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山东省德州市禹城市综合实验高中 2026届高三上学期期中模拟
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { 4, 2,7,9}， = { || 2| ≤ 5}，则 ∩ =( )
A. { 2,7} B. { 4,9} C. {7,9} D. { 4, 2,7}
2.已知数列{ }的前 项之积是首项为2，公差为3的等差数列，则 3 =( )
8 10
A. 4 B. 3 C. D.
5 7
ln , 0 < ≤ 1, 1 10
3.已知函数 ( ) = { 若 ( ) = ln2，则 ( ) =( )
3 ( 1), > 1, 2 3
A. 9ln3 B. 9ln3 C. 27ln3 D. 27ln3
4.若函数 ( ) = cos2 + 2sin cos sin2 的最小正周期为2，则正实数 =( )
π π
A. B. C. π D. 2π
4 2
5
5.记向量 = (1,2), = (0,1)，设甲：向量 与向量 + 的夹角为锐角，乙： > ，则甲是乙的( )
2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数 ( )的定义域为 ，且满足 ( ) + ( ) = 0, ( + 2) + ( ) = 0，当 ∈ [ 2,0]时， ( ) =
2 2 ，则当 ∈ [4,6]时，函数 ( )的最大值为( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 0
7
7.已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为45°，若△ 的面积为
8
5√ 15，则该圆锥的侧面积为( )
A. 80√ 2 B. 40 C. 40√ 2 D. 40√ 5
8.定义在 上的函数 ( )的导函数为 ′( )，满足 ( ) + 1 2 (1 + ( )) = 0, (1) = 2 1，且当 ∈
(0,+∞)时， ′( ) ( ) > 1，则不等式 ( 1) > 1的解集为( )
A. (0,2) B. ( 1,1)
C. ( ∞, 0) ∪ (2,+∞) D. ( ∞, 1) ∪ (1,+∞)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知复数 1 = 1 2i在复平面内的对应点为 ，复数 2在复平面内的对应点为 ，且 = (3,3)，则下列
结论正确的是( )
A. 2 = 5
B. 1的共轭复数是1 + 2i
C. 5 1 2 2 = 3 12i
D. 复数 1 2在复平面上的对应点位于第二象限
10.在正四棱柱 1 1 1 1中， 1 = 2 = 2， 是 1的中点，则( )
A. //平面 1 1
B. 1 ⊥平面
C. 对角线 1与底面 所成的角为45°
1
D. 四面体 1的体积是 6
11.已知函数 ( ) = 3 + 2 + + 1，则下列说法正确的是( )
A. 当 = 3时， ( )有两个零点
B. 当 = 3时，曲线 = ( )关于点(1, 4)对称
C. 当 = 0时，若过点( , )可以作曲线 = ( ) 1的三条切线，则| + | < | 3|
D. 存在 使得方程 ( ) = 2 2有三个不等的实根 1, 2, 3( 1 < 2 < 3)，且 1 + 3 = 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
2+
12.已知 + = 3( > 0, > 0)，则 的最小值为 ．

1
13.在 中，cos∠ = , , 边上的两条中线分别为 , ，若 ⊥ ，则 = ．
6
e2 + , ≥ 1
14.若函数 ( ) = { 有且仅有两个零点，则实数 的取值范围为 ．
2 , < 1
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)

已知向量 与 是夹角为 的单位向量，且向量 = 3 + 4 , 1 2 1 2 = 2 1 + 3 2 ．
(1)求| |；
(2)若 ⊥ ( + )，求实数 的值．
16.(本小题15分)
已知 , , 分别为 内角 、 、 的对边，sin sin = sin √ 3cos ，且 > ．
(1)求 ；
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√ 3
(2)若 = √ 3， 的面积为 ，求 的周长．
2
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 — 中，底面 是正方形，侧面 ⊥底面 ，且 = = = 3．
(1)若点 为线段 的中点，求证： ⊥平面 ；
(2)若
1
= ，则线段 上是否存在一点 ，使得 //平面 ，若存在，请确定点 的位置，并求
2
三棱锥 的体积．
18.(本小题17分)
已知数列{ }满足 1 = 1, 2 = 3，且对任意正整数 ≥ 3有 = 3 1 2 2，数列{ }满足 1 = 1, =
1( ≥ 2)
(1)证明：数列{ }是等比数列；
2 1
(2)设 = ，数列{ }的前 项和 ；
①求 ；

②若不等式( 1) < + 2对任意的正整数 恒成立，求实数 的取值范围． 2
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 2 ln ( ∈ )．
(1)当 = 0时，求函数 ( )的极值；
1
(2)当 > 1时， ( ) > ，求 的取值范围；
2
3 5 7 4051
(3)求证： + + + + > ln2026．
1×2 2×3 3×4 2025×2026
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
2√ 3 1
12. +
3 3
3
13.
2
1 1
14.( ∞, 2) ∪ [ , )
e2 2e
1
15.解：(1)由题意可得 1 2 = | 1 || 2 |cos 1 , 2 = ， 2
| | = √ (3 1 + 4 2 )2 = √ 9 + 24 1 2 + 16 = √ 37，
(2)根据题意 ⊥ ( + )，则有 ( + ) = 0，
11
= (3 1 + 4 2 ) (2 1 + 2 ) = 6 + 4 + (8 + 3 ) 1 2 = 10 + 2
2 11
即 ( + ) = + = 37 + 10 + ，
2
94
所以11 + 94 = 0， = ．
11
16.解：(1) ∵ sin sin = sin √ 3cos
∴ sin + √ 3cos = 2sin

