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天津市第一中学 2026届高三上学期数学统练 3试卷
一、单选题：本题共 9小题，每小题 5 分，共 45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { ∈ | < 3}，集合 = {1,2,3,4}，则 ∪ =( )
A. {1,2,3,4} B. {1,2} C. ( ∞, 3] ∪ {4} D. {0,1,2,3,4}
1 π
2.“sin = ”是“ = + 2 π， ∈ Z”的( )条件．
2 6
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.如图是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是( )
2log | | cos log ∣ ∣
A. ( ) = 2 B. ( ) =
2
2 +2 2 +2
log | | log | |
C. ( ) = 2 D. ( ) =
2
2 +2 2 +2
4.在( 1)( )6的展开式中，含 4 3项的系数为( )
A. 20 B. 20 C. 15 D. 15
5.已知等比数列{ }的公比大于1，且 3 + 4 + 5 = 28，等差数列{ }满足 2 = 3， 5 = 4 + 2， 8 =
5，则 3 + 2023 =( )
A. 2026 B. 4050 C. 4052 D. 4054
6.设 = lg6， = lg20，则log23 =
+ 1 + 1 +1 +1
A. B. C. D.
+1 1 +1 1
7.已知平面向量 = (√ 3, 1), | | = 4，且( 2 ) ⊥ ，则∣ | =( )
A. 9 B. 3 C. 4 D. 16
8.在等差数列{ }中， 1 > 0， 10 11 < 0，若此数列的前10项和 10 = 36，前18项和 18 = 12，则数列
{| |}的前18项和 18的值是( )．
A. 24 B. 48 C. 60 D. 84
π
9.已知定义在R上的函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | ≤ )在[0,1]上有且仅有3个零点，其图象关于点
2
1 1 1 √ 2
( , 0)和直线 = 对称，给出下列结论：① ( ) = ；②函数 ( )在[0,1]上有且仅有3个最值点；③函
4 4 2 2
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3 5
数 ( )在( , )上单调递增；④函数 ( )的最小正周期是2；⑤函数 ( )右移 个单位是奇函数，则 =
2 4
1
.其中所有正确结论的个数是( )
12
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 6小题，每小题 5 分，共 30分。
2
10.复数 = ，则 的实部为 ．
1+i
sin( + )
11.已知锐角 , 满足tan = 2tan = 2，则 = ．
cos( )
12.设 为数列{ }的前 项和，若 + 3 = 2 + ，则 10 =
1
13.在等腰直角三角形 中，∠ = ， = = 2， 是 中点，点 是 上一点，若sin∠ = ，
2 3
则 = ．
2
14.在 中，已知 = = 4，且| | = √ 13，则| | = ；若 为线段 的中点，点 满
足 = 2 ，且 为线段 上的动点，则 的最小值为 ．
1 1
15.已知函数 ( ) = 2 + ，函数 ( ) = + | |，其中实数 > 0.设 ( ) =
2 2
1
max{ ( ), ( )}，若不等式 ( ) ≤ 在 ∈ 上有解，则实数 的取值范围是
4
三、解答题：本题共 5小题，共 75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ，已知 sin2 = √ 3 sin ， 的面积为3√ 3, =

