资源简介

龙东十校联盟高二学年度上学期期中考试
数学试题双向细目表
题号 题型 分值 覆盖章节/知识点 能力要求 难度要求 备注
1 单选题 5分 百分位数 理解 容易
2 单选题 5分 双曲线渐近线 理解 容易
3 单选题 5分 相互独立事件 理解 容易
4 单选题 5分 椭圆标准方程 理解 容易
5 单选题 5分 直线平行 理解 容易
6 单选题 5分 椭圆定义与几何性质 理解 适中
7 单选题 5分 直线与圆、圆与圆位置关系. 掌握 适中
8 单选题 5分 双曲线离心率 掌握 适中
9 多选题 6分 互斥事件、相互独立事件 理解 容易
10 多选题 6分 与圆有关的最值、范围问题 理解 适中
11 多选题 6分 双曲线性质、直线与双曲线位置关系 掌握 较难
12 填空题 5分 方差 理解 容易
13 填空题 5分 直线与圆位置关系 理解 容易
14 填空题 5分 椭圆离心率 掌握 较难
15 解答题 13分 古典概型、相互独立事件概率 理解 容易
16 解答题 15分 频率分布直方图、分层抽样、用样本估计总体 理解 容易
17 解答题 15分 圆的方程、直线与圆位置关系 理解 适中
18 解答题 17分 椭圆标准方程及性质 理解 适中
19 解答题 17分 双曲线方程及性质 综合 较难
优生率 及格率 平均分
10-15% 55-65% 85-95分龙东十校联盟高二学年度上学期期中考试
数学试题双向细目表
题号
题型
分值
覆盖章节/知识点
能力要求
难度要求
备注
1
单选题
5分
百分位数
理解
容易
2
单选题
5分
双曲线渐近线
理解
容易
3
单选题
5分
相互独立事件
理解
容易
4
单选题
5分
椭圆标准方程
理解
容易
5
单选题
5分
直线平行
理解
容易
6
单选题
5分
椭圆定义与几何性质
理解
适中
7
单选题
5分
直线与圆、圆与圆位置关系.
掌握
适中
P
单选题
5分
双曲线离心率
掌握
适中
9
多选题
6分
互斥事件、相互独立事件
理解
容易
10
多选题
6分
与圆有关的最值、范围问题
理解
适中
11
多选题
6分
双曲线性质、直线与双曲线位置关系
掌握
较难
12
填空题
5分
方差
理解
容易
13
填空题
5分
直线与圆位置关系
理解
容易
14
填空题
5分
椭圆离心率
掌握
较难
15
解答题
13分
古典概型、相互独立事件概率
理解
容易
频率分布直方图、分层抽样、
16
解答题
15分
用样本估
计总体
理解
容易
17
解答题
15分
圆的方程、直线与圆位置关系
理解
适中
18
解答题
17分
椭圆标准方程及性质
理解
适中
19
解答题
17分
双曲线方程及性质
综合
较难
优生率
及格率
平均分
10-15%
55-65%
85-95分
第1页共1页龙东十校联盟高二学年度上学期期中考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C A D B D B
1.【解析】数据排序，，第位与第位平均数为，选D
2.【解析】焦点在轴的双曲线渐进方程为，选C.
3.【解析】由事件的独立性可知，密码被破译的概率为，选C.
4.【解析】，选A.
5.【解析】因为，所以，所以，选D.
6.【解析】椭圆中，设右焦点为，则为正三角形，线段的垂直平分线过，有，所以的周长为，选B．
7.【解析】圆心到距离为，弦长，，由两圆相离知，两圆内含或外离，由或，选D.
8.【解析】 由题，设，由双曲线定义，得，所以，，在中，，选B．
二、多项选择题：
题号 9 10 11
答案 BD ACD ABC
9.【解析】样本空间
A. ，错误；
B. ，正确；
C. ，错误；
D. ，正确.
选BD.
10.【解析】
A. 设，则 整理可得，正确；
B. 圆圆心，半径，圆心到直线的距离，所以圆上点到直线最小距离为，错误；
C. 设，则，解得，正确；
D. ，，，正确.
故选ACD.
11.【解析】
A. 设，因为点到点的距离是点到直线距离的一半，所以，化简可得，正确；
B. 联立方程组，可得，解得，故存在点，所以直线是“最远距离直线”，正确；
C. 设椭圆的右焦点为，由椭圆定义得，正确；
D. 圆圆心为，半径为，易得点的轨迹与圆交于点，错误.
故选ABC.
三、填空题：
题号 12 13 14
答案
12.【解析】的标准差为，则其方差为，则的方差为.
13.【解析】直线过且存在斜率，圆圆心,当时，截得的弦长最短，且弦长为.
