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上海市高桥中学 2026届高三上学期 10月月考数学试卷
一、选择题：本大题共有 4题，满分 18分，第 1、2题每题 4分，第 3、4题每题 5分。
1.已知 = ( , 1)， = (3 1,2)，若 // ，则 =( )
2 2
A. 1 B. 1 C. D.
3 3
2.设 1, 2是复数，则下列命题中的假命题是
A. 若| 1 2| = 0，则 1 = 2 B. 若 1 = 2，则 1 = 2
C. 若| | = | |，则 2 21 2 1 1 = 2 2 D. 若| 1| = | 2|，则 1 = 2
π
3.设函数 ( ) = sin ( + ) ( > 0)在区间(0, π)恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是( )．
3
5 13 5 19 13 8 13 19
A. [ , ] B. [ , ) C. ( , ] D. ( , ]
3 6 3 6 6 3 6 6
4.设{ }与{ }是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合 = { | = , ∈ N
}，下列结论：
①若{ }与{ }均为等差数列，则 中最多有1个元素；
②若{ }与{ }均为等比数列，则 中最多有2个元素；
③若{ }为等差数列，{ }为等比数列，则 中最多有3个元素；
④若{ }为递增数列，{ }为递减数列，则 中最多有1个元素．其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
二、填空题：本题共 12题，第 5-10题每题 4分,第 11-16题，每题 5分，共 54分。
5.已知集合 = { | 2 < < 2 }， = { 2,0,1,2}，则 ∩ =
3
6.不等式 < 0的解集是 ．
2
π
7.过点(3,2)倾斜角为 的直线方程是 ．
2
1 4
8.若 > 0， > 0，且 = 4，则 + 的最小值为 ．

9.若某圆锥的底面半径为2，高为2，则该圆锥的侧面积为 . (结果保留π)
10.在(1 2 ) ( ∈ )的展开式中， 的系数为 10，则 = ．
11.已知 ( )是定义在 上的奇函数，当 ∈ (0,+∞)时， ( ) = 2 ，则 (0) + ( 2) = ．
12.从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为5的概
率是 ．
13.若 是实系数方程 2 + 2 + = 0的一个虚根，且| | = 2，则 = ．
14.已知{ }为等比数列， 2 4 5 = 3 6， 9 10 = 8，则 7 = ．
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15.已知 是圆 : 2 + 2 = 9上一点，过点 作垂直于 轴的直线，垂足为 ，点 满足 = 3 .若点
1 1
1( √ 5, 0)， 2(√ 5, 0)，则 + 的取值范围是 ． | 1| | 2|
→ → → → → → → → → → 2 →
16.已知平面向量 , , , 满足| | = 4, | | = 1, | | = 1,< , > = ，且对任意的实数 ，均有|
3
→ → → → →
| ≥ | 2 |.则| |的最小值为
三、解答题：本题共 5小题，共 78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)

已知函数 ( ) = sin( + )cos sin cos( )，
2
⑴求函数 ( )的最小正周期；

⑴在 中，已知 为锐角， ( ) = 1， = 2, = ，求 边的长．
3
18.(本小题15分)
如图，直三棱柱 ′ ′ ′内接于高为√ 2的圆柱中，已知∠ = 90 ， ′ = √ 2， = = 1，
为 的中点．
(1)求圆柱的表面积；
(2)求二面角 ′ 的大小．
19.(本小题16分)
在数列{ }中， 1 = 0， 2 = 4，且 +2 = 2 +1 + 2．
(1)证明：{ +1 }是等差数列．
(2)求{ }的通项公式．
1
(3)求数列{ }的前 项和
+2
．

20.(本小题17分)
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2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为√ 2，点(3, 1)在双曲线 上．过 的左焦点 作直线 交
的左支于 、 两点．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若 ( 2,0)，试问：是否存在直线 ，使得点 在以 为直径的圆上 请说明理由．
(3)点 ( 4,2)，直线 交直线 = 2于点 .设直线 、 的斜率分别 1、 2，求证： 1 2为定值．
21.(本小题17分)

