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2024级高二第三次定时训练
数学试题
考试时间：120分钟
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．两条平行直线与间的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
3．（高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（ ）.
A．9 B．1 C．1或9 D．2
5．（高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线，过点的直线与该双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．该直线不存在
8．（高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知曲线：与曲线：，下列说法正确的是（ ）
A．两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆 B．焦距相等
C．有相同的焦点 D．离心率相等
10．下列说法正确的是（ ）
A．直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是
B．直线在轴上的截距为
C．如果，那么直线不经过第三象限
D．经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示.
11．已知F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线上一点，则的大小可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
13．已知直线和两点，若点为直线上一动点，则的最小值为 ．
14．写出与圆和圆都相切的所有直线的方程 .（写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分）
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题分别15分，第18、19题分别17分，共77分.
15．求适合下列条件的双曲线的标准方程.
（1）焦点在x轴上，实轴长10，虚轴长8.
（2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长8.
（3）离心率，经过点.
16．（1）若直线l沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度后，回到原来的位置，求l的斜率；
（2）若一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程；
（3）若直线l经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l的方程．
17．已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数．
(1)求动点M的轨迹E；
(2)在E上是否存在一点使得它到直线的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由．
18．已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点.
(1)当时，求的长；
(2)是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由；
19．（高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求．
试卷第4页，共4页2024级高二第三次定时训练数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A A D C D B
题号 9 10 11
答案 ABC ABC ABD
1．直线的方程化为，则与间的距离
.故选：C.
2．设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，由题知，，
于是，则，即.故选：D
3．由，得，因此，而，所以.故选：A
4．因为，所以，所以，解得，
根据双曲线定义可得，
所以，解得或，
当时，不合题意，故舍去，
当时，，满足题意，
综上，.故选：A
5．因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，当时，的最小，
此时.故选：D
6．设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，
将圆的方程配方得：，圆心，半径为，
圆同理化为，圆心，半径为，
当动圆与圆相外切时，有①
当动圆与圆相内切时，有②
将①②两式相加，得
动圆圆心到点和的距离和是常数，
所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆，
故，，，.故选：C
7．设，且，代入双曲线方程得，两式相减得：
若是线段的中点，则，所以，即直线的斜率为，所以直线方程为：，即；
但联立，得，则，方程无解，
所以直线不存在.故选：D.
8．方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．故选：B．
9．可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆，故A正确；
曲线的焦距为，曲线的焦距为，
故B，C正确；
曲线的离心率，曲线的离心率，
故D不正确．故选：ABC.
10．对A：直线的方程为，
当时直线方程为，倾斜角，
当时，直线方程化为，斜率，
因为，所以，即，
又因为，所以，综上可得，故A正确；
对于B，将代入直线方程，可得，解得，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以可化为，所以直线的斜率，纵截距，
所以该直线经过一、二、四象限，故C正确；
对D：经过任意两个不同的点，的直线：
当斜率等于0时，， 当斜率不存在时，，都不能用方程表示，故D错误.故选：ABC
11．因为该双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，即，因此两条渐近线的倾斜角分别为，
当P在右支上时，的取值范围是，当P在左支上时，的取值范围是，
因此结合选项知的大小不可能为，可能为.故选：ABD.
12．由于 ，则，
又，得，即
因为是直角三角形，故，
则.故答案为：
13．作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，则，
于是，当三点共线，即与重合时取等号，
设，则，解得，即，
所以的最小值.故答案为：12
14．，和
圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，圆心距为，所以两圆外切，
如图，有三条切线，易得切线的方程为；
因为，且，所以，设，即，则到的距离，解得（舍去）或，所以；
可知和关于对称，联立，解得在上，
在上取点，设其关于的对称点为，则，
解得，则，
所以直线，即，
综上，切线方程为，和.
15．（1）根据题意，所求双曲线的实轴长10，虚轴长8，
可得，则有，又因为双曲线的焦点在x轴上，
所以双曲线的标准方程为：；……………………………………（4分）
（2）根据题意，双曲线的焦距是10，虚轴长为8，可得，
则，所以，又因为双曲线的焦点在y轴上，
所以双曲线的标准方程为：；……………………………………（8分）
（3）根据题意，双曲线的离心率，即，则有，
所以，
所以该双曲线为等轴双曲线，设其方程为，
又因为双曲线经过点，则有，则，
所以双曲线的标准方程为：. ……………………………………（13分）
16．（1）由题意，直线存在斜率，可设直线方程为，
直线沿轴向左平移4个单位，沿轴向上平移3个单位后，
所得直线的方程为：化简得．
因为平移后与原直线重合，则．
解得，即直线的斜率为． ……………………………………（4分）
（2）由两点坐标，可得直线的斜率为，
所以入射光线所在直线方程为，即………………（6分）
因为反射光线与入射光线所在直线关于轴对称，
所以反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补，
所以反射光线与入射光线所在直线的斜率互为相反数，
所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线方程为，
即．……………………………………（8分）
（3）当直线的截距为0时，设直线的方程为，
代入点，得，解得，
此时直线：，即；……………………………………（10分）
当直线的截距不为0时，设直线的方程为，
依题意有则，解得或，……………………（12分）
若，则直线的方程为，即；……………………（13分）
若，则直线的方程为，即．………………（14分）
综上所述，直线的一般式方程可能．……（15分）
17．（1）设动点M的坐标为由题意可得，
．……………………（2分）
将此式两边平方，并化简，得，
即 ……………………（4分）
所以M的轨迹E为长轴、短轴长分别10, 6的椭圆． ……………………（5分）
（2）由直线方程方程可知与坐标轴的交点为，
易知此直线与椭圆无公共点，……………………（6分）
设直线m与该直线平行，则直线m的方程可以写成．
由方程组，消去y，得．………………（9分）
令其根的判别式，解得或，……（11分）
则时，直线与椭圆的公共点到直线的距离最小，
最小距离． ……………………（15分）
18．（1）因为，所以，直线的方程为，
圆的圆心为，半径，
设圆心到直线的距离为，则，
所以；……………………（7分）
（2）取的中点为，如图，
假设存在弦被点三等分，设，，则，
，解得，……………………（12分）
当斜率不存在时，，故斜率存在，……………………（13分）
设斜率为，则：，
，解得，
即存在弦被点三等分，直线的斜率为；………………（17分）
19．（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故，
故，故椭圆方程为：. ……………………（4分）
（2）由题意直线的斜率不为0，故设直线，，
由可得， ……………………（7分）
故
即，……………………（9分）
且，……………………（11分）
故，
解得， ……………………（14分）
故. …（17分）
答案第12页，共13页

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