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山东省泰安市泰山国际学校2026届高三上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.不等式的解集是
A. B. C. D.
5.已知是函数的零点，若，则的值满足( )
A. B.
C. D. 的符号不确定
6.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为 ．
A. B. C. D.
7.已知是函数的一个极值点，则的取值集合为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.设函数的定义域都为，且是减函数，是增函数，则下列说法中正确的有( )
A. 是增函数 B. 是减函数
C. 是增函数 D. 是减函数
10.下列说法中正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.若函数既有极大值也有极小值，则 ．
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12. ．
13.设函数则 ，若，则实数的取值范围是 ．
14.已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知集合，，若，求实数的值
16.已知命题：，是真命题．
求实数的取值集合；
设集合其中，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17.已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足．
求的表达式；
函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围．
18.已知函数．
讨论的单调性；
设，为两个不相等的正数，且，证明：．
19.已知函数．
若，求在处切线方程；
求的极大值与极小值；
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

14.
15.【详解】，由，知．
等价于集合是集合的子集，
当时，，
当或时，，则若，则，得，此时
若，则，得，此时A.
综上所述，当时，均有．

16.解：由题意得：，恒成立，令
问题转化为在上即可，又在单调递增，
，故，即；
由题意得：，
由知：，而为其中的解集，
所以，
时，则．

17.解：由，可得的图象关于直线对称，
函数的值域为，所以二次函数的顶点坐标为，
所以设，
根据根与系数的关系，可得，，
因为方程的两个实根满足
则，
解得：，所以．
解：由于函数在区间上的最大值为，最小值为，
则函数在区间上单调递增，
又，即，
所以的对称轴方程为，则，即，
故的取值范围为．

18.解：的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
方法一：等价转化
由得，即．
由，得．
由不妨设，则，从而，得，
令，
则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，
由得即
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以
由得．
方法二【最优解】：变形为，所以．
令则上式变为，
于是命题转换为证明：．
令，则有，不妨设．
由知，先证．
要证：
．
令，
则，
在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以需证．
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以故，即．
综合可知．
方法三：比值代换
证明同证法以下证明．
不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，
即证．
记，则．
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，
即．
方法四：构造函数法
由已知得，令，
不妨设，所以．
由Ⅰ知，，只需证．
证明同证法．
再证明令．
令，则．
所以，在区间内单调递增．
因为，所以，即
又因为，所以，
即．
因为，所以，即．
综上，有结论得证．

19.解：当时，，，
所以，
又，
所以切线方程为，即．
，
当时，，解得，
故时，，单调递减，
时，，单调递增，
故时，的极小值为，无极大值；
当时，令，解得，，
故当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故的极大值为，极小值为；
当时，令，解得，，
故当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的极大值为，极小值为；
综上，当时，的极小值为，无极大值；
当时，的极大值为，极小值为．

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