少；
(3)当 为何值时， 长最大，最大值为多少．
19.(本小题17分)
2
已知 为正整数，数列{ }满足 > 0，4( + 1)
2 2
+1 = 0，设数列{ }满足 =

．

(1)求证：数列{ }为等比数列；
√
(2)若数列{ }是等差数列，求实数 的值；
(3)若数列{ }是等差数列，前 项和为 ，对任意的 ∈ ，均存在 ∈
，使得8 21
4 21 = 16
成立，求满足条件的所有整数 1的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.2(2 + 1) × 3
7 3+4√ 3
14. / 0.28 ；
25 10
sin sin
15.解：(1) ( ) = = tan ，
sin cos
7π 7π π π
所以 ( ) = tan = tan( ) = tan = 1．
4 4 4 4
(2) ( ) = tan = 2，所以tan = 2，
sin (sin +cos ) sin2 +sin cos tan2 +tan 2
1+sin2
=
2sin2
=
+cos2 2tan2
= ．
+1 3
2
+ 2 2 2 cos
16.解：(1)根据余弦定理， = = 2 = 2，所以 = 1．
cos cos
(2)方法一：根据正弦定理，
cos cos sin cos sin cos sin sin( ) sin
= = = 1，
cos + cos sin cos +sin cos sin sin( + )
∴ sin( ) sin = sin( + )，
1 √ 3
∴ 2sin cos = sin 又 ≠ 0，则cos = ，∴ sin = ，
2 2
1 1 √ 3 √ 3
∴ △ = sin = × 1 × = ． 2 2 2 4
2 2
+ 2 2 2+ 2
方法二：∵ cos = , cos = ，
2 2
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2 2
cos cos 2 2 2 2
∴ = = = 1，
cos + cos 2 2 2
∴ 2 2 = 2，即 2 + 2 2 = ，
2
+ 2 2 1
∴ cos = = = ，
2 2 2
√ 3
∴ sin = ，
2
1 1 √ 3 √ 3
∴ △ = sin = × 1 × = ． 2 2 2 4
17.解：(1)由于2√ = + 1，故4 =
2
+ 2 + 1 ①
当 ≥ 2时4 2 2 1 = 1 + 2 1 + 1 ②① ②得4 = + 2
2
1 2 1
∴ ( 1)( + 1) = 2( + 1)
∵ > 0, ∴ 1 = 2( ≥ 2)
故{ }是以2为公差的等差数列
+1 2
又当 = 1时， 1 = (
1 ) 得 21 2 1 + 1 = 0，∴ 2 1 = 1
∴ = 1 + ( 1) 2 = 2 1，
等比数列{ }是递增数列， 1 = 1，故公比 > 1，
1 4
由5 2 = 4可得5 =
4 = = 1 + 22 ，解得 = 2， 2 1
故 = 2
1
( + )
(2)数列{ }的前 项和
1 2
= = ， 2
1 2
数列{ }的前 项和 = = 2 1， 1 2
2
由 ≤ + 1可得
2 ≤ 2 ，故 ≤
2
对任意的 ∈ N 恒成立，
2 22 2 +1 2 2 +1 2 2 ( +1) 2 ( 2 2 1) 2 [( 1) 2]
设 ( ) = ，则 ( + 1) ( ) = = = = ，
2 2( +1) 2 2
2 2 2
( +1) 2( +1) 2( +1)
22 [( 1) 2]
当 ≥ 3时， ( + 1) ( ) = > 0，则 ( + 1) > ( )，故 ( )单调递增；
2
2
( +1)
2
2 [( 1) 2]
当 ≤ 2时， ( + 1) ( ) = 2 < 0，则 ( + 1) < ( )， ( )单调递减，
2( +1)
8
又 (2) = 1， (3) = ，
9
8
故 ( )min = (3) = ， 9
8 8
∴ 0 < ≤ ，故实数 的最大值为
9 9
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18.解：(1)在 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos = 4 + 1 4cos = 5
4cos ，
1
当 = 60°时， 2 = 5 4 × = 3，故 = √ 3，
2
1
因此 的外接圆半径为 = π = 1，故外接圆的面积为π， 2 sin
3
(2) 中， 2 = 5 4cos ，
1 √ 3 5
又 = sin = sin ， =
2 = √ 3 √ 3cos
2 4 4
5 π 5
四边形 的面积为 = + = sin √ 3cos + √ 3 = 2sin( ) + √ 3， 4 3 4
∵ 0 < < π，
π π 2π
∴ < < ，
3 3 3
π π 5 5
∴当 = ，即 = π时，四边形 的面积最大，且最大值为2 + √ 3．
3 2 6 4
sin∠ sin
(3)在 中，sin∠ = = ，
√ 5 4cos
2 cos
∠ 为锐角，∴ cos∠ = √ 1 sin2∠ =
√ 5 4cos
1 2 cos √ 3 sin 2 cos √ 3sin
∴ cos∠ = cos(∠ + 60 ) = × × =
2 √ 5 4cos 2 √ 5 4cos 2√ 5 4cos
在 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 2√ 3sin 2cos + 5 =
π
4sin ( ) + 5，
6
π
∴ = √ 4sin ( ) + 5, ( ∈ (0, π))
6
π π 5π
∵ ∈ ( , )，
6 6 6
π π 2
∴当 = ，即 = π时， 有最大值，且最大值为3．
6 2 3
19.解：(1) ∵ 4( + 1) 2
2
+1 = 0，
2 2
∴ +1

= 4 ，
+1
又 > 0，
+1 ∴ = 2 ，
√ +1 √
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∴数列{ }是首项为 1，公比为2的等比数列． √

(2)由(1)得 = 2 11 ， √
∴ 1 = 1 2 √ ，
2 2 1
∴ =
1 4
= ．
∵数列{ }是等差数列，
∴ 2 2 = 1 + 3，
2×4×2 2 21 1 ×4
2×3
∴ 2 × 2 = +
1
3 ，解得 = 4或 = 12．
2 4 1 2
当 = 4时， 1 = =
1，是关于 的一次函数，因此数列{ }是等差数列； 4 4
2 2
当 = 12时， = 1
(1 2 )
，由于
1
+1 = +1 ，不是常数，因此数列{ }不是等差数列． 4×3 4×3
综上可得 = 4．
2
(3)由(2)得 1 = ， 4
对任意的 ∈ ，均存在 ∈ ，使得8 21
4
1
2 = 16 成立，
4 1
2
即有8 1 ( + 1)
4
1
2 = 16 1，
8 4
2
化简得 = 1，
4
2
4 当 1 = 2 , ∈ 时， = =
2，对任意的 ∈ ，符合题意；
4
当 1 = 2 1, ∈ 时，
2 2
(2 1) 4 4 +1 1
若 = 1，则 = = = 2 + ，故不符合题意．
4 4 4
综上可得，当 1 = 2 , ∈
，对任意的 ∈ ，均存在 ∈ ，使得8 21
4
1
2 = 16 成立．
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