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上海交通大学附属中学嘉定分校 2026届高三上学期 10月综合练习
数学试卷
一、选择题：本大题共有 4题，满分 18分，第 1、2题每题 4分，第 3、4题每题 5分。
1.已知函数 ( )满足 ′( 1) > 0，
′( 2) < 0，则在 1和 2附近符合条件的 ( )的图象大致是( )
A. B. C. D.
√ 2
2.“ ≥ ”是“圆 ： 21 +
2 = 4与圆 22：( ) + ( + )
2 = 1有公切线”的( )
2
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票，六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七
张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以 表示“在甲抽奖箱中抽奖中奖的事件”， 表示“在乙抽
奖箱中抽奖中奖的事件”， 表示“两次抽奖均未中奖的事件”，下列结论中不正确的是( )
21
A. ( ) = B. 与 相互独立
50
C. ( ∩ ) + ( ) = 0.54 D. 与 互斥
3
4.设函数 ( ) = 2 2 + , ∈ ，对于实数 ，给出以下命题：命题 1: + 0；命题 2: | |+1
2 0；命题 : ( ) + ( ) 0.下列选项中正确的是( )
A. 1 2中仅 1是 的充分条件 B. 1 2中仅 2是 的充分条件
C. 1 2都不是 的充分条件 D. 1 2都是 的充分条件
二、填空题：本题共 12题，第 5-10题每题 4分,第 11-16题，每题 5分，共 54分。
5.如果异面直线 、 所成角为 ，那么 的取值范围是 . (用弧度表示)
6.函数 ( ) = √ 1 + + ln(2 )的定义域为 ．
7.( 1)10的二项展开式中第4项是 ．
4 3
8.已知复数 = sin + (cos ) i为纯虚数(其中i为虚数单位)，则tan = ．
5 5
2
9.已知圆锥的侧面积为 ，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥的母线的长为 ．
9
10. 为平行四边形 的对角线， = (2,4), = (1,3)，则 = ．
( + )2
11.已知 > 0， > 0，实数 ， 1， 2， 成等差数列 ， 1， 2， 成等比数列，则
1 2 的最小值
1 2
为 ．
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12.已知集合 = {1,2,3}， = { , 4,5}，且 ∪ 中的所有元素的和为12，则 = ．
π
13.在直角坐标平面 内有一直角 ， = ，顶点 的坐标为(2,1)， 所在直线方程为2 + +
2
1 = 0，则顶点 的坐标为 ．
14.抛物线 21: = 4 的焦点 ，点 (3,2)，以点 ， 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的
最大值为 ．
15.空间给定不共面的 ， ， ， 四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面
： ， ， ， 中有三个点到的距离相同，另一个点到 的距离是前三个点到 的距离的2倍，这样的平面
的个数是 个
16.若存在实数 ，使得当 ∈ [0, ]时，不等式|2 1| + | 2 | ≤ 4恒成立，则实数 的最大值
为 ．
三、解答题：本题共 5小题，共 78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
已知向量 = (cos , 1)， = (√ 3sin , cos2 )，且函数 ( ) = ．
(1)求函数 ( )的单调递增区间；

(2)若在△ 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，(2 )cos = cos ，求 ( )的取值范围．
2
18.(本小题15分)
如图，已知棱长均为1的正三棱柱 1 1 1顶点处有一机器蚂蚁 ，机器蚂蚁 每次随机等可能地沿
一条棱向相邻的某个顶点移动，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若机器蚂蚁 初始位
置位于底面 的某一顶点．
(1)求机器蚂蚁 移动2次后仍在底面 上的概率 2；
(2)求机器蚂蚁 移动 次后仍在底面 上的概率 ．
19.(本小题16分)
《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体，如图所示，在
“羡除” 中，底面 是边长为2的正方形， // , = 6， = = = = 3．
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(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)求“羡除” 的体积
20.(本小题17分)
2 2
设 1, 2分别是双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右两焦点，过点 2的直线 : =
0( , ∈ R)与 的右支交于 ， 两点， 过点( 2,3)，且它的虚轴的端点与焦点的距离为√ 7．
(1)求双曲线 的方程；
(2)当| 1| = | 2 1|时，求实数 的值；
1
(3)设点 关于坐标原点 的对称点为 ，当 2 = 2 时，求△ 面积 的值． 2
21.(本小题17分)
已知函数 ( ) = , ∈ R,其中 ∈ N+且 ≥ 2.
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)设曲线 = ( )与 轴正半轴的交点为 ，曲线在点 处的切线方程为 = ( ),求证：对于任意的正实数
，都有 ( ) ≤ ( );

(3)若关于 的方程， ( ) = ( 为实数)有两个正实数根 1， 2，求证| 2 1| < + 2. 1
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参考答案
1.
2.
3.
4.

