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海南省东方市东方中学 2026届高三上学期第二次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.设集合 = { ∣ 1 ≤ ≤ 2}, = { ∣ 2 ≤ 1}，则集合 ∩ =( )
A. [ 1,1] B. [0,2] C. [ 1,0] D. [1,2]
3+2i
2.已知复数 = ，则 在复平面内对应的点位于( )
3 2i
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.下列函数中，单调递增且值．域．为[0,+∞)的是( )
A. = 2 B. = √ + 1 C. = 3 1 D. = log2
1 1
4.已知 + = 4，且 > 0， > 0，则 + 的最小值是( )

A. 1 B. √ 2 C. 2 D. 2√ 2
5.已知向量 = (2, 1), = ( 3, ), (2 + ) ⊥ ，则 =( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
7
6.定义在 上的奇函数 ( )满足 ( + 2) = ( )，且当0 < ≤ 1时， ( ) = 2 + ，则 ( ) =( )
2
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 4 4 2
7.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的
能量 (单位：焦耳)与地震里氏震级 之间的关系为lg = 4.8 + 1.5 . 2011年3月11日，日本东北部海域发
生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到
1) ( )(注：√ 2 ≈ 1.414，√ 10 ≈ 3.162)
A. 30 B. 31 C. 32 D. 33
8.已知函数 ( )的图象如图所示，则 ( )的解析式可能为( )
ln ln| |
A. ( ) = B. ( ) =
| |
1 ln
, > 0
2 , > 0
C. ( ) = { e D. ( ) = {
ln( )
( + 1)e , < 0
2 , < 0
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列定义域为R的函数是奇函数的是( )
A. = 3 B. = 2 C. = 2 + 1 D. = sin
10.下列函数中有零点的是( )
1
A. = + 1 B. = 2 2 + 1 C. = ln + 1 D. = e + 1
2
11.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数， ( + 1)是偶函数，当 ∈ [0,1]， ( ) = 2 + ，则下列说法中
正确的有( )
A. 函数 ( )关于直线 = 1对称 B. 4是函数 ( )的周期
C. (2025) + (2026) = 0 D. 方程 ( ) = |ln |恰有4不同的根
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
1 1
12.“ > ”是“ < 2”的 条件．
2
2 , < 1,
13.已知函数 ( ) = { 则 ( 2) + (2) = ．
log3( + 7), ≥ 1,
14.若函数 ( ) = 2| |( ∈ )满足 (1 + ) = (1 )，且 ( )在[ ,+∞)单调递增，则实数 的最小值
等于 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 1 = 2， 10 = 65．
(1)求数列{ }的通项公式；
1
(2)求数列{ }的前 项和为 ．
+1
16.(本小题15分)
如图，平面四边形 中， = 8， = 3， = 5√ 3，∠ = 90°，∠ = 30°，点 ， 满足

