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雨河中学九年级数学2025-2026年秋期期中考试题
一、选择题（36分）
1.已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
2.观察下列四个图形，中心对称图形是( )
A. B. C. D.
3.用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为( )
A. B. C. D.
4.下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 三角形的外心到三边的距离相等 B. 某射击运动员射击一次，命中靶心
C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 抛一枚硬币，落地后正面朝上
5.把抛物线向下平移1个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为( )
A. B.
C. D.
6.若正六边形的外接圆半径长为4，则它的边长等于( )
A. 4 B. 2 C. D.
7.如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，则截面上有油部分油面单位：等于( )
A. 8cm
B. 9cm
C. 10cm
D. 11cm
8.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. B. 3是方程的一个根
C. D. 当时，y随x的增大而减小
9.如图，点O为 ABCD对角线的交点，过点O的直线交AD，BC于点E，F，则下列说法错误的是( )
A. 平行四边形ABCD是中心对称图形 B.
C. D.
10.如果等腰的两边长分别是方程的两个根，则的周长为( )
A. 12 B. 9 C. 12或9 D. 10
11.如图，已知CD为的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若的度数是，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
12.一元二次方程的解是( )
A. 0 B. 0或2 C. 2 D. 此方程无实数解
二、填空题（12分）
13.抛物线的顶点坐标为______.
14.已知关于x的方程的一个根是，则 .
15.如图，四边形ABCD内接于，E为CD延长线上一点，若，则的度数是______.
16.如图，在中，，，，则的内切圆半径______.
三、解答题（52分）
17.已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
18.如图，抛物线交x轴于A，B两点在B左侧，交y轴于点已知一次函数的图象过点A，
求抛物线的对称轴和一次函数的解析式；
根据图象，写出满足的x的取值范围．
19.如图，以的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，
求证：AC是的切线；
已知圆的半径，，求DF的长．
20.如图，在等腰直角中，，
作，使它过点A、B、要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
在所作的圆中，求出劣弧的长．
21.在淘宝网店，某种服装的进化价为60元，据市场调查，当每件服装的销售价定为80元时，每月可卖200件，当每件的销售价每涨1元，每月的销售数量将减少5件，如果每件服装的销售价涨x元，当x为何值时，该月获得的总利润元最大？并求出最大利润？
22.如图所示，的直径AB为10cm，弦AC为6cm，的平分线交于D，求BC，BD的长．
23.如图，抛物线的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点，在抛物线上，M为抛物线顶点．
求抛物线解析式；
求顶点M及直线MC的解析式；
求抛物线上是否存在点P，使的面积等于的面积？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根的判别式．
由根的判别式，可得，则选项A正确；将代入一元二次方程中可得，则选项B正确；利用根与系数的关系得，，则选项C正确，选项D错误．
【解答】
解：，
，
故选项A正确，不符合题意；
是一元二次方程的实数根，
，
故选项B正确，不符合题意；
，是一元二次方程的两个实数根，
，，
故选项C正确，不符合题意；选项D错误，符合题意．
故选
2.【答案】C
【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
方程移项变形后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．
【解答】
解：方程移项得：，
配方得：，即
故选：
4.【答案】C
【解析】解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，只有三角形是等边三角形时才符合，故本选项不符合题意；
B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
C、三角形的内角和是，是必然事件，故本选项符合题意；
D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意.
故选：
必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．
解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5.【答案】B
【解析】解：向下平移1个单位，再向左平移1个单位，
平移后的抛物线的顶点坐标为，
平移得到的抛物线的解析式为
故选：
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并确定出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形求解是解题关键．
根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．
【解答】
解：如图，正六边形的中心角，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
故正六边形的外接圆半径等于4，则正六边形的边长是
故选：
7.【答案】A
【解析】解：如图；连接OA；
根据垂径定理，得；
中，，；
根据勾股定理，得：
；
；
故选：
根据垂径定理，易知AC、BC的长；连接OA，根据勾股定理即可求出OC的长，进而可求出CD的值．
此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用．
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是从抛物线中的得到正确信息．
二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，根据对称轴和与x轴的一个交点可以判断B，根据对称轴对应的函数值可以判断C，根据二次函数的性质可以判断
【解答】解：因为抛物线开口向下，因此，故此选项错误；
B.根据对称轴为，一个交点坐标为可得另一个与x轴的交点坐标为因此3是方程的一个根，故此选项正确；
C.把代入二次函数中得：，由图象可得，，故此选项错误；
D.当时，y随x的增大而增大，故此选项错误；
故选：
9.【答案】C
【解析】解：平行四边形是中心对称图形，故选项A不合题意；
点O为 ABCD对角线的交点，过点O的直线交AD，BC于点E，F，
，，故选项B、D不合题意；
，故选项C符合题意．
故选：
根据平行四边形是中心对称图形，对称中心的对角线的交点判断即可．
此题主要考查了中心对称图形以及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
10.【答案】A
【解析】解：解方程，得，，
当5为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为；
当2为腰，5为底时，，不能构成等腰三角形．
故周长为
故选：
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．
本题主要考查三角形三边关系、等腰三角形的定义、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：，
，
，
故选
根据平行线的性质可证，又根据三角形外角与内角的关系可证
此题很简单，考查的是两直线平行的性质及三角形外角与内角的关系的知识．
12.【答案】B
【解析】解：原方程变形为：
，
故选：
本题应对方程左边进行变形，提取公因式x，可得，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为”，即可求得方程的解．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
13.【答案】
【解析】解：顶点坐标是
故答案为：
直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．
此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出顶点坐标是考查重点同学们应熟练掌握．
14.【答案】
【解析】解：因为一元二次方程有一个根为，
所以，
解得：，
故答案为：
将代入一元二次方程，即可求得k的值，本题得以解决．
本题考查了一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出k的值．
15.【答案】
【解析】解：四边形ABCD内接于，
，
，
，
故答案为：
根据圆内接四边形的性质求出，根据邻补角的概念计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
16.【答案】1
【解析】解：如图，设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，
则，，，
设半径为r，，
，，，
，
，，
，
的内切圆的半径为
故答案为：
首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示AF和BF，而它们的和等于AB，得到关于r的方程，即可求出．
此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键．
17.【答案】解：
关于x的方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得
【解析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围．
本题主要考查根的判别式，掌握根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
18.【答案】解：，
当时，，
解得：或，
即A点的坐标是，B点的坐标是，
抛物线的对称轴是直线；
，
党时，，
即点C的坐标是，
把和点代入得：，
解得：，，
即一次函数的解析式是；
抛物线与一次函数的交点为，，
的x的取值范围是
【解析】先根据二次函数的解析式求出A、B、C的坐标，再根据A、B的坐标求出抛物线的对称轴即可；再把A、C的坐标代入，求出k、b的值即可；
根据A、C的坐标，结合两函数的图象即可得出不等式的解集．
本题考查了二次函数与不等式组，用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数与x轴的交点问题等知识点，能求出A、B、C的坐标是解此题的关键．
19.【答案】证明：连结OA、OD，如图，
为BE的下半圆弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的切线；
解：圆的半径，，
，
在中，，，

