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2025-2026学年度第一学期高二期中学情调研测试
数学试题
（考试时间：120分钟试卷满分：150分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z=2+1,则z的实部是(
-2i
A
B
C.1
D.i
2.已知△ABC的顶点为A1,2),B(5,4),C(2,-2),则AB边上的中线长为(
A.√6
B.45
C.√26
D.6
3.已知直线l:ax+2y-1+a=0在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍，则实数a的值是
A.6
B号
C子或1
D.6或1
4.已知P(0,2)在圆C:x2+y2+4x+m=0外，则实数m的取值范围为(
A.-4B.m<4
C.m<-4或m>4
D.m>-4
5.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到：椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长
与短半轴长的乘积.已知椭圆C的中心为原点，焦点F,F2均在y轴上，其面积为6V2π，
若椭圆C上一点P满足PF+PF,=6,则椭圆C的标准方程为(
B.2
+x2=1
6.已知圆C:x2+y2+2x-2y-2=0与圆C2:x2+y2+2y-4=0相交于A,B两点，则弦AB
的长度为(
A.4v5
5
B.85
5
c号
D
1.已知双曲线C若茶-1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为斤，5，A是双曲线的
一个顶点.以FE为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M,N两点，且∠MAW=3亚，则
A
双曲线C的渐近线方程为(
A.y=+2v3x
B.y=±2x
D.y=±√2x
8.已知圆T:(x-2)2+y2=4的切线1与圆C:x2+y2-2x-15=0交于A,B两点，则△TAB
面积的取值范围是(
A.[2W7,215]
B.[2W7,8]
C.[2W3,215]
D.[23,8]
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知A(2,1),B(0,3),C(3,6),且四边形ABCD是矩形，则()
A.直线AB的斜率为-1
B.直线AD的方程为x-y-1=0
C.四边形ABCD的面积为6
D.以BD为直径的圆的方程为x2+y2-5x-7y+12=0
10已知左右焦点分别为F,R的椭圆等+号1上有一动点P(异于长轴端点4：4)，
则下列说法正确的是(
A.|PF|的取值范围为(1,3)
B.射线PR与椭圆交于点Q,则PO的最小值为
C.椭圆上存在4个不同的点P,使得△PFF,为直角三角形
D.直线PA,PA,的斜率之积为-号
11.高邮融合历史与现代，将“好事成双”提炼为文旅品牌.邮城一位数学老师设计了“双核”
曲线C,其方程为x2+y2+2|x-41y=0.对于曲线C，下列说法正确的是(
A.当且仅当k∈-？，]时，直线y=c与曲线C有唯一公共点
B.曲线C上存在唯一的点P,使得P点到(0,5)与到(0，-5)的距离之差为8
C.曲线C所围成的封闭曲线面积小于10m-8
3
D.若曲线C上恰好存在4个不同点到直线y=2x+m的距离为1，则实数m的取值范围
为-1-5，-5+5)U1-v5,-1+V5)U5-5,1+5⑤)
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的
横线上
写双曲线C:子-片1有相同焦点，且过点2,2V2)的双曲线的标准方程为
13.复数z满足z·z=4,则|z-3+i的最大值为
乙C活+1(a>h20）的、右焦点分别为F,R,P是椭圆C上一点
∠RPK,=各，若△P听内切圆的半径r=s品写·则椭圆C的离心率为
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤
15.(本小题13分)己知复数z=1-i.
(1)若z是关于x的方程x2+px+g=0(p,9∈R)的一个根，求p+9的值：
(2)若复数z满足|=2，且z·名是纯虚数，求复数·2025-2026学年度第一学期高二期中学情调研测试
数学试题参考答案
一、单选题
1.B2.C3.C4.A5.D6.B7.B8.A
二、多选题：
9.ABD
10.AC
11.ABD
三、填空题：
2r-若1
13.√10+2
14舒
四、解答题：
15.(本小题13分)
解：(1)已知1-i是关于x的方程x2+px+q=0(D,q∈R)的一个根，
所以(1-i)2+p(1-i)+9=0,即(p+q)-(p+2)i=0,
所p+9=0.6分
(2)设名=a+bi(a,b∈R),所以2=V2+B=2,8分
又z·3=(1-i)(a+bi=a+b+(b-adi,且z·z是纯虚数，
a+b=0
所以
b-a≠0’
10分
a=√2
a=-V2
解得
或
b=-21b=V2
所以z,=V2-√2i或z,=-√2+2i
13分
16.(本小题15分)
解：1)因为%：2x-y-30,
所以，4与l2间的距离为d=
la-(-3)I la+zl_75
22+-=5
10
2分
即1a+子，因为a>0,所以a=3:
5分
2x-y+3=0
x=-
(2)由直线（与（的方程联立方程组
x+y-1=0，解得
7分
y=
即两直线的交点坐标为P(号，多，
设所求直线方程为x+2y+m=0,代入P(-号，多解得m=-
9分
故所求的直线方程为3x+6y-8=0…
10分
(3)由题可设所求直线1方程为2x-y+n=0,则有
|n-31
1n+
22+(-12
22+(←1乃
12分
即n-3=-n-解得n=
4
故所求的直线方程为8.x-4y+5=0…
15分
17.（本小题15分)
解：(1)设追踪机器人在点P(x,y)处拦截目标机器人，
因为追踪机器人与目标机器人速度之比为2：1，
所以，相遇时PA=2PB,
…
3分
所以，Vx2+y2=2√x-3)2+y-6)2→(x-4)2+0y-8)2=20
即，甲乙相遇点P的轨迹方程为(x-4)2+(y-8)2=20,
8分
(2)因为点P的轨迹圆的圆心到x=8.4的距离为4.4<2V5,
所以d则相遇点会出现在危险区内，
故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截
.15分
18.(本小题17分)
解：(1)因为△PQE,的周长为4v6,所以4a=46,得a=√6，
椭圆方程若+茶-1，代入点P2,》,得分3.
所以，椭圆方程为兰+
-=1.
4分
63
(2)因为直线1与椭圆只有一个公共点，且点P在椭圆上，
所以，直线的斜率存在，设为k,
5分
则直线方程为y-1=k(x-2),即y=x-2k+1.
y=kx-2k+1
联立
+
6
31
，得(1+2k2)x2-(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0
由△=0，得(8K2-4K)2-41+2k2)(8k2-8k-4)=0,解得k=-1,8分
所以直线1的方程为：y=-x+3.…
…9分
(3)法一：设M(x,),N(x2,2)
①当直线MN斜率存在时，设斜率为k,设直线MN方程为y=x+m,
2

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