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(共38张PPT)
第四章 基本平面图形
4.2.1角
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
新知探究
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
能准确表述角的静态与动态定义，熟练掌握角的三种表示方法、度分秒的互化运算
01
体会角在生活中的广泛应用，激发对几何学习的兴趣，培养严谨的数学思维和表达习惯
03
能区分锐角、直角、钝角、平角、周角并明确其度数范围，会用方位角描述物体位置
02
02
新知导入
在小学我们学习过角，请说说你对角的认识。你能在图4-16中找到角吗？
谁能说说角有什么特点？
角（angle）由两条具有公共端点的射线组成（如图4-17）。角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的（如图4-18）。
角的大小与边的长短无关
图4-17 图4-18
03
新知讲解
如图4-19，一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角（straightangle）。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作周角（roundangle）。
图4-19
03
新知讲解
我们已经学过哪些角了呢？请你回忆一下
03
新知讲解
拓展
判断下列说法是否正确，并说明理由：
（1）角的边越长，角就越大；
（2）平角就是一条直线，周角就是一条射线；
（3）由两条线段组成的图形一定是角。
03
新知讲解
解析：
（1）错误。理由：角的大小由两边张开的程度决定，与边的长短无关。无论边画得长或短，只要张开程度不变，角的大小就不变。
（2）错误。理由：平角是“一条射线绕端点旋转180°后，终边与始边成直线”的图形，它有顶点和两条射线（只是射线方向相反），并非单纯的“一条直线”；
周角是“射线旋转360°后与始边重合”的图形，包含顶点和两条重合的射线，并非单纯的“一条射线”。
（3）错误。理由：角的定义是“两条具有公共端点的射线组成的图形”，两条线段若没有公共端点，或端点不重合，都不能组成角。
03
新知讲解
03
新知讲解
如图，通常可以用以下方式表示角：
03
新知讲解
三种主要表示方式：
①. 用三个大写字母（如∠BAC，顶点字母在中间）；
②. 用希腊字母（如∠α）；
③. 用数字（如∠1）。
④. 特殊情况：顶点处只有一个角时，可直接用顶点字母表示（如∠A）。
（1）用适当的方式表示图4-21中的每个角。
（2）在图4-21中， ∠BAC ， ∠CAD 和 ∠BAD 能用 ∠A 来表示吗？
尝试·思考
图4-21
03
新知讲解
①用“顶点字母单独表示角”的前提是顶点处只有一个角。例如图4-21中，∠BAC、∠CAD、∠BAD不能用∠A表示（顶点A处有多个角，会混淆）。
②规范书写：三个字母表示时顶点字母必须在中间，希腊字母和数字表示时要清晰标注。
03
新知讲解
和线段一样，在学习了角的表示方法后，我们也要学习如何度量角的大小。在小学我们已经知道：1周角 =360 ，1平角 =180 ，1直角 =90 。
为了更精密地度量角，我们规定：
的 为1分，记作1’，即 。
1的 为1秒，记作 ，即 。
大单位化小单位乘60，小单位化大单位除以60
03
新知讲解
我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作，把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1’；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1"
例1 计算：
(1）等于多少分？等于多少秒？
(2） 等于多少分？等于多少度？
03
新知讲解
解：
（1） 。， ，即
（2） ，即
03
新知讲解
图4-22呈现了几个城市在中国地图上的大致位置。
（1）分别表示以北京为中心的每两个城市之间的夹角。
（2）哈尔滨在北京的北偏东大约多少度？
尝试·思考
图4-22
03
新知讲解
（1）分别表示以北京为中心的每两个城市之间的夹角。
∠哈尔滨 北京 西安
∠哈尔滨 北京 上海
∠哈尔滨 北京 福州
∠西安 北京 上海
∠西安 北京 福州
∠上海 北京 福州
03
新知讲解
（2）哈尔滨在北京的北偏东大约多少度？
北
北京
哈尔滨
上海
福州
西安
大约50°
03
新知讲解
方位的基准是正北、正南、正东、正西。例如“北偏东30°”是从正北方向向东偏30°，而非从正东向北偏。
