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2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题
专题四、方程问题（1）（适中版）
一、单选题
1．若一元二次方程的两根的平方和大于2，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C．或
D．或 E．或
2．已知为实数，关于，的方程组有整数解，则的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．若方程的两个不相等的实数根，满足，则实数的所有可能的值之和为（ ）
A．0 B． C．-1 D．
4．已知为关于的方程的三个实数根，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
6．方程的实根个数为（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若实数，，满足等式，，则可能取的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知两个多项式、（为实数），以下结论中正确的个数是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则关于的方程无实数根；
④若为整数，且值为整数，则的取值个数为个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．已知互不相等的实数，，满足，则 ．
10．在中，的对边顺次为．若关于x的方程的两根的平方和等于10，则的值为 ．
11．如果实数，满足条件，，则 ．
12．方程的解共有 ．
13．已知方程（其中a为非负整数）至少有一个整数根，那么 ．
14．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且．设满足上述要求的的最大值和最小值分别为，，则 ．
三、解答题
15．如果一个四位自然数M的千位数字和百位数字相等，十位数字和个位数字之和为8，我们称这样的数为“等合数”，例如：对于四位数5562，∵5=5且6+2=8，∴5562为“等合数”，又如：对于四位数4432，∵4=4但3+2≠8，所以4432不是“等合数”
(1)判断6627、1135是否是“等合数”，并说明理由；
(2)已知M为一个“等合数”，且M能被9整除．将M的各个数位数字之和记为P（M），将M的个位数字与十位数字的差的绝对值记为Q（M），并令G（M）=P（M）×Q（M），当G（M）是完全平方数（0除外）时，求出所有满足条件的M．
16．定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”．
(1)下列方程是“自然方程”的是_______；（填序号）
①；②；③．
(2)若方程是“自然方程”，求的值．
17．已知关于x的方程有两个实根相等，求a的值．
18．已知，并且关于x的方程①至多有一个解，试问：关于x的方程②是否一定有解？证明你的结论．
19．已知a，b，c是正数，且关于x的方程没有实数根，证明：以a，b，c为长度的线段可组成一个三角形的三条边长．
20．a是大于0的实数，已知存在唯一实数k，使得关于x的二次方程的两个根均为质数，求a的值．
试卷第4页，共4页
试卷第1页，共4页2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题
专题四、方程问题（1）（适中版）
一、单选题
1．若一元二次方程的两根的平方和大于2，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C．或
D．或 E．或
【答案】E
【详解】解 设方程的两根为则，
从而．
依题意得
（Ⅰ），
即
由①得，所以或；
由②得，所以或
故不等式组（Ⅰ）的解为或．故选E．
2．已知为实数，关于，的方程组有整数解，则的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】由，∴．
由，可知必为偶数，
又为整数，所以．故选C．
3．若方程的两个不相等的实数根，满足，则实数的所有可能的值之和为（ ）
A．0 B． C．-1 D．
【答案】B
【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系可得，．
∴，
．
∵得，
∴，
∴，
∴，，．
代入检验可知：以，均满足题意，不满足题意．
因此，实数的所有可能的值之和为．
故选B．
4．已知为关于的方程的三个实数根，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【详解】方程即，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是，，故
．
5．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】C
【详解】依题意得，且．故选C．
6．方程的实根个数为（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】解 若，则原方程化为即，即，解
得 （舍去）；
若，则原方程化为，即．因，此方程无实数根．
显然不是原方程的根．
综上所述，原方程只有一个实根．故选A．
7．若实数，，满足等式，，则可能取的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：由已知，，∴．
8．已知两个多项式、（为实数），以下结论中正确的个数是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则关于的方程无实数根；
④若为整数，且值为整数，则的取值个数为个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①直接列方程求解即可；②列绝对值方程即可直接求解，③由，可得或，再验证这两个方程是否有实数根；④列代数式，再化简，直接代数验证即可．
【详解】解：①∵，
∴，
解得：，
∴①正确；
②∵，
∴，
∴，
当时，，
解得（不符合题意，舍去），
当时，恒成立，
当时，，
解得（不符合题意，舍去），
∴②正确；
③∵，
∴，
∴或，
当时，，该方程无实数根，
当时，，该方程无实数根，
∴若，关于的方程无实数根，
∴③正确；
