资源简介

题1数据38,42,42,43,45,45,45的众数是 ( )
A.38 B.42 C.43 D.45
题2二次函数图象的顶点坐标为 ( )
A.(3,2) B.(3,-2) C.(-3,2) D.(-3,-2)
题3如图，圆形转盘被分成4个面积相等的扇形区域，在上面依次写上数字1、2、3、4，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时（若指针恰好停在等分线上，则重转一次），指针指向区域所标数字为偶数的概率是 ( )
A. B. C.
（第3题图） （第5题图）
（第8题图）
题 4若关于x的一元二次方程有一根为2，则k的值是 ( )
A.0 B.2 C.4 D.6
题5如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔．已知正方形面积是圆面积的，设圆的半径为xcm，则可列方程为 ( )
A. B. C. D.
题6已知点在二次函数其中a为常数，且a>0)的图象上，则的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
题7根据统计数据显示，我国某民营科技公司近三年的收入逐年增加．2022年至2024年该公司收入由6423亿元增加到8621亿元．设该公司2022年至2024年收入的年平均增长率为x，则可列方程为 ( )
A.6423(1+2x)=8621 B.6423×2(1+x)=8621
C. D.
题8二次函数其中a,b,c为常数，且a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①②3a+b<0;③④为实数）.其中，正确的个数为（
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
题9数据20,20,30,40,50的中位数是 ．
题10 二次函数的图象与y轴的交点坐标是
题11甲、乙两位同学参加学校组织的射击选拔赛，每人射击10次，射击成绩的平均数都是9环方差分别是=3.8,，则这10次射击成绩较稳定的是＿（填“甲”或“乙”）
题12设是一元二次方程的两个根，则
题13 为了丰富学生的午餐种类，某校食堂销售三种午餐盒饭，且三种午餐盒饭的有关数据如图所示，则该食堂销售午餐盒饭的平均价格为 元.
题14在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿x轴翻折，所得抛物线相应的函数表达式为
题15二次函数其中a,b,c为常数，且a≠0)的图象过点A(-1,20),B(1,m),C(5,m),D （6,13)，其中m为常数，则的方程的解为 .
题16 如图1，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，点F是AB边上的一个动点，连接EF，作FGLFE，交BC于点G，设AF=x,BF+BG=y.．图2是点F从点A运动到点B的过程中，y关于x的函数图象．当x=2.5时，y的值最大，最大值是a，则a的值是
（第13题图）
（第16题图）
三、解答题（本大题共11小题，共82分．）
题17（本题满分8分）
解方程：;
题18（本题满分5分）
已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
题19（本题满分6分）
苏州的古镇以江南水乡风貌和深厚历史文化闻名，粉墙黛瓦与小桥流水相映成趣.小超同学计划在元旦假期从A：周庄古镇，B：黎里古镇，C：沙溪古镇，D：古里古镇，四个古镇中随机选择部分古镇游玩.
（1）小超同学选择C：沙溪古镇游玩的概率是＿；
（2）若小超同学从A,B,C,D四个古镇中任选两个去游玩，求选择B,C两个古镇游玩的概率．（用列表或画树状图的方法说明）
题20（本题满分6分）
将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移m个单位；
（1）若m=3，则所得二次函数图象的函数表达式为 ＿；
（2）若平移后所得二次函数的图象经过点（-4,9)，求平移后所得抛物线的函数表达式．
题21（本题满分8分）
某校为了解学生暑期锻炼情况，采用简单随机抽样的方法，对本校学生暑假每天在家锻炼的时间（用x表示，单位：分钟）进行了抽样调查，把所得数据分组整理，并绘制成频数分布直方图.
学生每天在家锻炼时间频率分布表
(1)a= ;
（2）补全频数分布直方图（画图后标注相应数据）；
（3）该校共有600名学生，根据抽样调查的结果，估计该校学生暑期每天在家锻炼的平均时间不低于90分钟的人数.
学生每天在家锻炼时间频率分布表
时间x（分钟） 频率
0.1
0.2
0.4
a
0.1
合计 1
学生每天在家锻炼时间频数分布直方图
题22（本题满分6分）
如图，已知一次函数y=x+1的图象与二次函数的图象交于A,B两点，该二次函数图象的顶点为C，连接AC,BC.