03
新知讲解
1.计算：32°18′45″ + 57°42′30″ = ？
解析：
度、分、秒分别相加：
度：32° + 57° = 89°；
分：18′ + 42′ = 60′ = 1°；
秒：45″ + 30″ = 75″ = 1′15″；
合并结果：89° + 1° + 1′15″ = 90°1′15″。
04
新知探究
2.（1）将25.6°转换为“度分秒”形式；
（2）将108°45′36″转换为“度”的小数形式。
解析：
（1）25.6°中，整数部分是25°，小数部分0.6°转换为分：0.6×60′=36′，因此25.6°=25°36′0″。
（2）先将36″转换为分：36″÷60=0.6′；
再将45′+0.6′=45.6′转换为度：45.6′÷60=0.76°；
因此108°45′36″=108°+0.76°=108.76°。
04
新知探究
3.如图，点O是射线OA、OB、OC的公共端点，且∠AOB=∠BOC=60°。
（1）图中共有几个角？分别用规范的方式表示出来；
（2）能否用∠O表示图中的任意一个角？为什么？
O
A
B
C
04
新知探究
解析：
（1）图中共有3个角，分别是：
∠AOB（或∠BOA）、∠BOC（或∠COB）、∠AOC（或∠COA）。
（2）不能。
理由：顶点O处有3个角（∠AOB、∠BOC、∠AOC），若用∠O表示，无法区分具体指哪一个角，会造成混淆。只有当顶点处只有一个角时，才能用顶点字母单独表示。
04
新知探究
05
课堂小结
角
角的双重定义
角的三种规范表示方法
度分秒的 60 进制换算
静态定义是 “由两条具有公共端点的射线组成”，动态定义是 “由一条射线绕端点旋转而成”，并明确平角（180°）、周角（360°）的形成过程。
（三个大写字母、希腊字母、数字），知道 “顶点字母单独表示角” 的前提是顶点处只有一个角，能避免表示混淆。学会用圆规和三角尺完成基础作图
以正北 / 正南 / 正东 / 正西为基准，能描述 “北偏东 / 西”“南偏东 / 西” 的方向，还能理解方位角的相对性（互换观测点时方向相反、角度不变）。
方位角的描述规则
能完成 “度→分→秒” 的乘法换算和 “秒→分→度” 的除法换算，不与十进制单位混淆。
解析：①6时整：时针指向6，分针指向12，中间间隔6个大格。
夹角：（平角）。
②8时整：时针指向8，分针指向12，中间间隔4个大格。
夹角：（钝角）。
③8时30分：分针指向6，时针在8和9中间（30分钟时针移动半个大格）。
中间间隔2.5个大格（8到6是2个大格，加时针移动的0.5个大格）。
夹角：（锐角）。
1.6时整，钟表的时针和分针构成多少度的角 8时呢 8时30分呢
06
作业布置
解析：（1）35°换算成分、秒：
换算成分：。
换算成秒：
答案：2100分，126000秒。
（2）先统一单位：将38°15转化为度。
15换算成度：，因此 。
对比：，故两者不相等，38°15更大。
答案：不相等，38°15更大。
2.(1)35°等于多少分 等于多少秒
(2)38°15'和 38.15°相等吗 如不相等，哪一个大
06
作业布置
3.如图，以学校为观测点：
（1）图书馆在学校的北偏东 40° 方向，那么学校在图书馆的什么方向？
（2）体育馆在学校的南偏西 30° 方向，距离学校 150 米，请用文字描述体育馆相对于图书馆的大致方向
06
作业布置
北
学校
图书馆
体育馆
东
40°
30°
（1）图书馆在学校的北偏东 40° 方向，那么学校在图书馆的什么方向？
学校在图书馆 南偏西40°方向
06
作业布置
北
学校
图书馆
体育馆
东
40°
30°
还可以怎么表示呢？
（2）体育馆在学校的南偏西 30° 方向，距离学校 150 米，请用文字描述体育馆相对于图书馆的大致方向
06
作业布置
北
学校
图书馆
体育馆
东
40°
30°
解析：南偏西 40° 与南偏西 30° 的夹角和为 70°，从图书馆向北偏东方向偏移 70°。
4. 已知∠β 是锐角，且∠β 的 2 倍与∠γ 的和等于平角，求∠γ 的度数范围。
06
作业布置
答案：∠γ 的范围：90°<∠γ<180°
解析：已知0°<∠β<90°（锐角），2∠β + ∠γ=180°→∠γ=180°-2∠β。
当∠β 趋近于 0° 时，∠γ 趋近于 180°；当∠β 趋近于 90° 时，∠γ 趋近于 0°；
但∠β 是锐角（不包括 0° 和 90°），且∠γ 需为角（正数），结合实际：∠β<90°→2∠β<180°→∠γ>0°，但因∠α 是直角，题目隐含∠γ 为钝角，故最终范围 90°<∠γ<180°。
能力提升
5. 如图5所示,射线OA表示_____________方向,射线OB表示______________方向.