5.0 < ≤ ．
2
6.[ 1,2)
7. 120 7
4
8.
3
2
9.
3
10.( 1, 1)
11.4
12. 3
2 1
13.( , )．
5 5
√ 2
14.
2
15.32
16.2
17.【详解】(1)因为向量 = (cos , 1), = (√ 3sin , cos2 )，且函数 ( ) = ，
√ 3 1 1 π 1
所以 ( ) = = √ 3sin cos + cos2 = sin2 + cos2 + = sin (2 + ) + ，
2 2 2 6 2
π π π π π
令 + 2 π ≤ 2 + ≤ + 2 π，解得 + π ≤ ≤ + π, ∈ Z，
2 6 2 3 6
π π
所以函数 ( )的单调增区间为[ + π, + π] , ∈ Z；
3 6
(2)因为(2 )cos = cos ，
所以2sin cos sin cos = sin cos ，
即2sin cos = sin cos + sin cos = sin( + ) = sin ，
所以2sin cos = sin ，
1
因为 ∈ (0, π), sin ≠ 0，所以cos = ，
2
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π
因为 ∈ (0, π)，所以 = ，
3
2π
所以 ∈ (0, )，
3
π 1
( ) = sin ( + ) + ，
2 6 2
2π π π 5π π 1
由 ∈ (0, )，得 + ∈ ( , )，所以sin ( + ) ∈ ( , 1]
3 6 6 6 6 2
3
所以 ( ) ∈ (1, ]．
2 2
1
1{ 1


