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2025秋期高三年级迎期中拉练试题
数学学科
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）
1．在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若，则=（ ）
A． B．5 C． D．
3．已知命题：，，命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
4．已知是R上的减函数，，是其图象上的两点，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 ABC中，是延长线上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．记 ABC的内角的对边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9．已知集合，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．函数，，的最小正周期为，且方程在上有两个不相等的实数根，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则
C．
D．
11．已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．
C．
D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是 ．
13．如图，在 ABC中，，，、是边上的两点，且，则 ．
14．已知是上的偶函数，为的导函数，.若，，则实数的取值范围为 .
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15(13分）．已知函数的最小正周期为，且的最大值为2.
(1)求和a的值；
(2)若函数在区间内有且仅有两个零点，，求m的取值范围及的值.
16．（15分）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
17．（15分）已知数列满足，.
(1)求证：为等比数列；
(2)求数列的前项和.
18．（17分）在 ABC中，角所对的边分别为.
(1)求角；
(2)若 ABC为锐角三角形，求的最大值；
(3)利用两角和与差的正弦余弦公式可以推得公式：，这些公式在三角式的化简中有重要作用.若等于边上的高，求的值.
19．（17分）已知函数.
(1)求的极值.
(2)已知函数.
①若没有零点，求的取值范围；
②若有两个不同的零点，证明：.
试卷第1页，共3页
《模拟演练一》参考答案
1．C【详解】依题意，，
所以在复平面内，对应的点位于第三象限. 故选：C
2．B【详解】由，得，所以.故选：B
对于命题q：，，因函数在区间上为增函数，且值域为,
故A项错误；B项正确；C项错误；D项错误.故选：B.
4．C【详解】依题意，，不等式化为：，
而函数是R上的减函数，则，解得，
所以不等式的解集为.故选：C
5．C【详解】成等差数列，，又，
，整理可得：，
，解得：（舍）或.故选：C.
6．B【详解】.故选：B.
7．A【详解】因，
故，即；
又，
故，即.
故有即.
故选：A.
8．C【详解】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.故选：C.
9．BCD【详解】函数中，，则，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，则，C正确；
对于D，集合的元素是数，集合的元素是有序实数对，因此，D正确.
故选：BCD
10．BCD【详解】依题意，函数，
由的最小正周期为，得，解得，
对于A，，A错误；
对于B，把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，
则，B正确；
对于C，当时，，而正弦函数在上的图象关于直线对称，
依题意，，解得，C正确；
对于D，由，得，解得，
由选项C知，，因此，D正确.
故选：BCD
11．BD【详解】①，
②，
由②可得：③，
①③联立可得：④，
所以的图象关于点对称，A错；
由④，又为偶函数，所以，
所以，两式相减可得：，
又，，结合
所以，B对，
，由，可知：，
所以，所以，C错；
由，可得，结合，
得：，
所以，
又，所以
即，，，
所以，
所以，D正确.
故选：BD
12．【详解】不等式，解得，
依题意， ，则，此时，
所以m的取值范围是.故答案为：
13．/【详解】因为，，则，
不妨设，则，
因为，则，
所以，，同理可得，
因为，则，
故，
由二倍角的余弦公式可得，可得，
所以，.
故答案为：.
14．【详解】令，则，
因为对，所以，
所以在上单调递增，
又为上的偶函数，所以，
所以为上的奇函数，所以在上单调递增.
由，
可化为，即，
所以在上恒成立，所以，
令，，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数，结合题意得到在上单调递增，再将问题转化为在上恒成立，进而求解即可.
15．；【详解】（1）由
，
则，即，
又，即.
（2）由（1）知，，
则，
令，即，
当时，，
因为函数在区间内有且仅有两个零点，，
结合正弦函数的图象可知，，
解得，即m的取值范围为.
又，即，
则.
16．【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的单调递增区间是；
当时，函数的单调递增区间是，递减区间是.
17．【详解】（1）因为，所以，
又，
所以为等比数列，首项为1，公比为2.
（2）由（1）知，故，
所以，
故
，
令，①
则，
其中，②
得
，
故，
所以.
18．【详解】（1）由及正弦定理，得，
因为，所以，所以，
化简，得，所以，
又，所以.
（2）由（1）知，所以，
所以，
因为为锐角三角形，所以
所以，
所以，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为2.