06
作业布置
解析：北偏西65°或西偏北25°方向;南偏东15°或东偏南75°方向.
6. 如果一个角是30°,用10倍的望远镜观察,这个角应是_______°.
06
作业布置
30
7. 如图,已知∠1,∠2,画出一个角,使它等于3∠1-∠2.
审题及解题迷惑点:要作一角等于3∠1-∠2,就须先以O为顶点,以OA 为一边作∠AOD=3∠1,然后在∠AOD的内部以∠AOD的一边为边作一个角等于∠2即可.
06
作业布置
解: (1)以∠1的顶点O为圆心,以适当的长为半径画弧,分别交射线OA、OB于点E、F
(2)在弧上依次截取,并使.
(3)自O点过H点作射线OD,则∠AOD即为3∠1.
(4)以∠2的顶点为圆心,适当长为半径画弧交∠2的两边于M′、N′两点.
(5)以O为圆心,以同样长为半径画弧交OA于点M.
(6)以M为圆心,以M′N′为半径画弧交前弧于点N.
(7)自O点为N点作射线OC. ∠COD即为所求.
06
作业布置
能力提升
8.从蜂巢的入口处看，蜂巢由许多正六边形(六条边相等，六个角也相等)构成，按图示的方法，利用三角尺和圆规画出一个正六边形,
06
作业布置
①. 用圆规画一个任意半径的圆O（外接圆）。
②. 保持圆规半径不变，以圆上任意一点A为圆心画弧，交圆O于两点B、F。
③. 分别以B、F为圆心，相同半径画弧，依次交圆O于C、E两点。
④. 以C为圆心画弧，交圆O于D点（与E相邻）。
⑤. 依次连接A、B、C、D、E、F六点，即为正六边形。
⑥. 用三角尺的60°角验证内角：正六边形内角120°，可通过三角尺60°角的补角确认。
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4.2.1角
学科 数学 年级 七年级上册 课型 新授课 单元 第四单元
课题 基本平面图形：角 课时 4.2.1
课标要求 本节课的课标要求聚焦七年级学生对基本平面图形的认知与应用，要求学生理解角的静态与动态定义，掌握角的表示方法、度分秒的 60 进制换算、角的分类标准及方位角的描述规则，初步形成几何直观能力，能运用角的相关知识解决简单的实际问题（如钟表夹角、方位判断），培养严谨的数学表达习惯和逻辑推理意识。
教材分析 本节课是七年级上册第四单元 “基本平面图形” 的核心内容，承接小学阶段对角的初步认知，是后续学习三角形、四边形内角和、全等三角形等几何知识的重要基础。教材通过生活实例（如钟表、地图）引入角的概念，逐步展开定义、表示、度量、分类、应用等模块，注重概念的准确性与实际情境的结合，既强调知识的系统性，又通过拓展辨析题突破易错点，符合初中几何从具体到抽象、从直观到严谨的编排逻辑。
学情分析 七年级学生已在小学接触过角的基本概念和度量方法，具备一定的直观感知能力，但对抽象的动态定义、60 进制换算（易与十进制混淆）、平角 / 周角与直线 / 射线的区别等知识点理解存在困难。学生思维正处于从具体形象向抽象逻辑过渡阶段，对几何图形的严谨表达和逻辑推导能力较弱，需要通过直观演示、动手操作和实例验证帮助巩固知识，同时对生活化的问题情境兴趣较高，适合结合实际案例开展教学。
教学目标 1.能准确表述角的静态与动态定义，熟练掌握角的三种表示方法、度分秒的互化运算 2.能区分锐角、直角、钝角、平角、周角并明确其度数范围，会用方位角描述物体位置 3.体会角在生活中的广泛应用，激发对几何学习的兴趣，培养严谨的数学思维和表达习惯
教学重点 教学重点是角的核心概念与基础应用，具体包括角的静态与动态定义、三种规范表示方法、度分秒的 60 进制换算规则，以及锐角、直角、钝角、平角、周角的分类标准与度数范围
教学难点 一是度分秒的 60 进制换算，学生易受十进制单位影响出现换算错误；二是平角、周角与直线、射线的概念辨析，需明确角的顶点和边的本质特征；三是方位角的相对性描述，学生难以快速转换观测点并准确表述方向
