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天津市南开中学 2026届高三上学期数学统练 8
一、单选题：本题共 9小题，每小题 5 分，共 45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知全集 = {1,2,3,4,5,6}， = {1,2,3,4}， = {3,4,5,6}，则 ∩ U =( )
A. {5,6} B. {3,4,5,6} C. {1,2,5,6} D.
2.已知 , , ∈ ，使 > 成立的一个充分不必要条件是( )
1 1
A. + > + B. < C. 2 > 2 D. 2 > 2

3.已知函数 ( )的图象如图所示，则函数 ( )的解析式可能为( )
2+1
A. ( ) = cos2 (e e ) B. ( ) = sin2 ln
2
e +e 1 2
C. ( ) = D. ( ) = ln
2+1
3 3 4 5π
4.设 = ( ) 4， = ( )2， = log2sin ，则 ， ， 的大小关系是( ) 4 3 12
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如
表所示：
时间 1 2 3 4 5
销售量 /万瓶 5.7 4.8 3.8 3.2 2.5
若 与 线性相关，且线性回归方程为 = 0.8 + ，则下列说法不．正．确．的是( )
A. 由题中数据可知，变量 与 负相关 B. 样本中心点为(3,4)
C. 可以预测当 = 6时销量约为1.8万瓶 D. 线性回归方程 = 0.8 + 中 = 6.4
6.在 中， = 2, = 3， 为 边上的中线， 为 的中点， 在 方向上的投影向量为
3
，则| | =( )
4
√ 3 3 3√ 3
A. B. C. √ 3 D.
4 4 4
7.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且2 cos + 2 cos = 2， cos + √ 3 sin = +
， 为 的外心，则 的值为( )
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2√ 3 2√ 3 2 2
A. B. C. D.
3 3 3 3
8.已知 中， = = 2√ 2，| +
1
| = 2( ∈ R)， = ， = sin2 + cos2
min 2

π π
， ∈ [ , ]，则| |的取值范围为( )
6 3
4√ 2 4√ 5 4 4√ 5 √ 17 √ 41 4 √ 41
A. [ , ] B. [ , ] C. [ , ] D. [ , ]
3 3 3 3 3 3 3 3
π π π
9.已知函数 ( ) = sin ( ) ( > 0)在区间( , )上单调递增且存在零点，则 的取值范围是( )
6 3 2
1 4 1 1 1 1 16
A. ( , ] ∪ [5,6] B. ( , ) C. ( , ) ∪ [5, ] D. [5,6]
3 3 3 2 3 2 3
二、填空题：本题共 6小题，每小题 5 分，共 30分。
10.已知复数 满足 + 10i = (i为虚数单位)，则 的虚部为 ．
11.设(1 2 )5 = 0 +
2 5
1 + 2 + + 5 ，则 1 + 2 + + 5 = ．
π
12. 的三个内角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，若 = , = √ 6, = 2，角 的平分线交 于
3
，则 = ．
13.已知甲盒产品中有4个正品和2个次品，乙盒产品中有3个正品和2个次品，若从甲盒中任取2个产品，则
这2个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率 .若先从甲盒中任取2个产品，放入乙盒，
再从乙盒任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为 ．
14.在菱形 中， = 6，∠ = 60°， = 2 ， = 2 ，已知点 在线段 上，且 =
1
+ ，则| | = ，若点 为线段 上一个动点，则 的最小值为 ．
2
15.已知函数 ( )的定义域为 ，且对任意的 ∈ 都满足 (1 + ) = (1 ).当 ≤ 1时， ( ) =
ln , 0 < ≤ 1,
{ 若函数 ( ) = | | 2与 ( )的图像恰有两个交点，则实数 的取值范围是 ． e , ≤ 0.
三、解答题：本题共 5小题，共 75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数 ( ) = sin ， > 0．
π
(1)若函数 = ( )的最小正周期为 ，求函数 = ( ) √ 3cos2 在(0, )上的值域；
2
√ 3
(2)若 = 1，在 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，其中 满足 ( ) = ， = 4，求 的
2
最小值．
17.如图，在四棱锥 中， ⊥底面 ，四边形 为平行四边形，其中 = √ 3， =
1， = 2 ，且∠ = 60°，点 为 的中点．
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(1)证明： //平面 ．
(2)求点 到平面 的距离．
(3)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
2 2 1
18.已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ， ， 分别为椭圆的左、右顶点， 为椭圆的上顶点，且 2
= 4.直线 ： = + 3交椭圆于 ， 两点．
(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线 的斜率为 1，直线 的斜率为 ，求
1
2 的值； 2
19.已知函数 ( ) = (1 ) ln 1．
(1)若 ( )的极小值小于 1，求 的取值范围；
(2)当 > 1时，判断 ( ) = ( ) + e 的零点个数并写出证明过程．
2 π π
20.已知函数 ( ) = 1 cos ， ∈ ( , )．
2 2 2
(1)判断函数 ( )的单调性；
π
(2)若 ( ) = ln(cos ) + ，证明： ( ) > ( )；
4
2
(3)证明：∑ =2 cos > 3( ≥ 2, ∈ N ).
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 5
11. 2
12.2
4
13. ； ； ； ；
7
13
；
21
14.7
37
；
4
15. ≤ 0或 = e
2π
16.(1)由题意可得 = π，则 = 2，

