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上海市莘庄中学 2026届高三上学期 10月月考
数学试卷
一、选择题：本大题共有 4题，满分 18分，第 1、2题每题 4分，第 3、4题每题 5分。
1 1
1.设 > 0，则“ > ”是“ < ”的( )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数 , , 都不是偶数”的正确假设应为( )
A. 自然数 , , 不都是偶数 B. 自然数 , , 都不是奇数
C. 自然数 , , 都是奇数 D. 自然数 , , 至少有一个是偶数
3.设函数 = ( )是定义在R上的奇函数，满足 ( 2) + ( ) = 0.当 ∈ [ 1,1]时， ( ) = 3，则下列结
论中正确的是( )
A. 函数 = ( )的图象关于直线 = 2对称
B. 函数 = ( )在区间[7,9]单调递减
C. 当 ∈ [ 1,2025]时， ( )有1013个零点
D. 函数 = ( )的图象关于点(1,0)对称
4.若非空实数集 中存在最大元素 和最小元素 ，则记 ( ) = .下列命题中正确的是( )
A. 已知 = { 1,1}, = {0, }，且 ( ) = ( )，则 = 2
B. 已知 = { | ( ) ≥ ( ), ∈ [ 1,1] }，若 ( ) = 2，则对任意 ∈ [ 1,1]，都有 ( ) ≥ ( )
C. 已知 = [ , + 2]， = { | = 2, ∈ }，则存在实数 ，使得 ( ) < 1
D. 已知 = [ , + 2]， = [ , + 3]，则对任意的实数 ，总存在实数 ，使得 ( ∪ ) = 3
二、填空题：本题共 12题，第 5-10题每题 4分,第 11-16题，每题 5分，共 54分。
√ 3√ 3
5.化简( 2 ) √ = (其中 > 0).
lg(8 2 )
6.函数 = 的定义域是 ．
1
7.已知 、 为实数，且函数 = 2 + + 1， ∈ [3 2 , ]是偶函数，则 = ．
8.已知集合 = { | = 2 2 1}， = { | = 2 + 4 5}，则 ∩ = ．
1 1
9.若正数 、 满足 + = 1，则2 + 的最小值为 ．

10.设 ∈ R，则方程| | + | 3| = |2 3|的解集为 ．
11.已知幂函数 ( )的图象过点(2,16)，则 ( + 1) ≤ (3 1)的解集为 ．
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12.已知命题甲：关于 的方程 2 + + = 0有两个不相等的负实数根；命题乙：关于 的方程4 2 + +
= 0没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数 的取值范围是 ．
13.函数 ( ) = log1( 2 + 4 + 5)在区间(3 1,3 + 1)内单调递增，则实数 的取值范围是 ．
2
3
14.已知 为常数，函数 = | 2 2 |在区间[0, ]上的最大值为2，则 = ．
2
15.已知函数 ( ) = |ln 1|，0 < 1 < e < < e
2
2 ，函数 ( )的图象在点 ( 1, ( 1))和点 ( 2, ( 2))
2| |
的两条切线互相垂直，且分别与 轴交于 ， 两点，则 的取值范围是 ．
| |
|3 1|, ≤ 1
16.设函数 ( ) = { ，集合 = { | 2( ) + 4 ( ) + = 0, ∈ }，则下列命题正确的
+ 3, > 1
有 ．
①当 = 3时，集合 = {4,6}；
②当 ≥ 4时， = ；
③当 = { , , }，则 的取值范围是( 13, 5)；
④若 = { , , , }(其中 < < < )，则3 + 3 + + = 12．
三、解答题：本题共 5小题，共 78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
5
已知全集为R，集合 = { | ≥ 1 }，集合 = { || 1| ≥ 2}．
+2
(1)求 ∩ ；
(2)若集合 = { ∣ 1 < < 2 }，且 ∪ = ，求实数 的取值范围．