教法与学法分析 教法上采用 “情境导入 — 新知讲解 — 拓展探究 — 巩固内化” 的流程，结合直观演示法（利用图形、教具展示角的形成与特征）、讲练结合法（例题讲解与即时练习同步推进）、问题驱动法（通过辨析题、实际应用题激发思考），帮助学生化解抽象概念；学法上引导学生采用自主研学（独立思考角的定义与表示）、动手操作法（作图、度量角）、合作交流法（讨论辨析题与方位角问题），让学生在 “观察 — 思考 — 实践 — 验证” 的过程中主动建构知识体系，提升应用能力。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 在小学我们学习过角，请说说你对角的认识。你能在图4-16中找到角吗？
图4-16 谁能说说角有什么特点？（角有一个顶点、两条边） 大家看这三幅图，夹子的夹臂、时钟的时针分针、激光的光线交点处，是不是都能找到角？这些生活中的角，今天我们要从定义、表示、度量等方面进行系统学习，一起走进‘角’的数学世界。 呈现 “回忆小学角的认识” 的问题及图 4-16，引导学生关联旧知并观察图形。 调动小学所学对角的认知，尝试在图 4-16 中识别并指出角。 衔接小学阶段角的基础认知，激活学生已有知识经验，为新知学习铺垫。
环节二：新知讲解 1.角的定义 角（angle）由两条具有公共端点的射线组成（如图4-17）。角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的（如图4-18）。 图4-17 图4-18 【角的大小与边的长短无关】 如图4-19，一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角（straightangle）。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作周角（roundangle）。
图4-19 角的分类：锐角（0°< 角<90°）、直角（=90°）、钝角（90°< 角<180°）、平角（=180°）、周角（=360°）。 拓展 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）角的边越长，角就越大； （2）平角就是一条直线，周角就是一条射线； （3）由两条线段组成的图形一定是角。 解析： （1）错误。 理由：角的大小由两边张开的程度决定，与边的长短无关（角的边是射线，射线无限长）。无论边画得长或短，只要张开程度不变，角的大小就不变。 （2）错误。 理由：平角是“一条射线绕端点旋转180°后，终边与始边成直线”的图形，它有顶点和两条射线（只是射线方向相反），并非单纯的“一条直线”；周角是“射线旋转360°后与始边重合”的图形，包含顶点和两条重合的射线，并非单纯的“一条射线”。 （3）错误。 理由：角的定义是“两条具有公共端点的射线组成的图形”，两条线段若没有公共端点，或端点不重合，都不能组成角。 总结： 角的静态定义：由两条具有公共端点的射线组成，公共端点是顶点，两条射线是角的边。 角的动态定义：由一条射线绕着它的端点旋转而成。 特殊角：射线旋转成直线时为平角（180°），旋转重合时为周角（360°）。 角的分类：锐角（0°< 角<90°）、直角（=90°）、钝角（90°< 角<180°）、平角（=180°）、周角（=360°）。 强调点： 明确各类角的度数范围，尤其注意“边界值”：90°是直角，180°是平角，不属于锐角或钝角。 角的两边是射线（不是线段），因此角的大小与边的长短无关，只与两边张开的程度有关。 平角不是“一条直线”（它有顶点和两条射线，只是射线在同一直线上），周角不是“一条射线”（是射线旋转一周后与始边重合）。 2.角的表示方法 如图4-20，通常可以用以下方式表示角：
图4-20 三种主要表示方式： 用三个大写字母（如∠BAC，顶点字母在中间）； 用希腊字母（如∠α）； 用数字（如∠1）。 特殊情况：顶点处只有一个角时，可直接用顶点字母表示（如∠A）。 尝试·思考 （1）用适当的方式表示图4-21中的每个角。 （2）在图4-21中， ， 和 能用 来表示吗？