14.【解析】蒙日圆的标准方程为,不妨设为蒙日圆与轴正、负半轴交点，为蒙日圆与轴正、负半轴交点，可知.
则直线的方程为，
由，消得到，
令，解得，，
所以，所以，
所以四边形的面积为，
易知四边形为正方形，且，所以四边形的面积为，
所以四边形与四边形的面积的比值为,
因为椭圆离心率为 ，所以，得，即，所以.
四、解答题:
15.（本小题满分13分）
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设传统文化题为，数学历史题为，甲从道题中不放回抽取道题，
样本空间，， ……………………3分
设“恰好道传统文化题和历史文化题”，，，
由古典概型公式得，
所以，甲抽到的道题中恰好是道传统文化题和道数学历史题的概率为. ……………………6分
设“甲答对道题”（），
；； ……………………8分
设“乙答对道题”（），
； ， ……………………10分
设“甲、乙两人答对题目总数不少于道”
由两人答题是否正确相互独立，有
所以，甲、乙两人答对题目总数不少于道的概率为. ……………………13分
16.（本小题满分15分）
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）一至六组的频率分别为，
所以，平均数为.…………3分
由图可知，众数为.
因此，以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分.……5分
（2）前组的频率之和为，
前组的频率之和为，
第%分位数落在第组,设为，则，解得.
“人工智能科普达人”的成绩至少为分. ……………………10分
（3）)的频率为，)的频率为，
所以的频率与的频率之比为
的频率与的频率之比为
设内的平均成绩和方差分别为，
依题意有，解得，
，解得，
所以内的平均成绩为，方差为. ……………………15分
17.（本小题满分15分）
【答案】（1）；（2）和.
【解析】由题可知，该方程表示圆，则，
即，解得,又由
则实数的取值范围为. ……………………5分 令，
函数开口向下，对称轴，
当时，圆的面积取得最大值，此时圆的方程为，………………………7分
当切线的斜率不存在时，满足题意； ……………………9分
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即．
圆心到切线的距离等于半径长，即，解得，
所以切线方程为，即,
综上所述，所求切线方程为和. ……………………15分
18.（本小题满分17分）
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且，则，
所以椭圆的标准方程为. ……………………4分
（2）由题可知直线和与轴都不平行，
设直线：，联立，消去得：，
设，则. ……………………10分
设，用代替得.
所以直线的方程为,
令，得,
所以直线过定点. ……………………17分
19.（本小题满分17分）
【答案】（1）；（2）；（3）见解析.
【解析】（1）由题意知，显然点在直线的下方，
因为直线为的等线，所以，
解得，所以的方程为. ……………………4分
（2）设，切线，代入得:
，
故，
该式可以看作关于的一元二次方程，
所以，即方程为，当的斜率不存在时，也成立.
渐近线方程为，不妨设在上方，
联立得，故，
所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等，
则过点的等线必定满足:到该等线距离相等，
且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为，
由，解得，故 .
所以，所以，
所以，所以. ……………………10分
（3）设，由，所以，
故曲线的方程为
由（*）知切线为，也为，即，即
易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为，
由（2）知，
由得
因为，
所以直线为的等线 . ……………………17分龙东十校联盟高二学年度上学期期中考试
数学试题参考答案
一、
单项选择题：
题号
1
3
5
6
7
答案
D
D
6
D
B
1.【解析】数据排序3,4,6,7,8,9,11,12,8×0.75=6，第6位与第7位平均数为10，选D
2【解析】焦点在y轴的双曲线渐进方程为y=±异分x,选C
3【解折】由事作的致立性可知，密码被酸译价展丰为1-0一0-之子选C
4.【解析】2a=8,a=4,c=2,b2=a2-c2=12,选A
5.【解析】因为1∥l2,所以a2-4=0,-a-8≠0，所以a=±2，选D.
6.【解析】椭圆中a=4,b=2√3，c=2,设右焦点为F,,则△4FE,为正三角形，线段AE的垂直平分
线过F,有IAM曰FM,AW曰FN,MN曰MF|+|NF2I,所以△AMN的周长为4a=16,选B.
7.【解析】圆心C,到1距离为V2,弦长22=2√2-(2)}2，r=2,1C,C2日m,由两圆相离知，两
圆内含或外离，由mk1或m>3,选D.
8.【解析】由题，设|BF=4t,lAB=3t,AF=5t,由双曲线定义|AF|-|AF2=2a,BF|-|BF=2a,
得1=号，所以航卡.1上号，在RINFF中（学产+学=2a,e=台-
2,选B
3
a 3
二、多项选择题：
题号
9
10
11
答案
BD
ACD
ABC
9.【解析】样本空间2={1,2,3,4,5,6，》，A={2,4,6,B={1,4},C={4,5,6
A.A∩B={4},错误：
BP=PO-PBC=。APO,正角：
6
C.P(B+C=4-名，错误
63
21
D.P(1C)=63'正确.