3√ 3
．
4
(1)求角 的大小；
(2)求 的值；
(3)求cos( )的值．
17.正方体 1 1 1 1的棱长为4， 、 分别为 1 1, 1 1中点， = 3 1．
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(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求三棱锥 的体积．
18.已知数列{ }为等差数列，数列{ }为等比数列，且 4 = 7， 1 = 1， 1 + 3 =
2
2， 2 3 = 4 3 +
2( ∈ +)．
(1)求{ }，{ }的通项公式；
, 为奇数
(2)已知 = {(3 4) ，求数列{ } 的前2 项和 2 ； , 为偶数
+2
1 2
(3)求证：∑ =1 < ． +1log2 3
19.已知函数 ( ) = e 1， ( ) = ln( + 1)．
(1)若 ( ) ≥ ( )在(0,+∞)上恒成立，求 的取值范围；
(2)设 ( 1, 1)( 1 > 0)为 = ( )图象上一点， ( 2, 2)( 2 > 0)为 = ( )图象上一点， 为坐标原
点，若∠ 为锐角，证明： 2 >
2
1．
20.已知数列{ }满足：① ∈
， 是{ }的前 项和；②对于 ∈
，从集合 = { 1, 2, , }中
不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数 1， 2，…，
( ≠ , = 1,2, , , = 1,2, , )；③ 1， 2，…， 与 1， 2，…， 一起恰好组成数列{ }: =
(1 ≤ ≤ )．
(1)求 1， 2的值．
(2)(ⅰ)求数列{ }的通项公式；
9 +1 1 1
(ⅱ)对于数列{ }，若 = 1，
+1
1 = + 1，证明：当 ≥ 3时， > × ( ) ． +1 5 2 3
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 1
11.1
12.513
13.√ 2
14.3
10
；
13
√ 2 1
15.(0, )
2 8
16.【详解】(1)因 sin2 = √ 3 sin 和正弦定理，sin sin2 = √ 3sin sin ，
又 ∈ (0, π)，所以sin > 0，所以sin2 = √ 3sin ，
又sin2 = 2sin cos ，所以2sin cos = √ 3sin ，
√ 3
又 ∈ (0, π)，所以sin > 0，所以cos = ，
2
π
= ；
6
1
(2)因 = sin = 3√ 3，解得 = 12√ 3， 2
3√ 3 3√ 3 3√ 3
又因 = ，即 = ，代入上式可得： 2 = 12√ 3，解得 = 4，故 = 3√ 3，
4 4 4
由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 cos = 27 + 16 36 = 7，
故得 = √ 7；
(3)由(2)已得 = √ 7， = 3√ 3， = 4，
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2+ 2
2
7+16 27 √ 7
由余弦定理，可得cos = = =
2 8√ 7 14
因sin2 + cos2
√ 7 3√ 21
= 1且 ∈ (0, π)，故sin = √ 1 cos2 = √ 1 ( )2 = ，
14 14
√ 7 √ 3 3√ 21 1 √ 21
所以cos( ) = cos cos + sin sin = × + × = .
14 2 14 2 14
17.【详解】(1)法一、在正方形 1 1中，
1
由条件易知tan∠ 1 =
1 = = 1 = tan∠ ，所以∠ = ∠ ，
1 2
1 1 1
1
π
则∠ 1 + ∠ 1 = = ∠ 2 1
+ ∠ 1 ，
π
故∠ = π (∠ 1 + ∠ 1 ) = ，即 ⊥ ， 2
在正方体中，易知 1 1 ⊥平面 1 1，且 // 1 1，
所以 ⊥平面 1 1，
又 平面 1 1，∴ ⊥ ，
∵ ∩ = , 、 平面 ，∴ ⊥平面 ；
法二、如图以 为中心建立空间直角坐标系，
则 (4,4,0), (2,0,4), (2,4,4), (0,4,3)，
所以 = (0,4,0), = (2,4, 4), = ( 2,0, 1)，
设 = ( , , )是平面 的一个法向量，

则{
= 4 = 0，令 = 2，则 = 0, = 1，所以 = (2,0,1)，
= 2 + 4 4 = 0
→ →
易知 = ，则 也是平面 的一个法向量，∴ ⊥平面 ；
(2)同上法二建立的空间直角坐标系，
所以 = ( 2,4, 1), = ( 4,0,3)，
由(1)知 是平面 的一个法向量，
= 2 + 4 = 0
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，所以{ ,
= 4 + 3 = 0
令 = 6，则 = 8, = 5，即 = (6,5,8)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
| | 20 4
则cos = |cos , | = = = ；
| | | | √ 5×√ 125 5
(3)由(1)知 ⊥平面 1 1， 平面 1 1，∴ ⊥ ，
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1 1
易知 = = × 4 × √ 4
2 + 22 = 4√ 5，
2 2
| |
又
8
= (2,0,4)，则 到平面 的距离为 = = ，
| | √ 5
1 1 8 32
由棱锥的体积公式知： = × = × × 4√ 5 = ． 3 3 √ 5 3
18.【详解】(1)设等差数列{ }的公差为 ，等比数列{ }的公比为 ，

由 4 14 = 7， 1 = 1得 = = 2，所以 = 2 1， 4 1
1 + = 9
由 1 +
2
3 = 2， 2 3 = 4
3
3 + 2( ∈ +).得{ , 3 3 = 20 + 2
= 2
所以 3 = 8， 2 = 4，故{
1 ，所以 = 2 ．
= 2
(2)当 是奇数时， = (2 1) 2
，
(6 7)2 2 +2 2
当 是偶数时， = = ， (2 1)(2 +3) 2 +3 2 1
则∑ 1 =1 2 1 = 1 × 2 + 5 × 2
3 + 9 × 25 + +(4 3) 22 1①

4 ∑ = 1 × 232 1 + 5 × 2
5 + 9 × 27 + +(4 3) 22 +1②
=1
① ②得： 3∑ 3 5 =1 2 1 = 2 + 4 × 2 + 4 × 2 + +4 × 2
2 1 (4 3) 22 +1
即 3∑ =1 2 1 = 2 + 4(2
3 + 25 + +22 1) (4 3) 22 +1
23 1(1 4 )
= 2 + 4 × (4 3) 22 +1
1 4
(12 13) 2
2 +1+26
化简得：∑ =1 2 1 = ． 9

