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山东省泰安市泰山国际学校 2026届高三上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本大题共 8小题，共 40分。
1.已知全集 = {1,2,3,4,5}，集合 = {1,2}， = {1,2,3,4}，则( ) ∩ =( )
A. {5} B. {3,4} C. {3,4,5} D. {1,2,3,4,5}
2.设全集 = {0,1,2,4,6,8}，集合 = {0,4,6}, = {0,1,6}，则 ∪ U =( )
A. {0,2,4,6,8} B. {0,1,4,6,8} C. {1,2,4,6,8} D.
( 2), > 0
3.已知 ( ) = { ，则 (log27) =( ) 2 1, ≤ 0
7 1 9 3
A. B. C. D.
16 4 16 4
+5
4.不等式 2 ≥ 2的解集是
( 1)
1 1 1 1
A. [ 3, ] B. [ , 3] C. [ , 1) ∪ (1,3] D. [ , 1) ∪ (1,3]
2 2 2 2
5.已知 是函数 ( ) = 2 log1 的零点，若0 < 0 < ，则 ( 0)的值满足( )
2
A. ( 0) < 0 B. ( 0) = 0
C. ( 0) > 0 D. ( 0)的符号不确定
6.已知函数 ( ) = e ln 在区间(1,2)上单调递增，则 的最小值为( )．
A. e2 B. C. e 1 D. e 2

7.已知 = 0是函数 ( ) = 2e 2 e + 2e 3的一个极值点，则 的取值集合为( )
3
A. { | ≥ 1 } B. {0} C. {1} D.
2
8.已知函数 ( ) = 2 ln ，则“ > 5”是“函数 ( )在(1,2)上单调递减”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本大题共 3小题，共 18分。
9.设函数 ( ), ( )的定义域都为 ，且 ( ) > 0, ( ) > 0, ( )是减函数， ( )是增函数，则下列说法中
正确的有( )
A. ( ) + ( )是增函数 B. ( ) ( )是减函数
( )
C. ( ) ( )是增函数 D. 是减函数
( )
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10.下列说法中正确的有( )
1 1
A. 若 > > 0，则 < B. 若 < < 0, < ，则 <

C. 若 < , < ，则 < D. 若 3 < 3，则 2 < 2

11.若函数 ( ) = ln + + 2 ( ≠ 0)既有极大值也有极小值，则( )．
A. > 0 B. > 0 C. 2 + 8 > 0 D. < 0
三、填空题：本大题共 3小题，共 15分。
2
1 2.5 3 3 3
12.[(0.0645) ] √3 0 = ．
8
ln , ≥ 1,
13.设函数 ( ) = { 则 [ (0)] = ，若 ( ) > 1，则实数 的取值范围是 ．
1 , < 1.
14.已知 = 1和 = 2分别是函数 ( ) = 2
2( > 0且 ≠ 1)的极小值点和极大值点．若 1 < 2，
则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知集合 = { | 2 3 + 2 = 0}， = { | 2 + 3 5 = 0}，若 ∩ = ，求实数 的值
16.已知命题： ∈ [0,1]， 2 + < 0是真命题．
(1)求实数 的取值集合 ；
1
(2)设集合 = { | > 0}(其中 > 0)，若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范
+2
围．
17.已知值域为[ 1, +∞)的二次函数 ( )满足 ( 1 + ) = ( 1 )，且方程 ( ) = 0的两个实根 1, 2满
足| 1 2| = 2．
(1)求 ( )的表达式；
(2)函数 ( ) = ( ) 在区间[ 2,2]上的最大值为 (2)，最小值为 ( 2)，求实数 的取值范围．
18.已知函数 ( ) = (1 ln )．
(1)讨论 ( )的单调性；
1 1
(2)设 ， 为两个不相等的正数，且 ln ln = ，证明：2 < + < e．

19.已知函数 ( ) = e ( 1)2．
(1)若 = 1，求 ( )在(0, (0))处切线方程；
(2)求 ( )的极大值与极小值；
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0
13.0
；( ∞, 0) ∪ (e, +∞)
1
14.( , 1)