（1）求点C的坐标；
（2）求ΔABC的面积．
题23（本题满分6分）
如果关于x的一元二次方程其中a,b,c为常数，且a≠0)有两个实数根.且其中一个根等于另一个根的2倍减去1，那么称这样的方程为“倍差方程”．例如，一元二次方程的两个根是3，则方程是“倍差方程”.
（1）根据上述定义，判断方程填“是”或“不是”）“倍差方程”；
（2）已知关于x的一元二次方程是“倍差方程”，求m的值.
题24（本题满分7分）
某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出．若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元．
（1）若每月租出90辆汽车时，该出租公司的月收益是多少？
（2）每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？
题25（本题满分10分）
综合与实践：
九年级机器人社团围绕“跳跃机器人”开展主题学习活动.现有甲，乙两款跳跃机器人，他们起跳后的运动路线均可看作抛物线．甲，乙分别从水平地面起跳，甲的运动路线的最高点距离地面60cm，起跳点与落地点的距离为240cm；乙的运动路线的最高点距离地面80cm，起跳点与落地点的距离为200cm．
第25题图
【数学建模】
图1，甲的起跳点为O，落地点为F，将甲的运动路线抽象为抛物线，其顶点为E；乙的起跳点也为O，落地点为N，将乙的运动路线抽象为抛物线，其顶点为M，两机器人的运动路线在同一竖直平面内.以O为原点，OF所在直线为x轴，过点O与OF所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
（1）分别求抛物线的函数表达式；
【问题解决】
2）如图2，水平地面上有个障碍物，其纵切面为矩形ABCD,AB=33cm,BC=55cm，点H在边AB左侧，甲，乙分别从点H处起跳．机器人跃过障碍物时，与障碍物表面的点在竖直方向上的距离不少于2cm才能安全通过．（障碍物的纵切面与两机器人的运动路线在同一竖直平面内）
①若BH=125cm，甲款机器人 安全跃过该障碍物；（横线上填“能”或“不能”）；
②若要使甲，乙两款机器人都能安全跃过该障碍物，设BH=mcm，则m的取值范围为 （结果保留根号）.
题26（本题满分10分）
如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,BC=4cm,，点P从点A出发沿AB以acm/s的速度向点B移动，直至到达终点B时停止运动；同时，点Q从点C出发沿CD以bcm/s的速度向点D移动，直至到达终点D时停止运动，连接PQ,BQ,BD.设点Q运动的时间为ts.
（1）若a=4,b=2.
①当时，则cm:
②当3cm，求r的值；
（2）若b=1，在P,Q两点运动过程中，当ΔPBQ是以BQ为一腰的等腰三角形，且PQLBD时，求a的值.
（第26题图）
题27（本题满分10分）
如图，二次函数其中m,n为常数，且m≠0)的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为(-1,0)，点C的坐标为（0,4)．点M是x轴上方抛物线上的一点，连接AC，BM．点D(0,3）是y轴上的点，连接AD
（1）求该抛物线的表达式：
（2）①若LMBA=LDAB，求点M的坐标；
②若∠MBC=∠ACO,，则点M的坐标为 .
题26（本题满分10分）
如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,BC=4cm,，点P从点A出发沿AB以acm/s的速度向点B移动，直至到达终点B时停止运动；同时，点Q从点C出发沿CD以bcm/s的速度向点D移动，直至到达终点D时停止运动，连接PQ,BQ,BD.设点Q运动的时间为ts.
（1）若a=4,b=2.
①当时，则cm:
②当3cm，求r的值；
（2）若b=1，在P,Q两点运动过程中，当ΔPBQ是以BQ为一腰的等腰三角形，且PQLBD时，求a的值.
（第26题图）
题27（本题满分10分）
如图，二次函数其中m,n为常数，且m≠0)的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为(-1,0)，点C的坐标为（0,4)．点M是x轴上方抛物线上的一点，连接AC，BM．点D(0,3）是y轴上的点，连接AD
（1）求该抛物线的表达式：
（2）①若LMBA=LDAB，求点M的坐标；
②若∠MBC=∠ACO,，则点M的坐标为 .
题1数据38,42,42,43,45,45,45的众数是 ( )
A.38 B.42 C.43 D.45
【解析】众数是出现次数最多的数。45出现的次数最多．
【答案】D.
