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2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题
专题五、方程问题（2）（适中版）
一、单选题
1．满足方程组的正整数组（x，y，z）的组数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．若，，则代数式的值等于（ ）
A．-13 B． C．-15 D．
3．已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是（　　）
A．0个 B．1个
C．不少于2个但有限个 D．无数个
4．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（　　）
A． B． C． D．
5．设二次函数的图象的顶点为，与轴的交点为，．当为等边三角形时，其边长为（ ）
A． B． C． D．
6．满足等式的所有实数的和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知等腰三角形的腰长为5，底边上一点到两腰的距离之和为，则底边长为（ ）
A．4 B．6 C．6或8 D．4或6
8．已知，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．
二、填空题
9．方程的解是 ．
10．若以x为未知数的方程无解，则 或 或 ．
11．若，则 ．
12．方程的解是 ．
13．某人购买钢笔、圆珠笔若干支，钢笔价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现所买两种笔的数量颠倒了，因此，比计划支出增加了，则此人原计划买钢笔与圆珠笔的数量比为 ．
14．已知方程组的两组解是与，则的值是 ．
二、解答题
15．已知方程组若方程组有非负整数解，求正整数m的值，并求出方程组的解．
16．已知长方形的长和宽都是整数，并且其面积数与周长数恰好相等，求它的长和宽．
17．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 　法达到 　 　的目的，体现了数学的转化思想．
(2)解方程：（x2＋x）2﹣4（x2＋x）﹣12＝0
(3)已知非零实数a，b满足a2﹣ab﹣12b2＝0，求的值．
18．已知实数满足，求的值．
19．解方程．
20．甲、乙、丙三队要完成两项工程，B工程的工作量比A工程多，甲、乙、丙单独完成A工程所需时间分别是20天、24天和30天．为了同时完成两项工程，先派甲做A工程，乙、丙共同做B工程，经过几天后，又调丙与甲共同完成A工程，问丙与乙合作了几天？
试卷第2页，共3页
试卷第3页，共3页2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题
专题五、方程问题（2）（适中版）
一、单选题
1．满足方程组的正整数组（x，y，z）的组数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【详解】理由：由原方程组可得
因为x，y，z都是正整数，且31是质数，所以由②，可得 ③
由③得，．
由①得，， ④
则x可取1，3，5，15，17，此时z分别为254，84，50，16，14．
结合③，只有两组解满足．
2．若，，则代数式的值等于（ ）
A．-13 B． C．-15 D．
【答案】A
【解析】略
3．已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是（　　）
A．0个 B．1个
C．不少于2个但有限个 D．无数个
【答案】A
【分析】本题主要考查了不定方程问题，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是反证法的应用．
由直线，可得，如果直线上存在横、纵坐标都是整数的点，可得，都是整数，即可得，都是偶数，与中13为奇数矛盾，即可得出答案．
【详解】解：由直线，
得，
如果直线上存在横、纵坐标都是整数的点，
得，都是整数，
得，都是偶数，
与中13为奇数矛盾，
故选：A．
4．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可知x2＝x+1，将所求式子变形为x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1再求解即可．
【详解】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴x3﹣2x2+2x+1
＝x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1
＝x2+x﹣2x﹣2+2x+1
＝x2+x﹣1
＝（x+1）+x﹣1
＝2x，
∵x2﹣x﹣1＝0，
∴，
∴，
解得x＝或x＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴x3﹣2x2+2x+1＝1+，
故选：B．
【点睛】本题考查高次方程的解，理解题中所给降次的方法，灵活降次，准确求一元二次方程的根是解题的关键．
5．设二次函数的图象的顶点为，与轴的交点为，．当为等边三角形时，其边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设知．设，，二次函数的图象的对称轴与轴的交点为，
则．
又，则，解得或（舍去）．
所以，的边长．