2
=
1
， = ，将 沿 翻折至 ，使得 = 4√ 3．
5 2
(1)证明： ⊥ ；
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(2)求平面 与平面 所成的二面角的正弦值．
17.(本小题15分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2， 是椭圆 上一点，且 1 2的周长是
√ 3
4 + 2√ 3，椭圆 的离心率为 ．
2
(1)求椭圆 的方程；
3
(2)已知 为坐标原点，过点 (4,0)的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，且 = ，求| |．
5
18.(本小题17分)
某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60), [60,70)，
[70,80), [80,90)，[90,100)．
(1).求图中 的值;
(2).根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3).若这100名学生语文成绩某些分数段的人数( )与数学成绩相应分数段的人数( )之比如下表所示，求数
学成绩在[50,90)之外的人数．
[50,60) [60,70) [70,80) [80,90)
分数段
: 1: 1 2: 1 3: 4 4: 5
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = e 3．
(1)当 = 1时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若 ( )有极小值，且极小值小于0，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.充分不必要
9
13.
4
14.1
15.【详解】(1)设等差数列{ }的公差为 ，
10×9
则由等差数列求和公式得： 10 = 10 1 + = 65， 2
又因为 1 = 2，所以可得10 × 2 + 45 = 65 = 1，
即数列{ }的通项公式为 = 2 + ( 1) × 1 = + 1；
1 1 1 1
(2)由 = = ，
+1 ( +1)( +2) +1 +2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 = + + + = + + + = = ． 1 2 2 3 +1 2 3 3 4 +1 +2 2 +2 2( +2)
16.【详解】(1)由 = 8, = 5√ 3,
2
=
1
, = ，
5 2
得 = 2√ 3, = 4，又∠ = 30°，在 中，
√ 3
由余弦定理得 = √ 2 + 2 2 cos∠ = √ 16 + 12 2 4 2√ 3 = 2，
2
所以 2 + 2 = 2，则 ⊥ ，即 ⊥ ，
所以 ⊥ , ⊥ ，又 ∩ = , 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
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故 ⊥ ；
(2)连接 ，由∠ = 90°, = 3√ 3, = 3，则 2 = 2 + 2 = 36，
在 PEC中， = 4√ 3, = 2√ 3, = 6，得 2 + 2 = 2，
所以 ⊥ ，由(1)知 ⊥ ，又 ∩ = , 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，则 , , 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0), (0,0,2√ 3), (0,3√ 3, 0), (3,3√ 3, 0), (2,0,0), (0, 2√ 3, 0)，
由 是 的中点，得 (4,2√ 3, 0)，
所以 = (3,3√ 3, 2√ 3), = (0,3√ 3, 2√ 3), = (4,2√ 3, 2√ 3), = (2,0, 2√ 3)，
设平面 和平面 的一个法向量分别为 = ( 1, 1, 1), = ( 2, 2, 2)，
= 3 1 + 3√ 3 1 2√ 3 1 = 0 = 4 2 + 2√ 3 2 2√ 3 = 0则{ , { 2 ,
= 3√ 3 1 2√ 3 = 0 1 = 2 2 2√ 3 2 = 0
令 1 = 2, 2 = √ 3，得 1 = 0, 1 = 3, 2 = 1, 2 = 1，
所以 = (0,2,3), = (√ 3, 1,1)，
| | 1 √ 65
所以|cos , | = = = ，
| || | √ 5 √ 13 65
8√ 65
设平面 和平面 所成角为 ，则sin = √ 1 cos2 = ，
65
8√ 65
即平面 和平面 所成角的正弦值为 ．
65
2 + 2 = 4 + 2√ 3
17.【详解】(1)设椭圆的焦距为2 ，由题意可得{ √ 3,
= =
2
解得 = 2， = √ 3，所以 2 = 2 2 = 1，
2
所以椭圆 的方程为 + 2 = 1．
4
(2)由题意可知直线 的斜率存在，设为 ，所以直线 的方程为 = ( 4)．
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
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2
+ 2 = 1
由{ 4 ，得(1 + 4 2) 2 32 2 + 64 2 4 = 0，
= ( 4)
2 2
32 64 4 1
所以 1 + 2 = 2， 1 2 = 2 ，由 > 0得0 ≤
2 < ．
1+4 1+4 12
2
由
76 4 3
= 2 2 21 2 + 1 2 = (1 + ) 1 2 4 ( 1 + 2) + 16 = 2 = ，
1+4 5
1 8
得 2 = ，满足 > 0，所以 1 + 2 = ， = 0， 16 5 1 2
√ 17 8 2√ 17
所以| | = √ ( 1 )22 + ( 1 )22 = √ 1 + 2 √ ( 1 + 22) 4 1 2 = × = ． 4 5 5
18.【详解】(1)依题意得：10(2 + 0.02 + 0.03 + 0.04) = 1，解得： = 0.005．
(2)用每组中间的数据作为该组的平均数估计这100名学生语文成绩的平均分为：
55 × 0.05 + 65 × 0.4 + 75 × 0.3 + 85 × 0.2 + 95 × 0.05 = 73(分)
(3)数学成绩在[50,60)的人数为：100 × 0.05 = 5，
1
数学成绩在[60,70)的人数为：100 × 0.4 × = 20，
2
4
数学成绩在[70,80)的人数为：100 × 0.3 × = 40，
3
5
数学成绩在[80,90)的人数为：100 × 0.2 × = 25
4
数学成绩在[50,90)的人数为：100 5 20 40 25 = 10．
19.【详解】(1)当 = 1时，则 ( ) = e 1， ′( ) = e 1，
可得 (1) = e 2， ′(1) = e 1，
即切点坐标为(1, e 2)，切线斜率 = e 1，
所以切线方程为 (e 2) = (e 1)( 1)，即(e 1) 1 = 0．
(2)解法一：因为 ( )的定义域为 ，且 ′( ) = e ，
若 ≤ 0，则 ′( ) ≥ 0对任意 ∈ 恒成立，
可知 ( )在 上单调递增，无极值，不合题意；
若 > 0，令 ′( ) > 0，解得 > ln ；令 ′( ) < 0，解得 < ln ；
可知 ( )在( ∞, ln )内单调递减，在(ln ,+∞)内单调递增，
则 ( )有极小值 (ln ) = ln 3，无极大值，
由题意可得： (ln ) = ln 3 < 0，即 2 + ln 1 > 0，
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1
构建 ( ) = 2 + ln 1, > 0，则 ′( ) = 2 + > 0，

可知 ( )在(0,+∞)内单调递增，且 (1) = 0，
不等式 2 + ln 1 > 0等价于 ( ) > (1)，解得 > 1，
所以 的取值范围为(1,+∞)；
解法二：因为 ( )的定义域为 ，且 ′( ) = e ，
若 ( )有极小值，则 ′( ) = e 有零点，
令 ′( ) = e = 0，可得e = ，
可知 = e 与 = 有交点，则 > 0，
若 > 0，令 ′( ) > 0，解得 > ln ；令 ′( ) < 0，解得 < ln ；
可知 ( )在( ∞, ln )内单调递减，在(ln ,+∞)内单调递增，
则 ( )有极小值 (ln ) = ln 3，无极大值，符合题意，
由题意可得： (ln ) = ln 3 < 0，即 2 + ln 1 > 0，
构建 ( ) = 2 + ln 1, > 0，
因为则 = 2, = ln 1在(0,+∞)内单调递增，
可知 ( )在(0,+∞)内单调递增，且 (1) = 0，
不等式 2 + ln 1 > 0等价于 ( ) > (1)，解得 > 1，
所以 的取值范围为(1,+∞)．
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