题2二次函数图象的顶点坐标为 ( )
A.(3,2) B.(3,-2) C.(-3,2) D.(-3,-2)
【解析】顶点坐标令x-3=0,x=3,带入解析式得y=2，故顶点坐标为（3,2)．
【答案】A.
题3如图，圆形转盘被分成4个面积相等的扇形区域，在上面依次写上数字1、2、3、4，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时（若指针恰好停在等分线上，则重转一次），指针指向区域所标数字为偶数的概率是 ( )
A. B. C. D.
（第3题图）
【解析】一共有4个数，偶数有2和4，共2个偶数，
【答案】C
题4若关于x的一元二次方程有一根为2，则k的值是 ( )
A.0 B.2 C.4 D.6
【解析】将x=2代入，解得k=6.
【答案】D.
题5如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔．已知正方形面积是圆面积的，设圆的半径为xcm，则可列方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】带入圆面积公式，根据题中数量关系，C选项符合.
【答案】C
题6已知点在二次函数其中a为常数，且a>0)的图象上，则的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
【解析】根据抛物线对称轴公式，得到对称轴为，根据a>0,，函数开口向上.
【答案】B.
题7 根据统计数据显示，我国某民营科技公司近三年的收入逐年增加．2022年至2024年该公司收入由6423亿元增加到8621亿元．设该公司2022年至2024年收入的年平均增长率为x，则可列方程为 ( )
A.6423(1+2x)=8621 B.6423×2(1+x)=8621
C. D.
【答案】C.
题8二次函数其中a,b,c为常数，且a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①②3a+b<0;③④为实数）.其中，正确的个数为（(】
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
（第8题图）
【解析】解：由图像可得①正确
由对称轴，得2a+b=0,又a<0,得3a+b<0,②正确
由图像得当x=1,y>0,，即a+b+c>0,当x=-1,y>0,即a-b+c>0,
③正确
由图像x=1时为最大值，即即为实数），④正确
【答案】D
题9数据20,20,30,40,50的中位数是＿．
【答案】30
题10二次函数的图象与y轴的交点坐标是 .
【答案】（0,2)．
题11甲、乙两位同学参加学校组织的射击选拔赛，每人射击10次，射击成绩的平均数都是9环方差分别是，，则这10次射击成绩较稳定的是＿（填“甲”或“乙”）
,
.乙的射击成绩较稳定，
【答案】乙
题12设是一元二次方程的两个根，则
【解析是一元二次方程的两个根，
【答案】-3．
题13为了丰富学生的午餐种类，某校食堂销售三种午餐盒饭，且三种午餐盒饭的有关数据如图所示，则该食堂销售午餐盒饭的平均价格为 元.
（第13题图）
【解析】14×35%+10×25%+12×40%=12.2(元)
【答案】12.2．
题14在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿x轴翻折，所得抛物线相应的函数表达式为
【解析】方法1：原函数关于x轴翻折，即将原函数的y变换为-y，可得翻折后函数表达式为：化简得：
方法2：设翻折后函数表达式为：
·原函数顶点为(0,-4)
：．关于x轴翻折后新函数顶点为（0,4）
. h=0,k=4
关于x轴翻折，抛物线开口大小不变，方向相反
∴|a|=|1|且1·a<0
∴a=-1
.翻折后函数表达式为：
【答案】
题15二次函数其中a,b,c为常数，且a≠0)的图象过点A(-1,20),B(1,m),,C(5,m),,D （6,13)，其中m为常数，则的方程的解为
【解析】·点B、C纵坐标相等
：对称轴为直线x=3
的另外一解为x=0
【答案】0或6．
题 16如图1，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，点F是AB边上的一个动点，连接EF，作FGIFE，交BC于点G，设AF=x,BF+BG=y．图2是点F从点A运动到点B的过程中，y关于x的函数图象．当x=2.5时，y的值最大，最大值是a，则a的值是 ．
（第16题图）
【解析】解：·抛物线与y轴交点为（0,8）
∴AB=8
·设AE=m,易证ΔAEFΔBFG
∴m=3
配方后
【答案】
题17（本题满分8分）
解方程：
【解析】解：x(x-3)=0 解：(3x+2)(x-1)=0
题18（本题满分5分）
已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
【解析】解··方程有两个不相等的实数根
·Δ>0
则4-4(k-1)>0
∴k<2
题19（本题满分6分）
苏州的古镇以江南水乡风貌和深厚历史文化闻名，粉墙黛瓦与小桥流水相映成趣.小超同学计划在元旦假期从A：周庄古镇，B：黎里古镇，C：沙溪古镇，D：古里古镇，四个古镇中随机选择部分古镇游玩.