π
= ( ) √ 3cos2 = sin2 √ 3cos2 = 2sin (2 )，
3
π π π 2π π √ 3
当 ∈ (0, )时，2 ∈ ( , )，则sin (2 ) ∈ ( , 1],
2 3 3 3 3 2
π
则函数 = ( ) √ 3cos2 在(0, )上的值域为( √ 3, 2]；
2
π √ 3 π(2)由 = 4 > 0，则 ∈ (0, )， ( ) = sin = ，则 = ，
2 2 3
π 1
= cos = = 4，则 = 8，
3 2
则 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 8 ≥ 2 8 = 8，
当且仅当 = = 2√ 2时，等号成立，
故 最小值为2√ 2．
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17.(1)连接平行四边形 的对角线 ，交 于 ，
在 中， 是 的中点， 是 中点，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
(2)由已知，∠ = 60°， = 1， = 2 = 2，
在 中，由余弦定理得 = √ 2 + 2 2 cos60° = √ 3，
则 2 + 2 = 4 = 2，由勾股定理，则 ⊥ ，
又 ⊥底面 ， , 平面 ，则有 ⊥ ， ⊥ ，
所以以 为原点，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，建立如图示的空间直角坐标，则 (0, 0, 0)，
(1, 0, 0)， (0, √ 3, 0)， ( 1, √ 3, 0)， (0, 0, √ 3)，
1 √ 3 √ 3 1 √ 3 √ 3
的中点 ( , , )， = ( , , )， =
2 2 2 2 2 2
(0, √ 3, 0)，
设平面 法向量为 = ( , , )，
= √ 3 = 0
则{ 1 √ 3 √ 3 ，取 = 1，则 = √ 3， = 0，故 = (√ 3, 0, 1)，
= + + = 0
2 2 2

| 1×√ 3| √ 3 = ( 1, 0, 0)，则点 与平面 的距离 = | | = = ．
| |
√ 2
2
(√ 3) +1
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(3)由(2)得，
= ( 1, 0, √ 3)， = ( 1, √ 3, 0)，设平面 的法向量为 = ( , , )，
= + √ 3 = 0则{ ,
= + √ 3 = 0
取 = 1，则 = √ 3， = 1，则 = (√ 3, 1, 1)，
√ 3×√ 3+1 2√ 5
平面 与平面 所成锐二面角余弦值为|cos , | = | | = | | = ．
| || | 2×√ 5 5
18.(1)由题意知 ( , 0), ( , 0), (0, )，则 = ( , ), = ( , )，
所以 = 2 + 2 = 2 = 4，即 = 2，
1
又 = = ，所以 = 4, = √ 2 2 = 2√ 3，
2
2 2
所以椭圆的标准方程为 + = 1；
16 12
(2)直线 : = + 3， ( 1, 1), ( 2, 2)，
= + 3
由{ 2 2 ，得(3 2 + 4) 2 + 18 21 = 0，
+ = 1
16 12
18 21 7
则 1 + 2 = 2 , = ，所以 = ( + )， 3 +4 1 2 3 2+4 1 2 6 1 2

因为椭圆的左，右顶点分别为 ( 4,0), (4,0)，所以 11 = , =
2 ，
+4 21 2 4
7 1 7
( 4) ( + ) + 1
所以 1 = 1 2 = 1 2 1 = 6 1 2 1 = 6 1 6 2 = ．
2 2( 1+4) 1 2+7
7 7 49
2 ( 1+ 2)+7 2 1+
7
6 6 6 2
1 +1
19.(1)函数 ( )的定义域为(0,+∞)，且 ′( ) = = ，

当 ≥ 0时，易得 ′( ) < 0, ( )在(0,+∞)上单调递减，则 ( )无极小值，不满足；
1 1
当 < 0时，由 ′( ) > 0，得 > ，即 ( )在( ,+∞)上单调递增；

1 1
由 ′( ) < 0，得0 < < ，即 ( )在(0, )上单调递减，

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1
所以 ( )的极小值为 ( ) = + ln( )，而 ( )的极小值小于 1，