18.(本小题15分)
对于函数 ( )与 ( )，记集合 > = { | ( ) > ( ) }．
(1)设 ( ) = 2| | , ( ) = + 3，求集合 > ；
1
(2)设 1( ) = 1 , 2( ) = ( )
+ 3 + 1 , ( ) = 0，若 > ∪ > = ，求实数 的取值范围． 3 1 2
19.(本小题16分)
某工厂生产某产品的固定成本为400万元，每生产 万箱，需另投入成本 ( )万元，当产量不足60万箱时，
1
( ) = 3
6400
+ 150 ；当产量不小于60万箱时， ( ) = 201 + 1860，若每箱产品的售价为200
150
元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完．
(1)求销售利润 (万元)关于产量 (万箱)的函数关系式；
(2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？
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20.(本小题17分)
e e e +e
已知函数 ( ) = , ( ) = ．
2 2
(1)证明： 2( ) 2( ) = 1；
(2)求不等式： (2 1) + ( 2) < 0的解集；
(3)若函数 ( ) = 2 (2 ) 2 ( ) 3的图象在区间[0, ln2]上与 轴有2个交点，求实数 的取值范围．
21.(本小题17分)
设函数 = ( )的定义域为 ，对于区间 = [ , ]( )，当且仅当函数 = ( )满足以下①②两个性质
中的任意一个时，则称区间 是 = ( )的一个“美好区间”．
性质①：对于任意 0 ∈ ，都有 ( 0) ∈ ；性质②：对于任意 0 ∈ ，都有 ( 0) ．
(1)已知 ( ) = 2 + 2 ， ∈ R.分别判断区间[0,2]和区间[1,3]是否为函数 = ( )的“美好区间”，并说
明理由；
1
(2)已知 ( ) = 3 2 3 + 12( ∈ R)且 > 0，若区间[0, ]是函数 = ( )的一个“美好区间”，
3
求实数 的取值范围；
(3)已知函数 = ( )的定义域为R，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意 < ，都有 ( )
( ) > .求证：函数 = ( )存在“美好区间”，且存在 0 ∈ R，使得 0不属于函数 = ( )的任意一
个“美好区间”．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 2
6.( ∞, 1) ∪ (1,3)
7. 3
8.( ∞, 1]
9.3 + 2√ 2/2√ 2 + 3
10.( ∞, 0] ∪ [3, +∞)
11.( ∞, 0]∪[1, +∞)
1 1
12.(0, ] ∪ [ , +∞)
16 4
4
13.[1, ]
3
14.1或 2
15.(6, +∞)
16.①④
5 5 3 ( + 2)( 3) ≤ 0
17.【详解】(1)由 ≥ 1 1 ≥ 0 ≥ 0 { ,
+2 +2 +2 + 2 ≠ 0
5
解得 2 < ≤ 3，即 = { | ≥ 1 } = { | 2 < ≤ 3}．
+2
由| 1| ≥ 2 1 ≤ 2或 1 ≥ 2，解得 ≤ 1或 ≥ 3，即 = { | ≤ 1或 ≥ 3}．
所以 ∩ = { | 2 < ≤ 1或 = 3}．
(2)由(1)得 = { | ≤ 1或 ≥ 3}，则 = { | 1 < < 3}．
由 ∪ = ，可得 ，又 = { |1 < < 2 }，
2 ≥ 3
所以{ ，解得 ≥ 2．
1 ≤ 1
即 的取值范围是[2, +∞)．
18.(1)当 ≥ 0得2 > + 3 , ∴ > 3；
当 < 0 时,得 2 > + 3 , ∴ < 1
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∴ > = ( ∞, 1) ∪ (3, +∞)．
1
(2) > = (1 , +∞) , = { |( )
+ 3 + 1 > 0 }
1 2> 3