22 +2 22 24 22 26 24 22 +2 22
∑ 2 = ∑ ( ) = ( ) + ( ) + +( ) 4 + 3 4 1 7 3 11 7 4 + 3 4 1
=1 =1
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22 +2 22 4 +1 4
= =
4 + 3 3 4 + 3 3
2 +1 +1
所以 = ∑2 = ∑
(12 13) 2 +14 4
2 =1 =1 2 1 + ∑ =1 2 = + ． 9 4 +3
1 1 1 2 2 1 1
(3) = = = < = ，
log i+1 log 2i
(2i+1) i(2i+1) 2i(2i+1) (2i 1)(2 +1) 2i 1 2i+1
2 i 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1当 ≥ 2时，∑ =1 < + + + + = ， (2 +1) 1×3 3 5 5 7 2 1 2 +1 3 2 +1
1 2 1 2
因为 > 0，所以 < ；
2 +1 3 2 +1 3
1 2 1 2
当 = 1时， < 也成立.故∑
3 3 =1
< ．
+1log2 3
19.【详解】(1)令函数 ( ) = ( ) = e 1, > 0，求导得 ′( ) = e 1 > 0，
则函数 ( )在(0,+∞)上单调递增，从而 ( ) > (0) = 0，即e > + 1，因此 > ln( + 1) > 0，
当 ≤ 1时， ln( + 1) ≤ ln( + 1) < < e 1，符合题意；
当 > 1时，令函数 ( ) = ( ) ( ) = e 1 ln( + 1)， > 0，
则 ′

( ) = e ， ′( )在(0,+∞)上单调递增，且 ′(0) = 1 < 0， ′(ln ) = > 0，
+1 1+ln
则存在 0 ∈ (0, ln )，使得
′( 0) = 0，且 ∈ (0,
′
0)时， ( ) < 0，即 ( )单调递减，
则当 ∈ (0, 0)时， ( ) < (0) = 0，与题意矛盾，
所以 的取值范围是 ≤ 1．
(2)依题意，由cos∠ > 0，得 > 0，即 1 2 + 1 2 > 0，亦即 1 2 > (e
1 1)ln( 2 + 1)，
ln( +1)
因为 1, 2 > 0，则不等式为
1 2
e
> ，
1 1 2
ln( 3+1) ln( 2+1)设 13 = e 1，则不等式为 > ， 3 2

ln( +1) ln( +1)
设 ( ) = , > 0，则 ′( ) = +1
2
，
1 1
设 ( ) = ln( + 1)，则 ′( ) = 2 = 2 < 0，函数 ( )在(0,+∞)上单调递减， +1 ( +1) +1 ( +1)
因此 ( ) < (0) = 0，即 ′( ) < 0，即 ( )在(0,+∞)上单调递减，
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因此由 ( 3) > ( 2)，得
1
3 < 2，即e < 2 + 1，设 ( ) = e
2 1，则 ′( ) = e 2 ，
由(1)可知e > + 1，则有e 1 > ，从而e > e > 2 ，即 ′( ) > 0， ( )在(0,+∞)上单调递增，
因此 ( ) > (0) = 0，从而e > 2 + 1，因而 1 22 + 1 > e > 1 + 1，
所以 2 >
2
1．
20.【详解】(1)令 = {1,2, }，显然 1 = 1 = 1，
由 2 = {1,2 2} = {1, 2, | 2 1|, 2 + 1} = {1,2,3,4}，
∴ 1 + 2 = 4, ∴ 2 = 3．
(2)( )由{ 1, 2, }按上述规则产生1～ 共 个正整数，
而{ 1, 2 , +1}产生1～ +1共 +1个正整数则 +1个正整数包含①1,2,3, ，
② +1, +1 + , | +1 | ( = 1,2,… )，
1 1
故 +1 = 3 + 1, ∴ +1 + = 3( 2 + )， 2
1 3 1
∴ + = × 3
1, ∴ = (3
1)，
2 2 2
1
当 ≥ 2时∴ = 1 = (3
3 1) = 3 1，
2
又∵ 1 = 1，∴ = 3
1．
4 44
( )由 +1 = + 1 > 1 ∴ +1 > , 1 = 1, 2 = , = ， 3 3 3 27
∴当 ≥ 2时， > 1，

由 +1 = ( + 1) , ∴ +1 3
= > ( ≥ 2)， 3 3
∴当 ≥ 3时， = 3 + ( 4 3) + ( 5 4) + + ( 1)
44 3 4 1
≥ + ( + + + )
27 33 34 3 1
3 4 1
令 = 3 + 4 + + 1， 3 3 3
1 3 1 1
∴ = + + + ，
3 34 3 1 3
1 1 4
4[1 ( ) ]2 1 1 1 1 1 3 3 1 7 2 +1 1

∴ = + ( 4 + + 1) = + = ( ) ， 3 9 3 3 3 9 1

1 3 54 2 3
3
7 2 +1 1 1
∴ = ( ) ，
36 4 3
44 7 2 +1 1 1 9 2 +1 1 1 9 +1 1 1
∴ ≥ + ( ) > ( ) > ( ) ． 27 36 4 3 5 4 3 5 2 3
第 8 页，共 9 页
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