选BD
10.【解析】
第1页共7页
A.设P(x,y),则
1PA-V2+0+1)2_V2
整理可得x2+y2+6y+1=0,正确；
IPBI x2+(y-1)2
2
B.圆C圆心(0，-3)，半径r=2√2，圆心到直线x+y-3=0的距离3√2，所以圆C上点到直线
x+y-3=0最小距离为3W2-2W2=√2，错误：
C.设1=x+y,则0-3-山≤2V2,解得-7≤1≤1，正确：
√2
D.00C1-r)2≤x2+y2≤00C1+r)2,10C=3,r=2√2，正确.
故选ACD.
11.【解析】
A.设P(x,),因为点P到点F的距离是点P到直线I距离的一半，所以2√(x-1)2+y2x-4|,化
简可得
y2
十
=1,正确：
3
x+2y-4=0,
B.联立方程组
+
=1
，可得(x-1=1,解得x=1,故存在点Q1,,所以直线
43
':x+2y-4=0是“最远距离直线”，正确；
C.设椭圆的右焦点为F',由椭圆定义得|PA|+|PF曰PA|+4-|PF4+|AF'=4+1=5,正确：
D.圆C:x2+y2-2x=0圆心为(1,0)，半径为1，易得点P的轨迹与圆C交于点(2,0)，错误.
故选ABC
三、填空题：
题号
12
13
14
答案
36
2√23
9
4
12.【解析】a1,a2,…,an的标准差为2，则其方差为4，则3a1-1,3a2-1,…,3an-1的方差为9×4=36，
13.【解析】直线1：mx-y-1=0过A(0,-1)且存在斜率，圆x2+y2+2x-24=0圆心C(-1,0),r=5,当
CA11时，截得的弦长最短，且弦长为2√2-|CA2=2W25-2=2W23
14.【解析】蒙日圆的标准方程为x2+y2=a2+b2,不妨设A,C为蒙日圆与x轴正、负半轴交点，B,D
为蒙日圆与y轴正、负半轴交点，可知|OA曰OD=Va2+b2
则直线AD的方程为y=-x+Va2+b2,
第2页共7页龙东十校联盟高二学年度上学期期中考试
数学答题卡
17.（本小题满分15分)
姓名：
贴条形码区
班级：
6.8cm×2.5cm
考号：
(正面朝上，切勿贴出方框)
考生禁填缺考标
吕
口
违纪标记
(以上标记由监考人员用2B铅笔填涂)》
[21[2[2i21i21[21i21[21
[2
31
特别注意：作答时请勿超出实线答题区
考生请勿填涂缺考标记
填涂样例：正确填涂■
[sj
[81[8j8j[81[8j[8j[818j
错误填涂
回面国
[91[91[91【91[91[91【9][91[91[9]
16.(本小题满分15分)
解：
一、单选题
二、多选题
5
[A][B][C][D]
9
[A][B][C][D]
6
[A][B]
10
[A][B][C][D]
[A][B][C][D]
[A][B][C][D]
[A][B][C][D]
4[A]IB][C][]
[A][B][C][D]
三、填空题
14.
15.(本小题满分13分)
解：
高二数学答题卡第1页共2页
18.(本小题满分17分)
解：选一
19.(本小题满分17分)
解：
高二数学答题卡第2页共2页
■龙东十校联盟高二学年度上学期期中考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知一组数据为，则这组数据的上四分位数为（ ）
A. B. C. D.
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 甲、乙两人独立地破译一份密码，各人能破译的概率分别是，则密码破译的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 若椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点到两焦点距离之和等于，则该椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知两直线，，若，则（ ）
A. 或 B. C. D. 或
6. 已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的垂直平分线与交于两点，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
7. 已知圆与圆相离，且直线被圆截得的弦长为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8. 如图所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，分别经过点和，且 ，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，事件为“点数为偶数”，事件为“点数是或”，事件为“点数大于”，下列说法正确的是（ ）
A．和是互斥事件 B．和是相互独立事件
C． D．
10. 已知平面上两点，则所有满足的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中两点，，点满足，设点所构成的曲线为，则（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线上的点的到直线的最小距离为
C．曲线上任意点，则的最大值为
D．曲线上任意点，则的取值范围为
11. 已知点，直线，且动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在点使得点到点的距离是点到直线的距离的一半，则称该直线为“最远距离直线”，下列结论中正确的是（ ）
A．点的轨迹方程是
B．直线是“最远距离直线”
C．平面上有一点，则的最大值为
D．点的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有公共点）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一组样本数据的标准差为，则数据的方差为________.