∵ > ∪ > = ，∴ > ( ∞, 1] 1 2 2
1
即不等式( ) + 3 + 1 > 0在 ≤ 1恒成立
3
1 1
∴ ≤ 1时， > [( ) + ( ) ]恒成立，
9 3
1 1 4
∵ = [( ) + ( ) ]在 ≤ 1时最大值为 ，
9 3 9
4
故 >
9
19.【详解】(1)由题意可知，销售收入为200 万元，
当产量不足60万箱，即0 < < 60时，
1
= 200 ( ) 400 = 3 + 50 400．
150
当产量不小于60万箱，即 ≥ 60时，
6400
= 200 ( ) 400 = 1460 ( + )．

1
3 + 50 400,0 < < 60
综上可得 = { 150 6400 ．
1460 ( + ) , ≥ 60

1
3 + 50 400,0 < < 60
(2)设 ( ) = { 150 6400 ,
1460 ( + ) , ≥ 60

1
当0 < < 60时， ′( ) = ( + 50)( 50)，
50
则当0 < < 50时 ′( ) > 0，当50 < < 60时 ′( ) < 0，
可知 ( )在(0,50)上单调递增，在(50,60)上单调递减．
3800
则 ( ) ≤ (50) = ，
3
6400 6400
当 ≥ 60时，由基本不等式可知1460 ( + ) ≤ 1460 2√ = 1300，

6400
当且仅当 = ，即 = 80时取等号．

3800
又1300 > ，所以当产量为80万箱时，所获利润最大值为1300万元．
3
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e +e e e 2 2 2 2 e
2 +e 2 +2 e2 +e 2 2
20.【详解】(1) ( ) ( ) = ( ) ( ) = = 1．
2 2 4 4
(2)因为 (2 1) + ( 2) < 0，所以 (2 1) < ( 2)，
e e e e e e
因为 ( )定义域为R， ( ) = = = ( )，所以 ( ) = 是奇函数，
2 2 2
e e
所以 (2 1) < (2 )，又因为 ( ) = 是R上单调递增，所以2 1 < 2 ，
2
解得 < 1，解集为{ | < 1}；
(3)因为 ( ) = 2 (2 ) 2 ( ) 3的图象在区间[0, ln2]上与 轴有2个交点，
所以 (e2 + e 2 ) (e e ) 3 = 0，在 ∈ [0, ln2]时有2个实数根，
(e e )+3
即 = 2 2 在 ∈ [0, ln2]时有2个实数根， e +e
9
令(e e ) + 3 = ，知 = (e e ) + 3在区间[0, ln2]上单调递增，故 ∈ [3, ]，
2
(e e )+3 1 2 6 +11 11
由 = 2 2 可得 = = + 6， e +e
11 9
令 ( ) = + 6， ∈ [3, ]，
2
9
由对勾函数性质可知， ( )在区间[3, √ 11)上单调递减，在区间(√ 11, ]上单调递增，
2
2 9 17
又 (3) = ， (√ 11) = 2√ 11 6， ( ) = ，作函数草图如图，
3 2 18
1 2 11 1
当2√ 11 6 < ≤ 时，函数 ( ) = + 6与 = 有两个交点，
3
即函数 ( )的图象在区间[0, ln2]上与 轴有2个交点，
3 √ 11+3 3 √ 11+3
所以 ≤ < ，即实数 的取值范围为[ , )．
2 4 2 4
21.【详解】(1)区间[0,2]是函数 = ( )的“美好区间”，区间[1,3]不是函数 = ( )的“美好区间”，
理由如下：
由 ( ) = 2 + 2 = ( 1)2 + 1，
当 ∈ [0,2]时， ( ) ∈ [0,1] [0,2]，所以区间[0,2]是函数 = ( )的“美好区间”
当 ∈ [1,3]时， ( ) ∈ [ 3,1]，不是[1,3]的子集且两集合交集非空，
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所以区间[1,3]不是函数 = ( )的“美好区间”
(2)记 = [0, ]， = { ( )| ∈ }
若区间[0, ]是函数 = ( )的一个“美好区间”，则 或 ∩ =