6．满足等式的所有实数的和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】当即时，满足所给等式；
当即时，，满足所给等式；
当即且时，由已知等式可得：且，解得．
因此，满足等式的所有实数的和为．
7．已知等腰三角形的腰长为5，底边上一点到两腰的距离之和为，则底边长为（ ）
A．4 B．6 C．6或8 D．4或6
【答案】C
【详解】设底边长为，底边上的高为，由面积相等，①，由勾股定理②，联立①②解得：或．
8．已知，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查高次方程的解法，把原方程化为：，再把看成一个整体，解一元二次方程，最后进行检验，选择正确的解
【详解】解：∵，
∴，两边同除可得，，
∴，
解之得，或，
当时，，，无解，故舍去，
当时，，．
综合得，，
故选：A．
二、填空题
9．方程的解是 ．
【答案】1005
【详解】解 因为，所以原方程化为
，
即，所以．故填1005
10．若以x为未知数的方程无解，则 或 或 ．
【答案】 -1 -2
【详解】．方程两边乘得，整理得．当时，方程无解；当时，．要使原方程无解，必须是增根，即或2，解出或．总之，当或或时原方程无解．故应填或或．
11．若，则 ．
【答案】
【详解】因，
，
故得．
故得，两边平方后化简得，
即或．
经检验知，只有是原方程的根．
12．方程的解是 ．
【答案】
【详解】解 设，则，原方程化为，
即，
即，
（舍去）．
故
．
经检验，只有是原方程的根．
13．某人购买钢笔、圆珠笔若干支，钢笔价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现所买两种笔的数量颠倒了，因此，比计划支出增加了，则此人原计划买钢笔与圆珠笔的数量比为 ．
【答案】1：4
【详解】解 设某人计划买钢笔x支，圆珠笔y支，钢笔每支a元，圆珠笔每支b元．
题意 翻译
钢笔价格是圆珠笔的2倍
故计划支出款为
由于将所买两种笔的数量颠倒了，因此实际支出款
比计划支出增加了
原计划买钢笔与圆珠笔的数量比为_______ _______
整理得，即．
故计划买钢笔与圆珠笔的数量比为．故填．
注：在逐句翻译时，应注意将后文等量关系中涉及的一些相关量提前翻译成代数表达式，如本例中的计划支出款和实际支出款．
14．已知方程组的两组解是与，则的值是 ．
【答案】
【详解】用代入后整理得．又，所以．故应填．
二、解答题
15．已知方程组若方程组有非负整数解，求正整数m的值，并求出方程组的解．
【答案】或
【详解】将方程组中两个方程相加，便可转化为解关于m，x的不定方程．
解 将方程组中两方程相加，得．
因为原方程有非负整数解，且m为正整数，所以m的可能值为1，3，7．
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得（舍去）．
故所求原方程组的解为或
16．已知长方形的长和宽都是整数，并且其面积数与周长数恰好相等，求它的长和宽．
【答案】长方形的长为6，宽为3
【详解】设长方形的长为a，宽为b，根据题意，得，
即．
因为a，b都是正整数，且，所以
解得．
因此，长方形的长为6，宽为3．
17．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 　法达到 　 　的目的，体现了数学的转化思想．
(2)解方程：（x2＋x）2﹣4（x2＋x）﹣12＝0
(3)已知非零实数a，b满足a2﹣ab﹣12b2＝0，求的值．
【答案】(1)换元法；降次
(2)x1＝2，x2＝﹣3
(3)4或﹣3
【分析】（1）根据解答过程归纳出银法为换元法，换元法的目的是将高次方程降为低次方程求解；
（2）运用换元法求解，
（3）运用因式分解法求得a＝4b或a＝﹣3b，再代入计算即可．
【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想；
故答案为：换元法，降次；
（2）解：设x2+x＝y，原方程可变为y2﹣4y﹣12＝0，
解得y1＝﹣2，y2＝6．
当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，方程没有实数解；
当y＝6时，x2+x＝6，
∴x＝2或﹣3；
原方程有两个根：x1＝2，x2＝﹣3；
（3）解：（a﹣4b）（a+3b）＝0，
a﹣4b＝0或a+3b＝0，
所以a＝4b或a＝﹣3b，
当a＝4b时，=44；
当a＝﹣3b时，=-33．
即的值为4或﹣3．
【点睛】本题考查了高次方程：通过换元法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
18．已知实数满足，求的值．
【答案】
【详解】原方程可化为，所以．
19．解方程．
【答案】或
【详解】原方程中显然，故原方程可化为．又，
故原方程可化为，
所以为整数，设（n为整数），原方程又化为．
于是，
即
或．．
又n为整数，所以或，故或
20．甲、乙、丙三队要完成两项工程，B工程的工作量比A工程多，甲、乙、丙单独完成A工程所需时间分别是20天、24天和30天．为了同时完成两项工程，先派甲做A工程，乙、丙共同做B工程，经过几天后，又调丙与甲共同完成A工程，问丙与乙合作了几天？
【答案】15天
【详解】设丙队与乙队合作x天，与甲队合作y天，则依题意可得去分母得
由此解出
答：乙、丙合作了15天．
试卷第8页，共9页
试卷第9页，共9页

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