（1）小超同学选择C：沙溪古镇游玩的概率是＿；
（2）若小超同学从A,B,C,D四个古镇中任选两个去游玩，求选择B,C两个古镇游玩的概率．（用列表或画树状图
的方法说明）
【解析】解：
（2）如图所示，一共有12种情况，(B,C）有2次
故选择B,C两个古镇游玩的概率为
题20（本题满分6分）
将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移m个单位；
（1）若m=3，则所得二次函数图象的函数表达式为 ；
（2）若平移后所得二次函数的图象经过点（-4,9)，求平移后所得抛物线的函数表达式．
【解析】解：(1）由题知：
（2）由题知：且经过点（-4,9）
·
∴m=5
：.平移后所得抛物线的函数表达式为
题21（本题满分8分）
某校为了解学生暑期锻炼情况，采用简单随机抽样的方法，对本校学生暑假每天在家锻炼的时间（用x表示，单位：分钟）进行了抽样调查，把所得数据分组整理，并绘制成频数分布直方图.
学生每天在家锻炼时间频率分布表
(1)a= ;
（2）补全频数分布直方图（画图后标注相应数据）；
（3）该校共有600名学生，根据抽样调查的结果，估计该校学生暑期每天在家锻炼的平均时间不低于90分钟的人数.
学生每天在家锻炼时间频率分布表 学生每天在家锻炼时间频数分布直方图
时间x（分钟） 频率
0.1
0.2
0.4
a
0.1
合计 1
【解析】解：(1)a=1-0.1-0.2-0.4-0.1=0.2;
（2）时间在30≤x<60的频数为6÷0.1×0.2=12
频数分布直方图，如图所示；
（3）不低于90分钟的频率为0.2+0.1=0.
∴600×0.3=180(名)
答：该校学生暑期每天在家锻炼的平均时间不低于90分钟的人数为180名．
题22（本题满分6分）
如图，已知一次函数y=x+1的图象与二次函数的图象交于A,B两点，该二次函数图象的顶点为C，连接AC,BC.
（1）求点C的坐标；
（2）求ΔABC的面积．
【解析】解：故C(1,-4)
（2）过点C作CM//y轴交直AB于M
则，代入直线y=x+1，可得M(1,2)
联立直线与抛物线方程，解得A(-1,0),B(4,5)
题 23（本题满分6分）
如果关于x的一元二次方程其中a,b,c为常数，且a≠0)有两个实数根.且其中一个根等于另一个根的2倍减去1，那么称这样的方程为“倍差方程”．例如，一元二次方程的两个根是3，则方程是“倍差方程”.
（1）根据上述定义，判断方程填“是”或“不是”）“倍差方程”；
（2）已知关于x的一元二次方程是“倍差方程”，求m的值.
【解析】解：
，故方程是倍差方程
(x-m)(x-5)=0故
①若，则m=9
②若，则5=2m-1,m=3
综上所述：m=3或9．
题24（本题满分7分）
某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出．若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元．
（1）若每月租出90辆汽车时，该出租公司的月收益是多少？
（2）每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【解析】解：(1）由题意可知，当租出90辆汽车时，每辆车的月租费为3000+50×10=3500元）
月收益为：(3500-200)×90=297000元
（2）设每月租出x辆汽车时收益为y
则y=x[3000+50(100-x)-200]=x(-50x+7800)
当x=78时，
故当每月租出78辆汽车时，收益最大，为304200元
题25（本题满分10分）
综合与实践：
九年级机器人社团围绕“跳跃机器人”开展主题学习活动.现有甲，乙两款跳跃机器人，他们起跳后的运动路线均可看作抛物线．甲，乙分别从水平地面起跳，甲的运动路线的最高点距离地面60cm，起跳点与落地点的距离为240cm；乙的运动路线的最高点距离地面80cm，起跳点与落地点的距离为200cm．
第25题图
【数学建模】
图1，甲的起跳点为O，落地点为F，将甲的运动路线抽象为抛物线，其顶点为E；乙的起跳点也为O，落地点为N，将乙的运动路线抽象为抛物线，其顶点为M，两机器人的运动路线在同一竖直平面内.以O为原点，OF所在直线为x轴，过点O与OF所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
（1）分别求抛物线的函数表达式；
【问题解决】
2）如图2，水平地面上有个障碍物，其纵切面为矩形ABCD,AB=33cm,BC=55cm点H在边AB左侧，甲，乙分别从点H处起跳．机器人跃过障碍物时，与障碍物表面的点在竖直方向上的距离不少于2cm才能安全通过．（障碍物的纵切面与两机器人的运动路线在同一竖直平面内）
①若BH=125cm，甲款机器人 安全跃过该障碍物；（横线上填“能”或“不能”）；
②若要使甲，乙两款机器人都能安全跃过该障碍物，设BH=mcm，则m的取值范围为 （结果保留根号）.