15.【详解】 = { | 2 3 + 2 = 0} = {1,2}，由 2 + 3 5 = 0，知 = 2 4(3 5) = 2
12 + 20 = ( 2)( 10)．
∩ = 等价于集合 是集合 的子集，
(1)当2 < < 10时， < 0， = ;
(2)当 ≤ 2或 ≥ 10时， ≥ 0，则 ≠ .若 = 1，则1 + 3 5 = 0，得 = 2，此时 = { | 2
2 + 1 = 0} = {1} ;
若 = 2，则4 2 + 3 5 = 0，得 = 1，此时 = {2, 1} A.
综上所述，当2 ≤ < 10时，均有 ∩ = ．
16.解：(1)由题意得： ∈ [0,1]， > + 2恒成立，令 ( ) = + 2,
∴问题转化为在 ∈ [0,1]上 > ( )max即可，又 ( )在[0,1]单调递增，
∴ ( )max = (1) = 2，故 > 2，即 = { | > 2}；
(2)由题意得： ，
≠
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由(1)知： = { | > 2}，而 为( 1)( + 2) > 0(其中 > 0)的解集，
1
所以 = { | < 2 或 < }，

1 1
∴ 2 ≥ 时，则 ≥ ．
2
17.(1)解：由 ( 1 + ) = ( 1 )，可得 ( )的图象关于直线 = 1对称，
函数 ( )的值域为[ 1, +∞)，所以二次函数的顶点坐标为( 1, 1)，
所以设 ( ) = ( + 1)2 1 = 2 + 2 + 1，
1
根据根与系数的关系，可得 1 + 2 = 2， 1 2 = ，
因为方程 ( ) = 0的两个实根 1, 2满足| 1 2| = 2
1 4
则| 1 2| = √ ( 1 + )22 4 1 2 = √ 4 4 × = √ = 2，
解得： = 1，所以 ( ) = 2 + 2 ．
(2)解：由于函数 ( )在区间[ 2,2]上的最大值为 (2)，最小值为 ( 2)，
则函数 ( )在区间[ 2,2]上单调递增，
又 ( ) = ( ) = 2 + 2 ，即 ( ) = 2 + (2 ) ，
2 2
所以 ( )的对称轴方程为 = ，则 ≤ 2，即 ≤ 2，
2 2
故 的取值范围为( ∞, 2]．
18.解：(1) ( )的定义域为(0, +∞)．
由 ( ) = (1 ln )得， ′( ) = ln ，
当 = 1时， ′( ) = 0；当 ∈ (0,1)时 ′( ) > 0；当 ∈ (1, +∞)时， ′( ) < 0．
故 ( )在区间(0,1]内为增函数，在区间[1, +∞)内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
1 1 1 1 1 1
由 ln ln = 得 (1 ln ) = (1 ln )，即 ( ) = ( )．

1 1
由 ≠ ，得 ≠ ．

1 1 1 1 1
由(1)不妨设 ∈ (0,1), ∈ (1, +∞)，则 ( ) > 0，从而 ( ) > 0，得 ∈ (1, )，

①令 ( ) = (2 ) ( )，
则 ′( ) = ln(2 ) + ln = ln(2 2) = ln[1 ( 1)2]，
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当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0， ( )在区间(0,1)内为减函数， ( ) > (1) = 0，
1 1 1
从而 (2 ) > ( )，所以 (2 ) > ( ) = ( )，

1 1 1 1
由(1)得2 < 即2 < + . ①

令 ( ) = + ( )，则 ′( ) = 1 + ′( ) = 1 ln ，
当 ∈ (1, )时， ′( ) > 0， ( )在区间(1, )内为增函数， ( ) < ( ) = ，
1 1
从而 + ( ) < ，所以 + ( ) < ．

1 1 1 1 1 1
又由 ∈ (0,1)，可得 < (1 ln ) = ( ) = ( )，

1 1 1 1
所以 + < ( ) + < . ②

1 1
由①②得2 < + < ．

ln ln 1 1 ln +1 ln +1
[方法二]【最优解】： ln ln = 变形为 = ，所以 = ．

1 1
令 = , = .则上式变为 (1 ln ) = (1 ln )，

于是命题转换为证明：2 < + < ．
令 ( ) = (1 ln )，则有 ( ) = ( )，不妨设 < ．
由(1)知0 < < 1,1 < < ，先证 + > 2．
要证： + > 2 > 2 ( ) < (2 ) ( ) < (2 )
( ) (2 ) < 0．
令 ( ) = ( ) (2 ), ∈ (0,1)，
则 ′( ) = ln ln(2 ) = ln[ (2 )] ≥ ln1 = 0，
∴ ( )在区间(0,1)内单调递增，所以 ( ) < (1) = 0，即 + > 2．
再证 + < ．
因为 (1 ln ) = (1 ln ) > ，所以需证 (1 ln ) + < + < ．
令 ( ) = (1 ln ) + , ∈ (1, )，
所以 ′( ) = 1 ln > 0，故 ( )在区间(1, )内单调递增．
所以 ( ) < ( ) = .故 ( ) < ，即 + < ．
1 1
综合可知2 < + < ．