18.【详解】(1)由很可能性不妨设机器蚂蚁 的初始位置在顶点 ，由树形图 { { ，共有9个不同结
1
1
{

果，
其中在底面 上的结果有5个，
5
所以机器蚂蚁 移动2次后仍在底面 上的概率 2 = ． 9
(2)机器蚂蚁 移动 次后仍在底面 上的概率 ，则移动 + 1次后仍在底面 上的概率为 +1，
2 1 1 1
依题意， +1 = 3 +
(1 )，即 = + ，
3 +1 3 3
1 1 1 2 1 1
令 +1 + = ( + )， 3 +1 + =
(
3
+ )，展开得 +1 = ，解得 = ，于是 =3 3 2 +1 2
1 1
( )，
3 2
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
而 1 = ， 1 = ≠ 0，因此数列{ }是首项为 ，公比为 的等比数列，即 = × ( ) ， 3 2 6 2 6 3 2 6 3
1 1 1
所以机器蚂蚁 移动 次后仍在底面 上的概率 = × ( ) + ． 2 3 2
19.【详解】(1)分别取 , 的中点 , ，连接 , , ，
因为 = = 3，且 = 2，则 ⊥ ， = 2√ 2，
同理可得 = 2√ 2，
又因为 // ，所以 ⊥ ，
因为底面 是边长为2的正方形，则 // ，且 = 2，
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且 // , = 6，则 // ，
分别作 ⊥ ， ⊥ ，垂足分别为 , ，连接 , , ，
则 = = = 2，可得 // ，且 = ，
可知四边形 为平行四边形，则 = = 2√ 2，
且 = 2√ 2， = 4，则 2 + 2 = 2，
可得 ⊥ ，即 ⊥ ，
又因为 ∩ = ， , 平面 ，可得 ⊥平面 ，
且 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)根据题意结合对称性可得： ⊥ ， ⊥ ，
且 ∩ = ， , 平面 ，可得 ⊥平面 ，
同理可得： ⊥平面 ，
则“羡除” 可分为两个全等的三棱锥 、 和直三棱柱 ，
1
因为 = ， = √ 2 2 = 2，则 = × 2 × 2 = 2， 2
1 20
所以“羡除” 的体积 = 2 + = 2 × × 2 × 2 + 2 × 2 = ． 3 3
20.【详解】(1)因为双曲线 过点( 2,3)，且它的虚轴的端点与焦点的距离为√ 7，
4 9
= 1 2
可得：{ 2 2 ，解得：{ = 12 ,
2 + ( 2 + 2) = 7 = 3
2
2
所以双曲线 的方程为 = 1．
3
(2)因为直线 : = 0，且过点 2(2,0)，
则2 × 0 = 0，解得： = 2，
由| 1| = | 2 1|得：三角形 1 2为等腰三角形，
2 2
所以等腰三角形 1 2底边 2上的高的大小为√
2
1 (
1 ) = √ 15，
2
又因为点 1到直线 : 2 = 0的距离等于等腰三角形 1 2底边上的高，
| 2 0 2|
则 = = √ 15，
√ 2+1
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2 1 √ 15化简得： = ，即 = ± ．
15 15
(3)设 ( 1， 1)， ( 2， 2)，
2
2
由直线与双曲线联立得：{ = 13 ,
2 = 0
化简得：(3 2 1) 2 + 12 + 9 = 0，
12 9
由韦达定理得： 1 + 2 = 2， 1 2 = 1 3 1 3 2，
1 12 9又 = 2 2 ，即 2 = 2 1，则 1 = 2，2
2
1 = ， 2 1 3 1 3 2
12 2 9 1
即2 ( ) = ，则 2 = ，
1 3 2 1 3 2 35
又点 关于坐标原点 的对称点为 ，则：
12 2 9 12√ 2
= 2 = 2| | = 2√ ( + )2 4 = 2√
+1 9√ 35
1 2 1 2 1 2 ( 2) 4 ( ) = = ． 1 3 1 3 2 1 3 2 4
9√ 35
则所求的△ 面积为 ．
4
21.【详解】(1)由 ( ) = ， ∈ R，得 ′( ) = 1 = (1 1)，其中 ∈ N+且 ≥
2.
下面分两种情况讨论：
①当 为奇数时，令 ′( ) = 0，解得 = 1或 = 1．
当 变化时， ′( ), ( )的变化情况如下表：
( ∞, 1) ( 1,1) (1,+∞)
1 1
′( )
– 0 + 0 –
( )
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以， ( )在( ∞, 1)，(1,+∞)上单调递减，在[ 1,1]单调递增．
②当 为偶数时，令 ′( ) = 0,解得 = 1．
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( ∞, 1) (1,+∞)
1
′( )
+ 0 –
( )
↗ 极大值 ↘
所以， ( )在( ∞,1)单调递增，在[1,+∞)上单调递减．
故当 为奇数时， ( )在( ∞, 1)，(1,+∞)上单调递减，在[ 1,1]单调递增．
当 为偶数时， ( )在( ∞,1)单调递增，在[1,+∞)上单调递减．
1
(2)证明：设点 的坐标为( 0, 0)，则
′ 2
0 = 1， ( 0) = ．
所以曲线 = ( )在点 处的切线方程为 = ′( 0)( 0)，
即 ( ) = ′( 0)( 0)，
令 ( ) = ( ) ( )，即 ( ) = ( ) ′( 0)( 0)，则
′( ) = ′( ) ′( 0)．
由于 ∈ N 且 ≥ 2，所以幂函数 = 1+ 在(0,+∞)上单调递增，因此
′( ) = 1 + 在(0,+∞)上单
调递减，
故 ′( )在(0,+∞)上单调递减，且 ′( 0) = 0，
所以当 ∈ (0, 0)时，
′( ) > 0；当 ∈ ( 0, +∞)时，
′( ) < 0,
所以 ( )在(0, 0)上单调递增，在[ 0, +∞)上单调递减，所以 ( )有最大值 ( 0)
所以对应任意的正实数 ，都有 ( ) ≤ ( 0) = 0．
故对于任意的正实数 ，都有 ( ) ≤ ( ).

(3)证明：不妨设 1 ≤ 2，由(2)知 ( ) = (
2)( 0)，设方程 ( ) = 的根为
′
2，可得
′
2 = 2 +
0.
又由 ≥ 2知 ( ) = ( 2)( 0)在R上单调递减，由(2)知 ( 2) ≥ ( 2) = = (
′
2)，可得 2 ≤
′2．
同理，设曲线 = ( )在原点处的切线方程为 = ( )，可得 ( ) = ，当 ∈ (0,+∞)， ( ) ( ) =
< 0．

即对于任意的 ∈ (0,+∞)， ( ) < ( ).设方程 ( ) = 的根为 ′ ，可得 ′1 1 = ，
因为 ( ) = 在( ∞,+∞)上单调递增，且 ( ′1) = = ( 1) < (
′
1)，因此 1 < 1．

由此可得： 2
′
1 < 2
′
1 = + = + ， 2 0 1 0
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1
因为 ≥ 2,所以2 1 = (1 + 1) 1 ≥ 1 + C1 1 = 1 + 1 = ，所以有2 ≥ 1 = 0．

所以 2 1 = | 2 1| < + ≤ + 2． 1 0 1

故| 2 1| < + 2． 1
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