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陕西省西安市高新第一中学
2025-2026学年高三上学期四模
一、单选：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若集合A={x|x2- 2x< 0}，B={x|lnx< 0}，则A∪B=（ ）
A. {x|x< 2} B. {x|x< 1} C. {x|0< x< 1} D. {x|0< x< 2}
2. 1 1“ a < ”是“a> b”的（ ）b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 1+i1-i 的模为（ ）
A. 1 B. 2 C. 2 D. 1+ 2
4.

已知向量 a= (2,2)，b= (1,0) ，则向量 a在 b方向上的投影向量为（ ）
A. (0,2) B. (1,0) C. (2,0) D. (0,1)
5. 已知 f(x3) = lgx（x> 0），则 f(2) + f(5)的值为（ ）
A. 13 lg7 B.
1
3 C.
2
3 D.
2
3 lg7
6. π已知定义在 (0, 2 )上的函数 f(x)的导数为 f
(x)，且有 f (x)cosx+ f(x)sinx> 0，若 a=
2 3
3 f(
π
6 )，b= 2 f(
π
4 )，c= 2f(
π
3 )则（ ）
A. a< b< c B. b< c< a C. a< c< b D. c< b< a
在△ABC中，角A,B,C的对边分别是 a,b,c，若 b+ c= 14，cosB= 74 ，cosC=
3 7
8 ，则
△ABC的面积是（ ）
A. 15 74 B.
15 7
8 C. 9 D. 18
8. 已知函数 f(x) = ln( sin2x+1+ sinx)，则（ ）
A. 函数 f(x)是偶函数
B. 函数 f(x)的值域为 [0,ln( 2+ 1)]
C. 存在实数 x0，使得 f(π+ x0) - f(x0) = 1
D. 函数 f(x)的图象关于直线 x= π对称
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题
给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错或不选的得0分。
{#{QQABAQAAogAgAIJAAQhCAQ0ACgEYkAGCCAgOhAAUMAIAARFABCA=}#}
9. 已知 Sn为等差数列 {an}的前 n项和，Tn为等比数列 {bn}的前 n项积，且 a4= b4= 2，则
（ ）
A. S7= 14 B. T7= 128 C. a3+ a5= b3b5 D. a3a5= b3+ b5
10. 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，则（ ）
A. 若 a2+ b2> c2，则△ABC为锐角三角形
B. 若 bcosA= acosB，则△ABC为等腰三角形
C. π若B= 4 ,a= 2，且该三角形有两解，则 b的范围是 ( 2 ,2)
D. 存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍
2
11. 已知函数 f(x) = x +x-1x ，则下列结论正确的是（ ）e
A. 函数 f(x)既存在极大值又存在极小值
B. 函数 f(x)存在三个不同的零点
C. 若 x∈ [t, +∞)时，f(x) = 5max 2 ，则 t的最大值为 2e
D. 3对于 a∈ (- 2 , -1)，都有 f(a)< f(-2a- 1)
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 若 tanα= 1，则 sin2α=
13. 已知数列 {an}的通项公式为 an= 25- 4n，前n项和为Sn，则Sn的最大值为
14. 已知在平面直角坐标系中，点Q的坐标 (x,y)满足 e2x+y-1- ln (2x- y) ≤ 1，且对于 m
∈ ，都有 (x-m)2+ (y- 2em)2≥ k，则 k的取值范围是 。
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。
15. (本小题满分 13分)在数列 {an}中 a *1= 1，an+1= 2an+n- 1，n∈ 。
(1)证明：数列 {an+n}是等比数列，并求数列 {an}的通项公式 an；
(2)若 cn= 2n- an，n∈ * 4，求数列 c c 的前n项和Tn。n n+1
16. (本小题满分 15分)在 △ABC中，已知点D在边 BC上，且 AD AC = 0，cos∠DAB=
2 2
3 ，AB= 3 2。
(1) 若BC= 4 3，求 sinC的值；
(2) 若AC= 2，求BC边上的中线AE的长。
17. (本小题满分 15分)如图，在多面体ABCDP中，△ABC是边长为 4的等边三角形，PA=
AC，BD=CD= 2 2，PC=PB= 4 2，点E为BC的中点，平面BDC⊥平面ABC。
(1) 求证：DE∥平面PAC；
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(2) 线段BC上是否存在一点T，使得二面角T-DA-B为直二面角？若存在，请求出线段
TC的长度；若不存在，请说明理由。
18. (本小题满分 17分) 已知抛物线E:y2= 2px(p> 0)的焦点为F，以F和准线上的两点为
4 3
顶点的三角形是边长为 3 的等边三角形，过D(-1,0)的直线交抛物线E于A,B两点。
(1)求抛物线E的方程；
(2)是否存在常数 λ，使得 |AF | +|BF | = λ|AF | |BF |，如果存在，求 λ的值，如果不存在，请说
明理由；
(3)证明：△ABF内切圆的面积小于 π。
19. (本小题满分 17分) 已知函数 f(x) = ex- ksinx。
(1)当 k= 1 x∈ (0, π， 2 )时，求 f(x)的单调区间；
(2)若 f(x)在区间 (0, π2 )内存在极值点 α。
①求实数 k的取值范围；
②求证：f(x)在区间 (0,π)内存在唯一的 β，使 f(β) = 1，并比较 β与 2α的大小，说明理由。
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