图4-21 （1）角的表示 图中的角可表示为： ∠BAC（或∠CAB） ∠CAD（或∠DAC） ∠BAD（或∠DAB） （2）能否用∠A 表示 不能。因为以点 A 为顶点的角有三个（∠BAC、∠CAD、∠BAD），若用∠A 表示，无法明确具体是哪个角，会产生歧义。 强调点： 用“顶点字母单独表示角”的前提是顶点处只有一个角。例如图4-21中，∠BAC、∠CAD、∠BAD不能用∠A表示（顶点A处有多个角，会混淆）。 规范书写：三个字母表示时顶点字母必须在中间，希腊字母和数字表示时要清晰标注。 结合图 4-17、4-18、4-19 讲解角的静态与动态定义、分类，通过图 4-20 介绍角的表示方法，出示拓展辨析题和图 4-21 的 “尝试 思考” 问题，引导分析。 倾听角的定义、分类及表示方法，判断拓展辨析题正误并说明理由，完成图 4-21 中角的表示及 “能否用∠A 表示” 的思考。 系统传授角的核心概念，通过辨析题突破 “角的大小与边的关系”“平角 / 周角与直线 / 射线的区别” 等易错点，规范角的表示方法。
环节三:延申探究 3.角的度量与换算 和线段一样，在学习了角的表示方法后，我们也要学习如何度量角的大小。在小学我们已经知道：1周角 ，1平角 ，1直角 。 为了更精密地度量角，我们规定： 我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作，把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1’；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1" 的 为1分，记作1’，即 。
1的 ： 为1秒，记作 ，即 。 知识点： 度量单位：度（°）、分（′）、秒（″）。 换算关系：1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°；1°=60′，1′=60″（60进制）。 度分秒互化：大单位化小单位乘60，小单位化大单位除以60（如例1的换算）。 强调点： 度分秒是60进制，与十进制（如长度、面积单位）不同，学生易混淆。需反复强调：换算时“度→分→秒”乘60，“秒→分→度”除以60。 多练习换算例题，巩固方法，避免出现“1.5°=150′”（正确应为90′）这类错误。 例1 计算： (1）等于多少分？等于多少秒？
(2） 等于多少分？等于多少度？
解： （1） 。， ，即 （2） ，即 4.方位角 观察·思考 图4-22呈现了几个城市在中国地图上的大致位置。 （1）分别表示以北京为中心的每两个城市之间的夹角。 （2）哈尔滨在北京的北偏东大约多少度？ 图4-22 知识点： 用“北偏东/西” “南偏东/西”结合角度，描述位置与方向的关系（以正北、正南、正东、正西为基准）。 强调点： 方位的基准是正北、正南、正东、正西。例如“北偏东30°”是从正北方向向东偏30°，而非从正东向北偏。 结合实际示意图（如图4-22、动物园示意图），让学生动手描述或绘制方位角，强化空间感知。 讲解度分秒的度量单位与 60 进制换算规则，演示例 1 计算过程；结合图 4-22 提出城市方位相关问题，引导分析方位角基准与描述方法。 学习度分秒换算逻辑，跟随练习例 1；观察图 4-22，尝试描述以北京为中心的城市夹角及哈尔滨相对北京的方位。 让学生掌握角的度量换算技能，建立方位角的空间感知，将知识与生活中的地图方位场景结合，体现实用性。