13. 直线被圆截得的弦长最短为________.
14. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.已知椭圆及其蒙日圆，且椭圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形的面积的比值为______．
四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
某班级举行“数学文化节”活动，其中有一个“双人答题闯关环节”规则如下：甲、乙两人分别从包含道传统文化题和道数学历史题的题袋中随机抽取道题作答（抽出的题不放回）.已知甲先抽，乙后抽，且每道题被抽中的机会均等.
（1）求甲抽到的道题中恰好是道传统文化题和道数学历史题的概率；
（2）若甲答对每道题的概率均为，乙答对每道题的概率均为，且两人答题是否正确相互独立，求甲、乙两人答对题目总数不少于道的概率.
16.（本小题满分15分）
某地区有小学生人，初中生人，高中生人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
（2）成绩位列前%的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科普达人”的成绩至少为多少分；
（3）已知落在内的平均成绩为，方差是，落在内的平均成绩是，方差是，求落在内的平均成绩和方差.
附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体样本平均数为，则总体样本方差
17.（本小题满分15分）
已知表示圆的方程．
（1）求实数的取值范围；
（2）当圆的面积最大时，求过点的圆的切线方程．
18.（本小题满分17分）
已知椭圆的左、右焦点分别，左、右顶点分别为，若______．请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答.（若都选择，则按照第一个解答给分）
①，．
②椭圆长轴长为，焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条互相垂直的弦与椭圆相交于两点.当点变化时，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
19.（本小题满分17分）
在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，点为右支上一动点，直线与双曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当点在第四象限且轴时，直线为的等线.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若是四边形的等线，求四边形的面积；
（3）设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线.龙东十校联盟高二学年度上学期期中考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，
1.已知一组数据为8,4,7,6,9,12,11,3，则这组数据的上四分位数为()
A.4
B.5
C.9
D.10
2.双曲线yx2
=1的渐近线方程为()
43
1
A.y=±2x
B.y=±-x
2
C.y=+
3
D.y=
2
3.甲、乙两人独立地破译一份密码，各人能破译的概率分别是}，
2
，则密码破译的概率是(
)
1
B.3
D.
6
4.若椭圆C的两个焦点分别是F(-2,0),F(2,0),椭圆C上一点P到两焦点距离之和等于8，则该椭
圆的标准方程为()
B.2 y2
+。=1
D.+
=1
328
6416
5.已知两直线l:ax+4y-1=0,12:x+ay+2=0,若l∥l2,则a=(
A.-2或0
B.2
C.0
D.2或-2
6已知椭圆C:5+片=1的上顶点为A,左焦点为F,线段4仁的垂直平分线与C交于M,V两点，
1612
则△4MN的周长是()
A.24
B.16
C.12
D.8
7.已知圆C:x2+y2=r2(r>0)与圆C2:(x-m)2+y2=1相离，且直线1：x+y-2=0被圆C截得的弦
长为2√2，则实数m的取值范围是()
A.(-1,1)
B.(-0,-3)U(3,+∞)
C.(-3,3)
D.(-0,-3)U(-1,1)U(3,+0)
8.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线
的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线E:
a2b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,从
F发出的光线经过图2中的A,B两点反射后，分别经过点C和D,且tan∠BAC=-4,
3，AB⊥BD,
则E的离心率为()
第1页共5页
B
图1
图2
A.
2
B.7
3
C,0
D.5
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，事件A为“点数为偶数”，事件B为“点数是1或
4”,事件C为“点数大于3”，下列说法正确的是()
A.A和B是互斥事件
B.B和C是相互独立事件
C.P(B+C)=
D.P(AC)
10,已知平面上两点4，B,则所有满足P4=k化≠D的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊
PBI
数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.己知在平面直角坐标系xOy中两点A(0,-1),B(0,1),点P满足
PAI
PBI 2
2,设点P所构成的曲线为C,则(）
A.曲线C的方程为x2+y2+6y+1=0
B.曲线C上的点的到直线x+y-3=0的最小距离为2√2
C.曲线C上任意点M(x,y),则x+y的最大值为1
D.曲线C上任意点M(x,y),则x2+y2的取值范围为17-12√2,17+12√2]
11.已知点F(-1,0),直线：x=-4,且动点P到点F的距离是点P到直线I的距离的一半.若某直线上
存在点Q使得点Q到点F的距离是点Q到直线I的距离的一半，则称该直线为“最远距离直线”，下
列结论中正确的是(
)
A.点P的轨迹方程是x+上
=1
43
B.直线1'：x+2y-4=0是“最远距离直线”
C.平面上有一点A1,1),则|PA|+|PFI的最大值为5
D.点P的轨迹与圆C:x2+y2-2x=0是没有交汇的轨迹（也就是没有公共点）
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