已知函数 ( ) = ln + + ( 1)3
2
(1)若 = 0，且 ′( ) ≥ 0，求 的最小值；
(2)证明：曲线 = ( )关于点(1, )中心对称；
(3)若 ( ) > 2当且仅当1 < < 2，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. {0,1}
6.{ |2 < < 3 }
7. = 3
8.2
9.4√ 2π
10.5
11. 4
5
12.
21
13.4
14. 2
2 3
15.[ , ]
3 2
16.3
17.(1)由题设知

( ) = sin( + )cos sin cos( )，
2
2 1+cos2 sin2 √ 2 1 ( ) = cos + sin cos = + = sin(2 + ) + ，∴ =
2 2 2 4 2
(2) ∵ ( ) = cos2 + sin cos = 1，∴ sin cos = 1 cos2 = sin2 ， 为锐角，∴ sin = cos
2
∴ = ，根据正弦定理： = 得 = ，∴ = √ 6 4 sin sin sin sin
3 4
18.(1) ∵ ∠ = 90 ， = = 1，∴ = √ 2 + 2 = √ 2，
√ 2
∴底面圆 的半径 = ，∴圆柱的侧面积为2 ′ = 2 ，
2
2 又圆柱的底面积为 = ，∴圆柱的表面积 = 2 + 2 × = 3 ．
2 2
(2)方法一：连接 ′ ，
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∵ ′ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ′ ⊥ ；
∵ ∠ = 90 ，即 ⊥ ， ∩ ′ = ， , ′ 平面 ′ ′，
∴ ⊥平面 ′ ′，又 ′ 平面 ′ ′，∴ ⊥ ′ ；
∴ ∠ ′ 即为二面角 ′ 的平面角，
′
∵ ′ = √ 2， = 1，∴ tan∠ ′ = = √ 2，∴ ∠ ′ = arctan√ 2，

即二面角 ′ 的大小为arctan√ 2．
方法二：以 为坐标原点， , , ′正方向为 , , 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ′(1,0, √ 2)， (0,0,0)， (0,1,0)，∴ = (0,1,0)， ′ = (1,0,√ 2)，
设平面 ′ 的法向量 = ( , , )，
= = 0
则{ ，令 = 1，解得： = 0， = √ 2，∴ = ( √ 2, 0,1)；
′ = + √ 2 = 0
∵ 轴⊥平面 ，∴ = (0,0,1)是平面 的一个法向量，
| | 1 √ 3
∴ |cos < , >| = = = ，
| | | | √ 3 3
由图形可知：二面角 ′ 为锐二面角，
√ 3
∴二面角 ′ 的大小为arccos ，即arctan√ 2．
3
19.(1)因为在数列{ }中， 1 = 0， 2 = 4，且 +2 = 2 +1 + 2，
所以 +2 +1 ( +1 ) = 2 +1 + 2 +1 ( +1 ) = 2，
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所以{ +1 }是首项为 2 1 = 4，公差为2的等差数列．
(2)由(1)得 +1 = 4 + 2( 1) = 2 + 2，
(2 +2+4)
则 +1 + 1 + + 2 1 = 2 + 2 + 2 + +4 = = ( + 3)， 2
得 +1 = ( + 3)，即 = ( 1)( + 2)．
又 1 = 0符合 = ( 1)( + 2)，
所以 = ( 1)( + 2)(或
2
= + 2).
1 1 1 1 1
(3)由(2)知 =
+2 2
= = ，
+ ( +1) +1
1 1 1 1 1 1
所以 = 1 + + + = 1 = ． 2 2 3 +1 +1 +1
2 y2
20.(1)由双曲线 : 2 2 = 1的离心率为√ 2，且 (3, 1)在双曲线 上，
9 1
2 2 = 1 2 2
可得 2 2 = = √ 2，解得 = 8, = 8，∴双曲线的方程为 = 1． 8 8
{ 2 = 2 + 2
(2)双曲线 的左焦点为 ( 4,0)，
当直线 的斜率为0时，此时直线为 = 0，与双曲线 左支只有一个交点，舍去；
当直线 的斜率不为0时，设 : = 4，
= 4
联立方程组{ ，消 得( 22 2 1)
2 8 + 8 = 0，易得Δ > 0，
= 8
8 8
设 ( 1, 1), ( 2, 2)，则 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 < 0，可得 1 < < 1， 1 1
∵ = ( 1 + 2, 1), = ( 2 + 2, 2)，
则 = ( 2 + 2)( 1 + 2) + 1 2 = ( 1 2)( 2 2) + 1 2
8( 2+1) 16 2
= ( 2 + 1) 1 2 2 ( 1 + 2) + 4 = 2 2 + 4 = 4， 1 1
即 ≠ 0，可得 与 不垂直，
∴不存在直线 ，使得点 在以 为直径的圆上．
(3)由直线 : 2 = 1( + 4)，得 ( 2,2 + 2 1)，