1
由 ( ) = 3 2 3 + 12( ∈ R)，可得 ′( ) = 2 2 3 = ( 3)( + 1)，
3
所以当 < 1或 > 3时， ′( ) > 0，则 ( )的单调递增区间为：( ∞, 1)，(3, +∞)；
当 1 < < 3时， ′( ) < 0，则 ( )的单调递增区间为：( 1,3)，
3+3√ 5
且 (0) = 12， (3) = 3， ( ) = 12，得到 ( )在[0, +∞)的大致图像如下：
2
( )当0 < < 3时， ( )在区间[0, ]上单调递减，且 ( ) > (3) = 3，
所以 = [ ( ),12]，则 ∩ = ，即对于任意 0 ∈ ，都有 ( 0) ，满足性质②，
故当 ∈ (0,3)时，区间[0, ]是函数 = ( )的一个“美好区间”；
3+3√ 5
( )当3 ≤ ≤ ， ( )在区间[0,3]上单调递减，在(3, ]上单调递增，此时 = [3,12]，
2
3+3√ 5
所以 (3) = 3 ∈ [0, ]， (0) = 12 [0, ]，则当 ∈ [3, ]时，区间[0, ]不是函数 = ( )的一个
2
“美好区间”；
3+3√ 5
( )当 < < 12时， ( )在区间[0,3]上单调递减，在(3, ]上单调递增，且 ( ) > 12，此时 =
2
[3, ( )]，
3+3√ 5
所以 (3) = 3 ∈ [0, ]， ( ) [0, ]，则当 ∈ ( , 12)时，区间[0, ]不是函数 = ( )的一个“美
2
好区间”；
( )当 ≥ 12时， ( )在区间[0,3]上单调递减，在(3, ]上单调递增，且 ( ) > 12，此时 = [3, ( )]，
因为 (0) = 12 ∈ [0, ]，则要使区间[0, ]是函数 = ( )的一个“美好区间”，则 ，即 ( ) ≤ ，
1
构造函数 ( ) = ( ) = 3 2 4 + 12( ≥ 12)，
3
则 ′( ) = 2 2 4 = ( 1)2 5，
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由于 ≥ 12，所以 ′( ) > 0恒成立，则 ( )在区间[ , +∞)上单调递增，
1
所以 ( ) 3 2min = (12) = × 12 12 4 × 12 + 12 = 396 > 0，则 ( ) > ，不满足题意， 3
故当 ≥ 12时，区间[0, ]不是函数 = ( )的一个“美好区间”，
综上，实数 的取值范围是(0,3)
(3)对于任意区间 = [ , ]，记 = { ( )| ∈ }，
因为对于任意 < ，都有 ( ) ( ) > ，
所以 ( )在区间 上单调递减，故 = [ ( ), ( )]，
因为 ( ) ( ) > ，即 的长度大于 的长度，故 ( )不满足性质①，
所以若 为 = ( )的“美好区间”必满足性质②，即 ∩ = ，
即只需要 ( ) < 或 ( ) > ，
由 ( ) = 显然不恒成立，所以存在常数 使得 ( ) ≠ ，
如果 ( ) < ，取 = ，则区间 = [ , ]( < )满足性质②；
如果 ( ) > ，取 = ，则区间 = [ , ]( < )满足性质②；
综上，函数 = ( )一定存在“美好区间”；
记 ( ) = ( ) ，则 ( )的图象连续不断，下证明 ( )有零点，
由于 ( )在R上单调递减，则 ( )在R上是减函数，记 (0) =
若 = 0，则 0 = 0是 ( )的零点；
若 > 0，则 ( ) < (0) = ，记 (0) > 0， ( ) < 0，
由零点存在定理，可知存在 0 ∈ (0, )，使得 ( 0) = 0；
若 < 0，则 ( ) > (0) = ，记 (0) < 0， ( ) > 0，
由零点存在定理，可知存在 0 ∈ ( , 0)，使得 ( 0) = 0；
综上， ( )有零点 0，即 ( 0) = 0，
因为 ( )所有“美好区间” 都满足性质②，故 0 ，否则 ( 0) = 0 ∈ 与性质②矛盾；
即存在 0 ∈ R，使得 0不属于函数 = ( )的任意一个“美好区间”，证毕．
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