【解析】本题考查切线的判定，以及勾股定理．
连结OA、OD，根据垂径定理的推理，由D为BE的下半圆弧的中点得到，则，再由得到，根据对顶角相等得，所以，由，则，于是根据切线的判定定理即可得到AC是的切线；
由于圆的半径，，则，然后在中利用勾股定理计算DF的长即可．
20.【答案】解：如图，为所作；
在等腰直角中，，，
，
线段AB的垂直平分线交AB于O点，
，，
劣弧的长
【解析】先作线段AB的垂直平分线交AB于O点，然后以O为圆心，OA为半径画圆即可；
先利用等腰直角三角形的性质求出AB的长，那么，又，将它们代入弧长公式计算即可．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了弧长的计算．
21.【答案】解：设每件服装的销售价涨x元，获得利润为w元，由题意得：
，
，抛物线开口向下，
当时，w有最大值，最大值为3500，
每件服装的销售价涨10元，该月获得的总利润元最大，最大利润为3500元．
【解析】每件服装的销售价涨x元，获得利润为w元，根据总利润等于单件利润与销售量的乘积列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
本题考查二次函数的应用，关键是利用等量关系写出函数解析式．
22.【答案】解：是直径
在中，，，
又CD平分，
，
，
又在中，

【解析】根据直径所对的角是，判断出和是直角三角形，根据圆周角的平分线交于D，判断出为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值．
此题考查圆周角问题，解答此题要抓住两个关键，
判断出和是直角三角形，以便利用勾股定理；
判断出线段，然后将各种线段转化到直角三角形中利用勾股定理解答．
23.【答案】解：将点，代入抛物线得；
，
解得，
抛物线解析式；
由知抛物线解析式，
，
点M坐标，
设直线MC表达式为，将点M、C代入得，
，
解得，
直线MC的表达式；
存在点、、、，使的面积等于的面积
证明如下：如图，直线MC交x轴于点E，
将代入抛物线，
解得，，
点B坐标为，
将代入直线，
解得，
点E坐标，
，，
，
，
解得或，
①当时，即，
解得，，
此时点P坐标或；
②当时，即，
解得，，
此时点P坐标或；
综上所述，存在点、、、，使的面积等于的面积．
【解析】利用待定系数法，将点，三点代入抛物线解析式求解；
利用配方法将抛物线解析式配成顶点式，得到顶点M的坐标，利用待定系数法求出直线MC的解析式：
利用直线MC的解析式求出与x轴的交点坐标E，利用求出三角形的面积，表示出的面积，得到P点的两个纵坐标，对应求解．
本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求解二次函数和一次函数表达式、坐标系内三角形面积的求法，第三问的解题关键是利用面积相减法求解，需要讨论点P的纵坐标为正负的情况．

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