即2sin ( + ) = 2sin
3

∴ sin ( + ) = sin
3
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∴ + = 或 + + =
3 3
∵在 中， >
∴ >

故 + ≠
3
2
∴ + + = ，即 + = ，
3 3

∴ =
3
√ 3
(2) ∵ 的面积为 ，且由第一问可知： =
2 3
1 1 √ 3 √ 3
由面积公式得： = sin = sin = = 2 2 3 4 2
∴ = 2
∵ = √ 3

由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 2 2 cos = ( + )2 6 = 3
3
解得： + = 3
∴ 的周长为3 + √ 3
17.解：(1)因为四边形 为正方形，所以 ⊥ ，
因为侧面 ⊥底面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ．
又因为 = = ，且 为中点，所以 ⊥ ，
又因为 ∩ = ，所以 ⊥平面 ；
(2)如图分别取 的三等分点 ，
结合题意可得： // ， // ．
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又因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，同理 //平面 ．
因为 平面 ， 平面 ，平面 ∩ = ，
所以平面 //平面 ，又因为 平面 ，所以 //平面 ，
此时 为 靠近点В的三等分点，
1 1 1 1 1 9√ 3 3√ 3
所以 = = = = × = × × 3 = ． 3 3 3 3 9 4 4
18.解：(1)证明：因为 = 3 1 2 2( ≥ 3), = 1( ≥ 2)，
所以 = 1
3 1 2 = 2
1 = 2( ≥ 3)．
1 1 2 1 2
因为 1 = 1, 2 = 3，所以 2 = 2 1 = 2．

又 1 = 1，所以
2 = 2，即证得{ }是首项为1，公比为2的等比数列．
1
1 2 1 2 1(2)①由(1)可得 = 2 ，则 = = ， 2 1
1 3 5 7 2 3 2 1
=
20
+ 1 + +2 22 23
+ + 2 +2 2 1
，
1 1 3 5 2 3 2 1
= 1 + 2 + 3 + +2 2 2 2 2 1
+ ， 2
1 1 2 2 2 2 2 2 1
两式相减得： = 0 + 1 + 2 + 3 + + + 2
，
2 2 2 2 2 2 2 1 2
1 1 1 1 1 2 1
即 = 1 + 1 + 1 + 2 + +2 2 2 2 3
+ 2 ， 2 2
1
1×(1
1 2 1
)
2 1 2 +3
所以 = 1 +2 1 ，则 2
= 6
2 1
．
1
2

②因为不等式( 1) < + 2对任意的正整数 恒成立， 2
3
即( 1) < 6
2 1
对任意的正整数 恒成立，
3
当 为偶数时，因为 ( ) = 6 1在[1,+∞)为增函数， 2
9
所以 < (2) = ；
2
3
当 为奇数时， < 6 1对任意的正整数 恒成立， 2
所以 < (1) = 3，解得 > 3．
9
综上，实数 的取值范围为( 3, )．
2
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19.解：(1)当 = 0时， ( ) = ln ，定义域为(0,+∞)，
′( ) = ln 1，
1 1
由 ′( ) > 0，得0 < < ；由 ′( ) < 0，得 > ，
e e
1 1
所以 ( )在(0, )上单调递增，在( , +∞)上单调递减，
e e
1 1
所以函数 ( )有极大值 ( ) = ，无极小值．
e e
(2)由题意得， ′( ) = 2 ln 1．
1
①当 ≥ 时， ′( ) = 2 ln 1 ≥ ln 1，
2
1
令 ( ) = ln 1，则 ′( ) = ，

当 > 1时， ′( ) > 0，则 ( )在(1,+∞)上单调递增，
所以 ( ) > (1) = 0，所以当 > 1时， ln 1 > 0，
所以 ′( ) > 0，所以 ( )在(1,+∞)上单调递增，
1
所以 ( ) > (1) = ，所以 ( ) > 满足题意．
2
1 1 2 1
②当0 < < 时，令 ( ) = 2 ln 1, ′( ) = 2 = ，
2
1 1
所以当 ∈ (1, )时， ′( ) < 0，所以 ′( )在(1, )上单调递减，
2 2
′ 1 1又 (1) = 2 1 < 0，所以当 ∈ (1, )时， ′( ) < 0，所以 ( )在(1, )上单调递减，
2 2
1 1
所以 ( ) < (1) = < ，所以0 < < 不符合题意．
2 2
③当 ≤ 0, > 1时， ′( ) = 2 ln 1 < 0，所以 ( )在(1,+∞)上单调递减，
1
所以 ( ) < (1) = < ，所以 ≤ 0不符合题意．
2
1
综上，实数 的取值范围是[ , +∞)．
2
1 1 1 1
(3)由(2)得，当 = 时， ( ) = 2 ln > ( > 1)，所以2ln < ( > 1)．
2 2 2
1
当 > 1时，ln < 2ln ，所以ln < ( > 1)．

+1 +1 +1 2 +1 2 +1 +1
令 = ，得ln < = ，即 > ln ．
+1 ( +1) ( +1)
所以∑2025
2 +1
> ∑2025
+1 2 3 2026
=1 ( +1) =1
ln = ln ( × × × ) = ln2026，
1 2 2025
3 5 7 4051
即 + + + + > ln2026．
1×2 2×3 3×4 2025×2026
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