④∵
，
∵为整数，且值为整数，
∴，，，
∴的取值个数为个，
∴④不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查分式化简，一元二次方程，含绝对值一元一次方程，根的判别式等知识点．能够正确解方程是本题的关键．
二、填空题
9．已知互不相等的实数，，满足，则 ．
【答案】
【详解】解：设，
则，
代入，得：，
整理得：①
又由，可得②，
把②代入①式得，
即，
又∵，
∴，
∴．
验证可知：，时，；，时，，
∴．
故答案为：．
10．在中，的对边顺次为．若关于x的方程的两根的平方和等于10，则的值为 ．
【答案】
【详解】解 原方程化为．
又，
，
故方程有两个实根，且，
化简得，于是，所以，故填．
11．如果实数，满足条件，，则 ．
【答案】-1
【详解】因为，所以，．由可得
，从而，
解得．
从而，因此，即，整理得，解得（另一根舍去）．
把代入计算可得，所以．
12．方程的解共有 ．
【答案】4
【详解】设，则，
解得，于是
所以或，共4组．故应填4．
13．已知方程（其中a为非负整数）至少有一个整数根，那么 ．
【答案】1，3，5
【详解】解 若，则，矛盾，故．原方程化为，即，

．
故当或5时，原方程至少有一个整数根，所以应填：．
14．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且．设满足上述要求的的最大值和最小值分别为，，则 ．
【答案】
【详解】解：根据题意，，是一元二次方程的两根，
所以，．
∵，
∴，．
∵方程的判别式，
∴．
∴，
故，
等号当时取得；，
故，等号当时取得．
所以，，
所以．
故答案为：
三、解答题
15．如果一个四位自然数M的千位数字和百位数字相等，十位数字和个位数字之和为8，我们称这样的数为“等合数”，例如：对于四位数5562，∵5=5且6+2=8，∴5562为“等合数”，又如：对于四位数4432，∵4=4但3+2≠8，所以4432不是“等合数”
(1)判断6627、1135是否是“等合数”，并说明理由；
(2)已知M为一个“等合数”，且M能被9整除．将M的各个数位数字之和记为P（M），将M的个位数字与十位数字的差的绝对值记为Q（M），并令G（M）=P（M）×Q（M），当G（M）是完全平方数（0除外）时，求出所有满足条件的M．
【答案】(1)6627不是“等合数”， 1135是“等合数”，理由见解析
(2)5580，5508，5535，5553
【分析】（1）根据“等合数”的定义判断，即可求解；
（2）设M的千位和百位数为a，十位数为b，则个位数为8-b，其中a为0＜a≤9的整数，b为0≤b≤8的整数，可得P（M）= 2a+8， Q（M）=，从而得到G（M） =，，再由M能被9整除．可得2a+8能被9整除，从而得到a=5，再由G（M）是完全平方数（0除外）可得到或2，即可求解．
【详解】（1）解∶ 6627不是“等合数”， 1135是“等合数”，理由如下：
∵6=6，但2+7≠8，
∴6627不是“等合数”，
∵1=1且3+5=8，
∴1135是“等合数”；
（2）解：∵M为一个“等合数”，
∴可设M的千位和百位数为a，十位数为b，则个位数为8-b，其中a为0＜a≤9的整数，b为0≤b≤8的整数，
∴P（M）=a+a+b+8-b=2a+8， Q（M）=，
∴G（M）=P（M）×Q（M）=，，
∵M能被9整除．
∴2a+8能被9整除，
当2a+8=9时，，
当2a+8=18时，，
当2a+8=27时，，
当2a+8=36时，（不合题意，舍去），
∴a=5，
∵G（M）是完全平方数（0除外），
∴是完全平方数（0除外），
∵，
∴或2，
解得：b=8或0或3或5，
∴符合条件的M为5580，5508，5535，5553．
【点睛】本题主要考查了新定义的应用，含绝对值的方程，不等式组的应用，理解新定义是解题的关键．
16．定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”．
(1)下列方程是“自然方程”的是_______；（填序号）
①；②；③．
(2)若方程是“自然方程”，求的值．
【答案】(1)③
(2)或
【分析】本题考查解一元二次方程，含绝对值的方程，有理数的运算，
（1）利用“自然方程”定义判断即可；
（2）利用因式分解法表示出方程的解，根据“自然方程”定义确定出m的值即可；
熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
【详解】（1）解：①，
解得：，，
则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意；
②，
，
∵，
∴，
则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意；
③，
，
或，
解得：，，
∴，故此选项符合题意；
故答案为：③；
（2），
，
或，
解得：，，
∵方程是“自然方程”，
∴，
解得：或，
∴的值为或．
17．已知关于x的方程有两个实根相等，求a的值．
【答案】1或
【详解】解 原方程化为，
即，
即，
或，
即或．
而有等根的条件是，即有等根的条件是，即，故所求a的值是1或．
18．已知，并且关于x的方程①至多有一个解，试问：关于x的方程②是否一定有解？证明你的结论．
【答案】一定有解，证明见解析
【详解】解 依题意方程①有两个相等实根或没有实根，故其判别式，即
，
当时，，方程②化为有实根．
当时，②的判别式
（∵，且），
此时，方程②也有实根．
综上所述，方程②一定有解．
19．已知a，b，c是正数，且关于x的方程没有实数根，证明：以a，b，c为长度的线段可组成一个三角形的三条边长．
【答案】见解析
【详解】由已知条件得
．
又，故，于是
中或者有一个为正，两个为负或者三个都为正．若中有一个为正，两个为
负，不妨设，后两式相加得，矛盾，故这种情形不出现．所
以，即．故长为a，b，c的三条线段可构
成一个三角形的三条边长．
20．a是大于0的实数，已知存在唯一实数k，使得关于x的二次方程的两个根均为质数，求a的值．
【答案】
【详解】设方程的两个质数根为，则由韦达定理有．
两式相加得，即，
显然，都不等于2，故必为奇实数，所以均为正整数，且．
不妨设．于是解得其中只有，为质数，其他均不合题意，舍去．
当时，关于k的方程有唯一实根，故其判别式．又，所以．
试卷第6页，共12页
试卷第7页，共12页

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