∴ = 2
2 2 1 2 2 = 2 1，又 = = 1
2 1 2
2 +2 2 1
= ，
2 2 1+4 1
2 2 2 1 ( 2)( 2) ( 2 2 1)
∴ 1
1 2 1 2 1 2
2 = = 1 2 2 1( 2 2)
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2
= 2
2 1+4+2 1+2 1 1，
1( 2 2)
2
∵ = 11 ，∴ 1 1 = 1 2，且 1 + 2 = 1 2， 1
2 ( ) 2( )
∴ 1 =
1 2
2 =
1 2 = 2，即 1 2为定值． 1( 2 2) 1+ 2 2 1

21.(1) = 0时， ( ) = ln + ，其中 ∈ (0,2)，
2
则 ′
1 1 2
( ) = + + = + , ∈ (0,2)，
2 (2 )
2 + 2
因为 (2 ) ≤ ( ) = 1，当且仅当 = 1时等号成立，
2
故 ′( )min = 2 + ，而
′( ) ≥ 0成立，故 + 2 ≥ 0即 ≥ 2，
所以 的最小值为 2；

(2) ( ) = ln + + ( 1)3的定义域为(0,2)，
2
设 ( , )为 = ( )图象上任意一点，
( , )关于(1, )的对称点为 (2 , 2 )，

因为 ( , )在 = ( )图象上，故 = ln + + ( 1)3，
2
2
而 (2 ) = ln + (2 ) + (2 1)3 = [ln + + ( 1)3] + 2 ，
2
= + 2 ，
所以 (2 , 2 )也在 = ( )图象上，
由 的任意性可得 = ( )图象为中心对称图形，且对称中心为(1, )；
(3)因为 ( ) > 2当且仅当1 < < 2，故 = 1为 ( ) = 2的一个解，
所以 (1) = 2即 = 2，
先考虑1 < < 2时， ( ) > 2恒成立．

此时 ( ) > 2即为ln + 2(1 ) + ( 1)3 > 0在(1,2)上恒成立，
2
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+1
设 = 1 ∈ (0,1)，则ln 2 + 3 > 0在(0,1)上恒成立，
1
+1
设 ( ) = ln 2 + 3, ∈ (0,1)，
1
2( 3 22 +2+3 )
则 ′( ) = 2 2 + 3
2 =
1 1 2
，
当 ≥ 0， 3 2 + 2 + 3 ≥ 3 + 2 + 3 = 2 > 0，
故 ′( ) > 0恒成立，故 ( )在(0,1)上为增函数，
故 ( ) > (0) = 0即 ( ) > 2在(1,2)上恒成立．
2
当 ≤ < 0时， 3 2 + 2 + 3 ≥ 2 + 3 ≥ 0，
3
故 ′( ) ≥ 0恒成立，故 ( )在(0,1)上为增函数，
故 ( ) > (0) = 0即 ( ) > 2在(1,2)上恒成立．
2 2
当 < ，则当0 < < √ 1 + < 1时， ′( ) < 0
3 3
2
故在(0,√ 1 + )上 ( )为减函数，故 ( ) < (0) = 0，不合题意，舍；
3
2
综上， ( ) > 2在(1,2)上恒成立时 ≥ ．
3
2
而 ≥ 时，由上述过程可得 ( )在(0,1)递增，故 ( ) > 0的解为(0,1)，
3
即 ( ) > 2的解为(1,2)．
2
综上， ≥ ．
3
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