（3）由（1）知，则，
又，所以，
由正弦定理，得，即，
又，
，
所以，解得或（舍），
所以.
19．【详解】（1）函数定义域为，求导得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在取得极大值，无极小值.
（2）①函数，求导得，
令函数，求导得，
当时，，，，，
当时，，
则，
，
当时，，
则，，
因此当时，，
即，在上单调递减，
由，得当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
由没有零点，得，解得，所以的取值范围为.
②由①及有两个不同的零点，得，
不妨设，则，，而，
则，由函数在上单调递减，得，
所以.
答案第1页，共2页2025年秋期高三年级迎期中拉练试题
高三年级数学参考答案
1．【答案】C
【解析】依题意，，
所以在复平面内，对应的点位于第三象限. 故选：C
2．【答案】B
【解析】由，得，所以.故选：B
3．【答案】B
对于命题q：，，因函数在区间上为增函数，且值域为,
故A项错误；B项正确；C项错误；D项错误.故选：B.
4．【答案】C
【解析】依题意，，不等式化为：，
而函数是R上的减函数，则，解得，
所以不等式的解集为.故选：C
5．【答案】C
【解析】成等差数列，，又，
，整理可得：，
，解得：（舍）或.故选：C.
6．【答案】B
【解析】.故选：B.
7．【答案】A
【解析】因，
故，即；
又，
故，即.
故有即.
故选：A.
8．【答案】C
【解析】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.故选：C.
9．【答案】BCD
【解析】函数中，，则，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，则，C正确；
对于D，集合的元素是数，集合的元素是有序实数对，因此，D正确.
故选：BCD
10．【答案】BCD
【解析】依题意，函数，
由的最小正周期为，得，解得，
对于A，，A错误；
对于B，把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，
则，B正确；
对于C，当时，，而正弦函数在上的图象关于直线对称，
依题意，，解得，C正确；
对于D，由，得，解得，
由选项C知，，因此，D正确.
故选：BCD
11．【答案】BD
【解析】①，
②，
由②可得：③，
①③联立可得：④，
所以的图象关于点对称，A错；
由④，又为偶函数，所以，
所以，两式相减可得：，
又，，结合
所以，B对，
，由，可知：，
所以，所以，C错；
由，可得，结合，
得：，
所以，
又，所以
即，，，
所以，
所以，D正确.
故选：BD
12．【答案】
【解析】不等式，解得，
依题意， ，则，此时，
所以m的取值范围是.故答案为：
13．【答案】/
【解析】因为，，则，
不妨设，则，
因为，则，
所以，，同理可得，
因为，则，
故，
由二倍角的余弦公式可得，可得，
所以，.
故答案为：.
14．【答案】
【解析】令，则，
因为对，所以，
所以在上单调递增，
又为上的偶函数，所以，
所以为上的奇函数，所以在上单调递增.
由，
可化为，即，
所以在上恒成立，所以，
令，，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数，结合题意得到在上单调递增，再将问题转化为在上恒成立，进而求解即可.
15．【解析】
（1）由
，
则，即，
又，即.
（2）由（1）知，，
则，
令，即，
当时，，
因为函数在区间内有且仅有两个零点，，
结合正弦函数的图象可知，，
解得，即m的取值范围为.
又，即，
则.
16．【解析】
（1）当时，函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的单调递增区间是；
当时，函数的单调递增区间是，递减区间是.
17．【解析】
（1）因为，所以，
又，
所以为等比数列，首项为1，公比为2.
（2）由（1）知，故，
所以，
故
，
令，①
则，
其中，②
得
，
故，
所以.
18．【解析】
（1）由及正弦定理，得，
因为，所以，所以，
化简，得，所以，
又，所以.
（2）由（1）知，所以，
所以，
因为为锐角三角形，所以
所以，
所以，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为2.
（3）由（1）知，则，
又，所以，
由正弦定理，得，即，
又，
，
所以，解得或（舍），
所以.
19．【解析】
（1）函数定义域为，求导得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在取得极大值，无极小值.
（2）①函数，求导得，
令函数，求导得，
当时，，，，，
当时，，
则，
，
当时，，
则，，
因此当时，，
即，在上单调递减，
由，得当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
由没有零点，得，解得，所以的取值范围为.
②由①及有两个不同的零点，得，
不妨设，则，，而，
则，由函数在上单调递减，得，
所以.
高三数学参考答案 第 一 页（共 6 页）

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