环节四：巩固内化，拓展延伸 1.计算：32°18′45″ + 57°42′30″ = ？ 解析： 度、分、秒分别相加： 度：32° + 57° = 89°； 分：18′ + 42′ = 60′ = 1°； 秒：45″ + 30″ = 75″ = 1′15″； 合并结果：89° + 1° + 1′15″ = 90°1′15″。 2.（1）将25.6°转换为“度分秒”形式； （2）将108°45′36″转换为“度”的小数形式。 解析： （1）25.6°中，整数部分是25°，小数部分0.6°转换为分：0.6×60′=36′，因此25.6°=25°36′0″。 （2）先将36″转换为分：36″÷60=0.6′； 再将45′+0.6′=45.6′转换为度：45.6′÷60=0.76°； 因此108°45′36″=108°+0.76°=108.76°。 关键思路：度分秒是60进制，满60进1（如60″=1′，60′=1°），换算时“大化小乘60，小化大除以60”。 3.如图，点O是射线OA、OB、OC的公共端点，且∠AOB=∠BOC=60°。 （1）图中共有几个角？分别用规范的方式表示出来； （2）能否用∠O表示图中的任意一个角？为什么？ 解析： （1）图中共有3个角，分别是： ∠AOB（或∠BOA）、∠BOC（或∠COB）、∠AOC（或∠COA）。 （2）不能。 理由：顶点O处有3个角（∠AOB、∠BOC、∠AOC），若用∠O表示，无法区分具体指哪一个角，会造成混淆。只有当顶点处只有一个角时，才能用顶点字母单独表示。 出示度分秒混合运算、角的数量与表示等拓展题，引导梳理解题思路（如 60 进制换算关键、角的表示规范），巡视学生解题情况并针对性指导。 独立完成拓展题，按要求规范书写解题过程，遇到疑问及时反馈，核对答案后总结解题方法。 通过综合拓展题巩固角的表示、度分秒换算等核心知识，提升学生知识应用能力与逻辑推理能力。
课堂小结 1.通过本节课的学习你收获了什么？ 理解角的双重定义 —— 静态定义是 “由两条具有公共端点的射线组成”，动态定义是 “由一条射线绕端点旋转而成”，并明确平角（180°）、周角（360°）的形成过程。 掌握角的三种规范表示方法（三个大写字母、希腊字母、数字），知道 “顶点字母单独表示角” 的前提是顶点处只有一个角，能避免表示混淆。 学会度分秒的 60 进制换算，能完成 “度→分→秒” 的乘法换算和 “秒→分→度” 的除法换算，不与十进制单位混淆。 明确角的分类标准，能区分锐角（0°< 角 < 90°）、直角（=90°）、钝角（90°< 角 < 180°）、平角（=180°）、周角（=360°），并牢记各类角的度数边界。 掌握方位角的描述规则，以正北 / 正南 / 正东 / 正西为基准，能描述 “北偏东 / 西”“南偏东 / 西” 的方向，还能理解方位角的相对性（互换观测点时方向相反、角度不变）。 学会用圆规和三角尺完成基础作图，如绘制正六边形、按要求画角（如 3∠1-∠2），提升动手操作能力。 能解决实际问题，如计算钟表不同时刻时针与分针的夹角、判断方位角关系、完成角的数量识别与规范表示。 教师以 “本节课的学习收获” 和 “本课主要学习方法或数学思想” 为核心问题，引导学生回顾梳理本节课的知识与学习过程。 学生回顾并梳理本节课所学的角的定义、表示、换算、分类等知识，提炼并分享学习中用到的方法或数学思想。 帮助学生系统构建本节课的知识框架，总结几何学习的方法规律，强化知识记忆与学习能力的迁移应用。
板书设计 4.2.1 角（基本平面图形） 一、角的定义 静态定义：由两条有公共端点的射线组成（公共端点=顶点，射线=边） （简笔画：顶点O+两边OA、OB） 动态定义：一条射线绕端点旋转而成 （简笔画：始边→旋转箭头→终边） 特殊角： 平角：终边与始边成直线（180°） 周角：终边与始边重合（360°） 二、角的表示方法（表1） 表示方式示例注意事项三个大写字母∠BAC顶点字母（A）在中间希腊字母∠α、∠β需在图中标注数字∠1、∠2需在图中标注顶点字母（单独）∠A（仅顶点A处1个角）顶点处多个角时不可用（如∠BAC、∠CAD不能用∠A）
三、角的度量与换算 单位：度（°）、分（′）、秒（″） 换算关系（60进制！）： 1周角=360°，1平角=180°，1直角=90° 1°=60′，1′=60″ 例题： 1.45°=？分=？秒 → 1.45×60=87′，87×60=5220″ 1800″=？分=？度 → 1800÷60=30′，30÷60=0.5° 四、角的分类（表2） 角的类型度数范围特征（简记）锐角0°<α<90°比直角小直角α=90°标“┐”符号钝角90°<α<180°比直角大、比平角小平角α=180°两边成直线周角α=360°两边重合
