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四川省南充高级中学2026届高三上学期第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.的展开式中常数项是，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，若在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数其导函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.某食品的保鲜时间单位：小时与储藏温度单位：满足函数关系，其中为常数若该食品在的保鲜时间为小时，则在的保鲜时间是( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
6.同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为，则( )
A. B. C. D.
7.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足，且对任意的，都有，若恒成立，则正实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的最小正周期为，且，则( )
A.
B.
C. 在上恰有个零点
D. 将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象
10.下列选项中正确的有( )
A. 与表示同一函数
B. “”是“”的既不充分也不必要条件
C. 函数的值域为
D. 若是奇函数，当时，，则时，
11.已知函数，方程有三个不同的实根，，，则( )
A. 方程有两个不同的实根 B.
C. 是方程的一个根 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合若，则的取值范围为 ．
13.已知幂函数的图像过点，则的值为 ．
14.甲乙丙丁四人打循环赛，每两人之间都有一场比赛．已知乙丙丁三人胜率完全相同，而甲水平较高，面对三人时的胜率均为，每场比赛胜者得一分，败者得零分，总分最高或同为最高者并列冠军．问：甲拿到冠军的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
巴东一中组织庆五一教职工篮球活动，我们年级有名教职工参加，其中有名理科教师、名文科教师，为活动的需要，要从这名教师中随机抽取名教职工去买比赛服装．
已知名教师中有名班主任，求抽取的名中至少有名班主任的概率；
设表示抽取的名教师中文科教师的人数，求的分布列及数学期望．
16.本小题分
设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为．
求的单调递增区间；
将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，分别是棱上的动点，且．

求证：；
当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知是抛物线：的焦点，为抛物线上一点，且．
求抛物线的方程；
设，为抛物线上的两点不同于点，直线，分别与轴交于，两点，且原点恰为的中点．
证明：直线过定点；
若直线的斜率大于，且的面积为，求直线的方程．
19.本小题分
记，，，．
判断并证明的奇偶性；
设最小值为，若，对任意恒成立，求的最小整数值；
在条件下，设，求在上的零点个数并说明理由．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.【详解】由于名教师中有名班主任，则名教师中有名不是班主任，
若抽取的名中没有班主任，则有种抽法，从名教师中随机抽取名教职工的方法有种，
故抽取的名中至少有名班主任的概率为
的所有可能取值有：，，，，
故的分布列为：
故期望为：

16.【详解】因为，
因为的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，又，所以，
所以，
令，，
解得，，
所以的单调递增区间为；
因为，令，得，
所以或，，
即或，，
所以所有的正零点为或，，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以
．

17.【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示．
设，则．

所以，
又，．
，
当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值．
又，
当时，取得最大值，此时三棱锥的体积取得最大值．
故，从而．
法一：设平面的法向量为，则且，
所以，即，令，可得．
又平面的一个法向量为，
记二面角的大小为，则有，
即二面角的余弦值为．
法二：平面，过作垂线交于点，连接，如图所示．
平面，平面，
平面，即为二面角的平面角．
在中，，根据等面积法可得，
在中，，可得边上的高为，
根据等面积法可得，
在中，即二面角的余弦值为．

18.【详解】因为抛物线的焦点为，准线方程为，且在抛物线上，，根据抛物线定义有，，
又因为在抛物线上，所以，即，
消去，可得，即，解得，
所以抛物线的方程为．
设，，直线方程为，联立，消得，则，，
直线：，令，得纵坐标；同理纵坐标，
因是中点，，即，化简得，将，代入，得，即，
直线方程为，当时，，故直线过定点．
设直线：，联立，得，
由韦达定理，，，
弦长，
根据点到直线的距离公式可知，点到直线距离为，
由可得，，即，化简得，
因式分解得，因，得，
所以直线方程为．

19.【详解】因为，，，
所以，
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以函数为偶函数，
因为，
令，则，，则，
设，，
则，
当时，，又，
所以，所以，
所以函数在上单调递减，
当时，，又，
所以，所以，
所以函数在上单调递增，
所以当时，函数取最小值，最小值为，
所以最小值为，所以，
所以，
因为，对任意恒成立，所以，
所以的最小整数值为，
由，又，，，
所以，
因为，
所以函数为周期函数，为函数的周期，
当时，，，
所以，
结合周期性可得，，都是函数在上的零点，
当时，，，，，
函数在上没有零点，
当时，，，所以，
函数在上没有零点，
当时，，
令，则，
所以函数在上单调递增，故函数在上单调递增，
又，，
所以存在，，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，，，
所以函数在上存在唯一零点，在上不存在零点，
结合函数的周期性可得函数在上的零点个数为．

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