【解析】解：(1)C1抛物线过O(0,0),F(240,0)，顶点为E(120,60)
设，解得
抛物线过O(0,0),N(200,0)，顶点为M(100,80)
同理，设，解得
故
（2）①能
BH=125>120，故在障碍物上方机器人处于下落状态，只需评估D点是否能够越过。
当x=125+55=180时，可以通过
②按照要求，即需要两机器人均满足：当m≤x≤m+55时，y-33≥2恒成立；
令，结合图像与抛物线解析式可知，
令，结合图像与抛物线解析式可知，
25≤x≤175
故
则有：
所以m取值范围为
题26（本题满分10分）
如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,,BC=4cm，点P从点A出发沿AB以acm/s的速度向点B移动，直至到达终点B时停止运动；同时，点Q从点C出发沿CD以bcm/s的速度向点D移动，直至到达终点D时停止运动，连接PQ,BQ,BD.设点Q运动的时间为ts.
（1）若a=4,b=2.
①当时，则PQ= cm:
②当，求t的值；
（2）若b=1，在P,Q两点运动过程中，当ΔPBQ是以BQ为一腰的等腰三角形，且PQLBD时，求a的值.
【解析】解：(1）①由题意可知AP=4t,CQ=2t
当时，AP=2,CQ=1
∵AB=8,AD=4,四边形ABCD是矩形
②由①可知
·当P到达B点时
.CQ=2t=6解得t=3
则或3时，
（2）如图过点Q做QHLAB于点H
∵QH⊥AB,PQ⊥BD
∴ΔPQH∽ΔDBA
（第26题图）
∴at+t=6
...·ΔPBQ为等腰三角形
：可分为以下三种情况讨论
①，解得t=3,a=1
②QB=QP,2t=8-at,解得t=2,a=2
所以综上所述a=1或2．
题27（本题满分10分）
如图，二次函数其中m,n为常数，且m≠0)的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为(-1,0)，点C的坐标为（0,4)．点M是x轴上方抛物线上的一点，连接AC，BM．点D(0,3）是y轴上的点，连接AD
（1）求该抛物线的表达式：
（2）①若∠MBA=∠DAB，求点M的坐标；
②若∠MBC=∠ACO,，则点M的坐标为 .
【解析】解：(1)过点A(-1,0),C(0,4)
解得
则该抛物线的表达式为
（2）①过点M作MNLx轴
∵∠MBA=∠DAB,∠MNB=∠DOA
∴ΔMNB ΔDOA
设
·，解得t=2
．点M的坐标为（2,6）
②由题可知C(0,4),OC=4.
过D点作BC垂线交BM延长线于H点。过H点作y轴垂线交于P点
.∠HCB=∠AOC,且∠MBC=∠ACO..故ΔAOC ΔBCH
，故
因
∴ΔBOC ΔCPH
可得PH=1,PC=1
故点坐标为（1,5）
设BH1得解析式为y=cx+d,把H点，B点代入联立可得解得
:BH1得解析式为
将BH1直线与抛物线的交点，联立可得
(3x-2)(x-4)=0
把代入抛物线可得
点H1关于点C的对称点的坐标为（-1,3）
则直线BH2为
将BH2直线与抛物线的交点，联立可得
故为
综上所述：点M的坐标为（

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