五、方位角 基准：正北、正南、正东、正西 表示：北偏东/西、南偏东/西+角度（如“北偏东30°”） 相对性：A在B北偏东30°→B在A南偏西30° （简笔画：方向标“上北下南左西右东”） 六、易错点总结 角的大小与边的长短无关，只与两边张开程度有关； 平角≠直线（有顶点+两条射线），周角≠射线（有顶点+两条重合射线）； 度分秒是60进制，≠十进制（如1.5°≠150′，应为90′）。 清晰梳理知识体系，明确教学重点与难点，为学生提供直观学习指引，助力其快速构建知识框架、强化记忆并规避认知误区。
作业设计 基础练习 1.6时整，钟表的时针和分针构成多少度的角？8时呢？8时30分呢？ 2.(1)35°等于多少分？ 等于多少秒？ (2)38°15'和 38.15°相等吗？ 如不相等，哪一个大？ 3.如图，以学校为观测点： （1）图书馆在学校的北偏东 40° 方向，那么学校在图书馆的什么方向？ （2）体育馆在学校的南偏西 30° 方向，距离学校 150 米，请用文字描述体育馆相对于图书馆的大致方向 4.角的数量关系 已知∠β 是锐角，且∠β 的 2 倍与∠γ 的和等于平角，求∠γ 的度数范围。 能力提升 5. 如图5所示，射线OA表示_____________方向，射线OB表示______________方向. 6. 如果一个角是30°，用10倍的望远镜观察，这个角应是_______°. 7. 如图，已知∠1，∠2，画出一个角，使它等于3∠1-∠2. 拓展训练 8.从蜂巢的入口处看，蜂巢由许多正六边形(六条边相等，六个角也相等)构成，按图示的方法，利用三角尺和圆规画出一个正六边形
教学反思 本节课整体实现了“衔接旧知、传递新知、突破难点”的核心目标，开篇通过“回忆小学角的认识+图4-16找角”环节有效激活学生旧知，85%以上学生能快速关联并指出角，为新知铺垫；借助简笔画、板书例题、方向标等直观方式化解“平角与直线区别”“60进制换算”等难点，70%学生能正确完成1.45°与1800″的换算，65%学生能准确辨析“平角≠直线”，且围绕拓展题展开的讲练结合让多数学生掌握角的运算与实际问题解决方法，达成“知识→能力”转化，但仍存在不足：“方位角相对性”仅通过1道例题练习，课后抽查仅50%学生能准确描述相关方向，练习与实操不足；度分秒换算环节未给基础薄弱学生充足个别辅导，部分学生未纠正错误；课堂小结因时间紧张以教师梳理为主，学生自主提炼学习方法机会少。后续需通过增设“地图道具小组活动”“换算竞赛”强化难点实操，准备分层练习并预留辅导时间优化差异化设计，发放“知识梳理单”让学生自主梳理分享，凸显其主体地位。
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分课时学案
课题 4.2.1角 单元 第四单元 学科 数学 年级 七年级上册
学习 目标 1.能准确表述角的静态与动态定义，熟练掌握角的三种表示方法、度分秒的互化运算 2.能区分锐角、直角、钝角、平角、周角并明确其度数范围，会用方位角描述物体位置 3.体会角在生活中的广泛应用，激发对几何学习的兴趣，培养严谨的数学思维和表达习惯
重点 教学重点是角的核心概念与基础应用，具体包括角的静态与动态定义、三种规范表示方法、度分秒的 60 进制换算规则，以及锐角、直角、钝角、平角、周角的分类标准与度数范围
难点 一是度分秒的 60 进制换算，学生易受十进制单位影响出现换算错误；二是平角、周角与直线、射线的概念辨析，需明确角的顶点和边的本质特征；三是方位角的相对性描述，学生难以快速转换观测点并准确表述方向
教学过程
导入新课 在小学我们学习过角，请说说你对角的认识。你能在图4-16中找到角吗？请你描出来。
图4-16 说说角有什么特点？
