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天津市第一中学2026届高三上学期数学统练3试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“，”的 条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.如图是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是( )
A. B.
C. D.
4.在的展开式中，含项的系数为( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列的公比大于，且，等差数列满足，，，则( )
A. B. C. D.
6.设，，则
A. B. C. D.
7.已知平面向量，且，则( )
A. B. C. D.
8.在等差数列中，，，若此数列的前项和，前项和，则数列的前项和的值是 ．
A. B. C. D.
9.已知定义在上的函数在上有且仅有个零点，其图象关于点和直线对称，给出下列结论：；函数在上有且仅有个最值点；函数在上单调递增；函数的最小正周期是；函数右移个单位是奇函数，则其中所有正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.复数，则的实部为 ．
11.已知锐角满足，则 ．
12.设为数列的前项和，若，则
13.在等腰直角三角形中，，，是中点，点是上一点，若，则 ．
14.在中，已知，且，则 ；若为线段的中点，点满足，且为线段上的动点，则的最小值为 ．
15.已知函数，函数，其中实数设，若不等式在上有解，则实数的取值范围是
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为．
求角的大小；
求的值；
求的值．
17.正方体的棱长为，分别为中点，．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
求三棱锥的体积．
18.已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，．
求，的通项公式；
已知，求数列的前项和；
求证：．
19.已知函数，．
若在上恒成立，求的取值范围；
设为图象上一点，为图象上一点，为坐标原点，若为锐角，证明：．
20.已知数列满足：，是的前项和；对于，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，，，；，，，与，，，一起恰好组成数列．
求，的值．
求数列的通项公式；
(ⅱ)对于数列，若，，证明：当时，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

15.
16.【详解】因和正弦定理，，
又，所以，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
；
因，解得，
又因，即，代入上式可得：，解得，故，
由余弦定理得，，
故得；
由已得，，，
由余弦定理，可得
因且，故，
所以

17.【详解】法一、在正方形中，
由条件易知，所以，
则，
故，即，
在正方体中，易知平面，且，
所以平面，
又平面，，
平面，平面；
法二、如图以为中心建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设是平面的一个法向量，
则，令，则，所以，
易知，则也是平面的一个法向量，平面；
同上法二建立的空间直角坐标系，
所以，
由知是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，所以
令，则，即，
设平面与平面的夹角为，
则；
由知平面，平面，，
易知，
又，则到平面的距离为，
由棱锥的体积公式知：．

18.【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，得，所以，
由，得
所以，，故，所以．
当是奇数时，，
当是偶数时，，
则
得：
即
化简得：．
所以．
，
当时，，
因为，所以；
当时，也成立故．

19.【详解】令函数，求导得，
则函数在上单调递增，从而，即，因此，
当时，，符合题意；
当时，令函数，，
则，在上单调递增，且，，
则存在，使得，且时，，即单调递减，
则当时，，与题意矛盾，
所以的取值范围是．
依题意，由，得，即，亦即，
因为，则不等式为，
设，则不等式为，
设，则，
设，则，函数在上单调递减，
因此，即，即在上单调递减，
因此由，得，即，设，则，
由可知，则有，从而，即，在上单调递增，
因此，从而，因而，
所以．

20.【详解】令，显然，
由，
．
由按上述规则产生共个正整数，
而产生共个正整数则个正整数包含，
，
故，
，
当时，
又，．
由，
当时，，
由，
当时，
令，
，
，
，
．

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