[方法三]：比值代换
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1 1
证明 + > 2同证法2.以下证明 1 + 2 < ．

不妨设 = ，则 = 22 1 > 1， 1
ln
由 1(1 ln 1) = 2(1 ln 2)得 1(1 ln 1) = 1[1 ln( 1)]，ln 1 = 1 ， 1
要证 1 + 2 < ，只需证(1 + ) 1 < ，两边取对数得ln(1 + ) + ln 1 < 1，
ln
即ln(1 + ) + 1 < 1，
1
ln(1+ ) ln
即证 < ．
1

ln(1+ ) ln(1+ )
记 ( ) = , ∈ (0, +∞)，则 ′( ) = 1+ ．
2
1 1
记 ( ) = ln(1 + )，则 ′( ) = < 0，
1+ 2(1+ ) 1+
所以， ( )在区间(0, +∞)内单调递减． ( ) < (0) = 0，则 ′( ) < 0，
所以 ( )在区间(0, +∞)内单调递减．
由 ∈ (1, +∞)得 1 ∈ (0, +∞)，所以 ( ) < ( 1)，
ln(1+ ) ln
即 < ．
1
[方法四]：构造函数法
ln ln 1 1 1 1
由已知得 = ，令 = 1, = 2，
不妨设 1 < 2，所以 ( 1) = ( 2)．
由(Ⅰ)知，0 < 1 < 1 < 2 < ，只需证2 < 1 + 2 < ．
证明 1 + 2 > 2同证法2．

1 ln 2+ +ln
再证明 1 + 2 < .令 ( ) = (0 < < ),
′( ) = ．
2( )
1
令 ( ) = ln + 2(0 < < )，则 ′( ) = = < 0．
2 2
所以 ( ) > ( ) = 0, ′( ) > 0， ( )在区间(0, )内单调递增．
1 ln 1 ln 1 ln
因为0 < 1 < 2 < ，所以
1 < 2，即 1 > 1
1 2 1 ln 2 2
1 ln
又因为 ( 1) = ( )，所以
1 = 2 , 22 >
1 ，
1 ln 2 1 1 2
即 22 2 <
2
1 1, ( 1 2)( 1 + 2 ) > 0．
1 1
因为 1 < 2，所以 1 + 2 < ，即 + < ．
1 1
综上，有2 < + < 结论得证．

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19.解：(1)当 = 1时， ( ) = e ( 1)2， ′( ) = e ( 2 1)，
所以 = ′(0) = e0(02 1) = 1，
又 (0) = e0(0 1)2 = 1，
所以切线方程为 1 = ( 0)，即 + 1 = 0．
(2) ′( ) = e ( 1)2 + 2e ( 1) = e ( 1)( + 2)，
当 = 0时， ′( ) = 2( 1) = 0，解得 = 1，
故 < 1时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
> 1时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
故 = 1时， ( )的极小值为 (1) = 0，无极大值；
2
当 > 0时，令 ′( ) = 0，解得 1 = 1， 2 = 1 ，
2
故当 < 1 或 > 1时， ′( ) > 0， ( )单调递增，

2
当1 < < 1时， ′( ) < 0， ( )单调递减，

2 2 2 4e 2
故 ( )的极大值为 (1 ) = e 2 ( ) = ，极小值为 (1) = 0；
2
2
当 < 0时，令 ′( ) = 0，解得 1 = 1， 2 = 1 ，
2
故当 < 1或 > 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，

2
当1 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，

2 2 2 4e 2
故 ( )的极大值为 (1 ) = e 2 ( ) = 2 ，极小值为 (1) = 0；
综上，当 = 0时， ( )的极小值为 (1) = 0，无极大值；
2 4e 2
当 ≠ 0时， ( )的极大值为 (1 ) =
2
，极小值为 (1) = 0．
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