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云南省保山市腾冲市部分学校2026届高三上学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，且，则实数的所有取值集合是( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列的前项和为，且，则“”是“的公比为”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
5.设是公差不为零的等差数列，且，则的前项的和为( )
A. B. C. D.
6.已知向量满足，，与的夹角为，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且满足，，则下列结论正确的是( )
A. B. 方程有解
C. 是偶函数 D. 是偶函数
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 的最小值为
10.已知函数的图象过点和，且满足，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 当时，函数值域为
D. 函数有三个零点
11.已知数列满足，，为数列的前项和，则下列说法正确的有( )
A. 为偶数时， B.
C. D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则塔的高度 米
13.已知函数若存在，使得，则实数的取值范围是 ．
14.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要个步骤变成简称为步“雹程”“冰雹猜想”可表示为数列满足：为正整数，问：当时，试确定使得需要 步“雹程”；若，则所有可能的取值所构成的集合为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别是，，，已知．
求角的值；
若，点在边上，为的平分线，的面积为，求边长的值．
16.本小题分
已知数列是首项，公比的等比数列，设，数列满足．
证明：数列成等差数列．
若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调递减区间；
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值．
18.本小题分
设等比数列的前项和为，已知．
求数列的通项公式；
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．
设，求；
在数列中是否存在三项、、其中、、成等差数列成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．
19.本小题分
对于正实数有基本不等式：，其中，为的算术平均数，，为的几何平均数．现定义的对数平均数：
设，求证：：
证明不等式：：
若不等式对于任意的正实数恒成立，求正实数的最大值．
参考答案
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14.

15.解：，
则由余弦定理可得：，整理可得，
可得，
因为，
所以．
解：在中，，
可得，可得，又，
由可得：，解得，或舍去，
所以边长的值为．

16.证明：由题意知，．
，
，
，
数列是首项，公差的等差数列．
由得，
，．
当时，当时，，
即．
当或时，取最大值．
又对一切正整数恒成立，
，
即解得或．

17.
．
由，
解得
即时，函数单调递减，
所以函数的单调递减区间为；
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，
则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象，
所以．
若，则，．
由，得，又，
所以，则，
故
．
故的值为．

18.解：当时，由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
因为数列是等比数列，则当时，，解得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故．
解：由题意可得，则，
所以，，
则，
上述两个等式作差得
，
因此，；
假设在数列中是否存在三项、、其中、、成等差数列成等比数列，
则，即，
因为、、成等差数列，则，不妨设，
整理可得，即，即，
即，即，
因为，则，故假设不成立，
因此，在数列中不存在三项、、其中、、成等差数列成等比数列．

19.令，则，
，得在上单调递减，
又，故当时，，
因此，当时，；
证明：要证，只要证，
只要证，即证，
令，由有，即得，
因此，；
由恒成立，
得恒成立，即得恒成立，
令，有恒成立，
得恒成立，恒成立，
令，有，
又，
当，即时，
方程有一根大于，一根小于，
可得在上单调递增，故有，不符合；
当时，有，
，从而在上单调递减，
故当时，恒有，符合．
综上所述，正实数的取值范围为，
因此，正实数的最大值为．

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