新知讲解 1.角的定义 角（angle）由两条具有公共_________的__________组成（如图4-17）。角也可以看成是由一条________而成的（如图4-18）。 图4-17 图4-18 【角的大小与边的长短_____关】 如图4-19，一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作_______。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作_______。 请你填写下列角得度数范围：锐角（______< 角<______）、直角（=______）、钝角（______< 角<______）、平角（=______）、周角（=______）。 拓展 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）角的边越长，角就越大； （2）平角就是一条直线，周角就是一条射线； （3）由两条线段组成的图形一定是角。 2.角的表示方法 如图4-20，通常可以用以下方式表示角：
图4-20 三种主要表示方式： 尝试·思考 （1）用适当的方式表示图4-21中的每个角。 （2）在图4-21中， ， 和 能用 来表示吗？
图4-21 3.角的度量与换算 和线段一样，在学习了角的表示方法后，我们也要学习如何度量角的大小。在小学我们已经知道：1周角 ，1平角 ，1直角 。 为了更精密地度量角，我们规定： 我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作，把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1’；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1" 的 为1分，记作_______，即 。
1的 ： 为1秒，记作 _______，即 _______。 例1 计算： (1）等于多少分？等于多少秒？
(2） 等于多少分？等于多少度？
4.观察·思考:方位角 图4-22呈现了几个城市在中国地图上的大致位置。 （1）分别表示以北京为中心的每两个城市之间的夹角。 （2）哈尔滨在北京的北偏东大约多少度？ 图4-22
课堂小结 1.本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？ 2.本节课你有哪些收获？有什么体会？请你和同学分享交流。 3.你想进一步探究的问题是什么？
课堂练习 1.计算：32°18′45″ + 57°42′30″ = ？ 2.（1）将25.6°转换为“度分秒”形式； （2）将108°45′36″转换为“度”的小数形式。 3.如图，点O是射线OA、OB、OC的公共端点，且∠AOB=∠BOC=60°。 （1）图中共有几个角？分别用规范的方式表示出来； （2）能否用∠O表示图中的任意一个角？为什么？
课后作业 基础练习 1.6时整，钟表的时针和分针构成多少度的角？8时呢？8时30分呢？ 2.(1)35°等于多少分？ 等于多少秒？ (2)38°15'和 38.15°相等吗？ 如不相等，哪一个大？ 3.如图，以学校为观测点： （1）图书馆在学校的北偏东 40° 方向，那么学校在图书馆的什么方向？ （2）体育馆在学校的南偏西 30° 方向，距离学校 150 米，请用文字描述体育馆相对于图书馆的大致方向 4.角的数量关系 已知∠β 是锐角，且∠β 的 2 倍与∠γ 的和等于平角，求∠γ 的度数范围。 能力提升 5. 如图5所示,射线OA表示_____________方向,射线OB表示______________方向. 6. 如果一个角是30°,用10倍的望远镜观察,这个角应是_______°. 7. 如图,已知∠1,∠2,画出一个角,使它等于3∠1-∠2. 拓展训练 8.从蜂巢的入口处看，蜂巢由许多正六边形(六条边相等，六个角也相等)构成，按图示的方法，利用三角尺和圆规画出一个正六边形,
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