所以 + ln( ) < 1，即1 + + ln( ) < 0，
1 +1
令 ( ) = 1 + + ln( )( < 0)，则 ′( ) = 1 + = ，

所以当 ∈ ( ∞, 1)时， ′( ) > 0，当 ∈ ( 1,0)时， ′( ) < 0，
则 ( )在( ∞, 1)上单调递增，在( 1,0)上单调递减， ( )max = ( 1) = 0
所以 ( ) < 0，可得 ∈ ( ∞, 1) ∪ ( 1,0)．
故 的取值范围为( ∞, 1) ∪ ( 1,0)．
(2) ( ) = ( ) + e = e ln 1, ∈ (0,+∞)．
ln +1
令 ( ) = 0，得e = 0，

ln +1令 ( ) = e , ∈ (0,+∞)，则 ( )与 ( )有相同的零点，

′ 1 (ln +1)
2e +ln
且 ( ) = e
2
=
2
．
1
令 ( ) = 2e + ln , ∈ (0,+∞)，则 ′( ) = ( 2 + 2 )e + ，

因为 > 0，则 ′( ) > 0，所以 ( )在区间(0,+∞)上单调递增，
1 1 1
又 ( ) = e 2e 1 < 0, (1) = > 0，所以
e 0
∈ ( , 1)，使得 ( 0) = 0， e
当 ∈ (0, 0)时， ( ) < 0，即
′( ) < 0；当 ∈ ( 0, +∞)时， ( ) > 0，即
′( ) > 0，
ln +1
所以 ( )在(0, 0)单调递减，在( 0, +∞)单调递增，最小值为 ( ) = e
0 00 ． 0
1
1 1 1 1 ln
由 ( 0) = 0，得
2e 00 + ln 0 = 0 0e
0 = ln = ln ，即 e 00 0 = ln e
0，
0 0 0 0
令 ( ) = e , ∈ (0,+∞)，则 ′( ) = ( + 1)e > 0，则 ( )在(0,+∞)单调递增，
1 1 1
因为 < 0 < 1，所以ln > 0，则 ( 0) = (ln )， e 0 0
1 1
所以 0 = ln ，从而e
0 = , 0 = ln 0， 0 0
ln +1 1 +1
所以 ( )的最小值 ( 0) = e
0 0 = 0 = 1 ，
0 0 0
又当 趋近于0时， ( )趋近于+∞，当 趋近于+∞时， ( )趋近于+∞，
当 > 1时，1 < 0, ( )有2个零点，
故 ( )有2个零点．
20.(1) ′( ) = sin ，令 ( ) = ′( ) = sin ，
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′ π π ( ) = cos 1 ≤ 0在 ∈ ( , )恒成立．
2 2
π π
∴ ′( )在( , )上单调递减．
2 2
π π
∴ ∈ (0, )， ′( ) < ′(0) = 0； ∈ ( , 0)， ′( ) > 0．
2 2
π π
故 ( )在( , 0)上单调递增， ( )在(0, )上单调递减．
2 2
(2)法一：据(1)可知， ( ) ≤ (0) = 0恒成立．
sin
∵ ′( ) = 1 + = 1 + tan ，
cos
π π π π
当 ∈ ( , )时， ′( ) < 0，当 ∈ ( , )时， ′( ) > 0，
2 4 4 2
π π π π
∴ ( )在( , )上单调递减，在( , )上单调递增；
2 4 4 2
π 1 1
∴ ( ) ≥ ( ) = ln2，∴ ( ) ≥ ln2 > 0，则 ( ) > ( )成立．
4 2 2
法二：要证 ( ) > ( )，即证 ( ) ( ) > 0．
1 1
令 ( ) = ln 1， ′( ) = 1 = ，

当 > 1时， ′( ) < 0，函数 ( )在(1,+∞)上单调递减，
当 < 1时， ′( ) > 0，函数 ( )在(0,1)上单调递增，
∵ (1) = 2，∴ ( ) ≤ 2，即ln ≤ 1．
1 π
令 ( ) = ( ) ( ) = ln(cos ) + cos + 2 1 + ，
2 4
1 π
即 ( ) = 2 + + cos ln(cos ) + 1，
2 4
1 1 1 1
令 = 21 + = ( + 1)
2 ，所以
2 2 2 1
≥ ，
2
根据ln ≤ 1，∴ cos ln(cos ) ≥ 1，
1 π 1 π
∴ ( ) > + 1 + 1 = + > 0，
2 4 2 4
∴ ( ) > ( )成立．
2 2 2 2 2
(3)据(1)可知， ( ) = 1 cos ≤ 0 cos ≥ 1 ，令 = ，则cos ≥ 1 ，
2 2 2
2 2 2 1 1
cos ≥ 1 > 1 = 1 2( )( ≥ 2, ∈ N ).
2 ( 1) ( 1)
2 2 2 2 2∑ =2 cos = cos1 + cos + cos + cos + + cos ， 3 4 5
2 1 1 2 1 1 2 1 1
cos1 = cos > 1 2( )， cos > 1 2( )，…，cos > 1 2( )，
2 1 2 3 2 3 1
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2 2 1 2
相加可得：cos1 + cos + + cos > ( 1) 2(1 ) = 3 + ，
3
2 2 2
因为 ≥ 2，则 > 0， 3 + > 3，所以∑ cos > 3，
=2
2故∑ =2 cos > 3对 ≥ 2， ∈ 恒成立．
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