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河北省沧州市任丘市博雅高级中学 2026届高三上学期 10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { 1,0,1,2}， = { ∈ N | < 3 }，那么集合 ∪ 等于( )
A. [ 1,3) B. {0,1,2} C. { 1,0,1,2} D. { 1,0,1,2,3}
2.已知命题 : > 1, 2 1 > 0，则 是( )
A. ≤ 1, 2 1 ≤ 0 B. > 1, 2 1 ≤ 0
C. ≤ 1, 2 1 ≤ 0 D. > 1, 2 1 ≤ 0
3.若复数 满足(2 i) = i2022，则 的虚部为( )
1 1 2 2
A. i B. C. i D.
5 5 3 3
2 3 + 4, ≤ 0
4.已知函数 ( ) = { ，则关于 的不等式 ( ) > 2的解集为( )
1 + log0.1 , > 0
A. ( ∞, 1) ∪ (2, +∞) B. ( ∞, 0.1) ∪ (2, +∞)
C. ( ∞, 0.1) D. ( ∞, 1)
5.若偶函数 ( )在区间( ∞, 0]上单调递减且 (3) = 0，则不等式( 1) ( ) > 0的解集( )
A. ( 3,1) ∪ (3, +∞) B. ( ∞, 1) ∪ (1, +∞)
C. ( ∞, 3) ∪ (3, +∞) D. ( ∞, 1) ∪ (3, +∞)
π
6.函数 = 2cos (2 + )的图象的一个对称中心是( )
6
π π π π
A. ( , 0) B. ( , 0) C. ( , 0) D. ( , 0)
12 6 12 6
7.在 中， = 45 , = 75 , = √ 2，则边 的长为( )
√ 6+√ 2
A. √ 5 B. √ 3 C. D. 1
2
2
8.已知 = log34， = 23， = cos6，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1 π
9.已知函数 ( ) = 2cos ( + )，则( )
2 3
A. ( )的最小正周期为π
B. ( )在区间[0, π]上的最小值为 √ 3
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π
C. 点( , 0)是 ( )图象的一个对称中心
3
π
D. 将 ( )的图象向右平移 个单位长度后，得到的图象关于 轴对称
3
10.给出下列命题，其中正确的命题是( )
A. 若 ， 为单位向量，则| | = | |
B. 若向量 是向量 的相反向量，则| | = | |
C. 在正方体 1 1 1 1中， = 1 1
→ → → → → →
D. 若空间向量 , , 满足 // , // ，则 //
11.已知圆锥 的底面半径为3，高为4，则( )
A. 该圆锥的母线长为5
B. 该圆锥的体积为12π
C. 该圆锥的表面积为15π
D. 若该圆锥底面内接三角形 中， 为直径，则三棱锥 体积的最大值为12
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知向量 = (1,2), = (3,7)，若向量 + 与 = (1,3)共线，则 = ．
13.如图，平行四边形 ′ ′ ′ ′是水平放置的四边形 的直观图， ′ ′ = 4, ′ ′ = √ 6，则四边形
的面积 = ．
14.已知三棱锥 的所有顶点都在一个球面上且 ⊥平面 ， = = ，∠ = 120°，且
底面 的面积为2√ 3，则此三棱锥外接球的表面积是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记 的三个内角 , , 的对边分别为 , , ，已知 √ 2 = cos cos ．
(1)求 ；
(2)若 = 2√ 2 ，且 的外接圆半径为√ 10，求 的面积．
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = e cos ．
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(Ⅰ)求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程；
π
(Ⅱ)求函数 ( )在区间[0, ]上的最大值和最小值．
2
17.(本小题15分)
已知向量 , 满足| | = 1, | | = 4，且 , 的夹角为60°．
(1)求(2 ) ( + )；
(2)若( + ) ⊥ ( 2 )，求实数 的值．
18.(本小题17分)
π
已知函数 ( ) = 2sin ( + ) 1．
6
(1)求 ( )的单调递增区间；
(2)在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ( ) = 1， = 2 = 2，求 外接圆的半
径．
19.(本小题17分)

已知函数 ( ) = ln + + 1．

(1)求函数 ( )的单调区间；
5
(2)若函数 ( )在[1, e]上的最小值为 ，求实数 的值．
2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.8√ 6
14.40π
15.【详解】(1)因为 √ 2 = cos cos ，
由正弦定理可得sin √ 2sin = sin cos sin cos ，
又 = π ( + )，则sin = sin( + )，
所以sin( + ) √ 2sin = sin cos sin cos ，
即sin cos + cos sin √ 2sin = sin cos sin cos ，
化简得2sin cos = √ 2sin ，又0 < < π，sin ≠ 0，
√ 2
所以cos = ，又0 < < π，
2
π
所以 = ．
4
√ 2
(2)设 外接圆的半径为 ，则 = √ 10，所以 = 2 sin = 2√ 10 × = 2√ 5，
2
由余弦定理得 2 + 2 2 = 2 cos ，结合 = 2√ 2 ，
√ 2
∴ 8 2 + 2 20 = 2 × 2√ 2 2 × ，即 2 = 4，解得 = 2，则 = 4√ 2，
2
1 1 √ 2
所以 = sin = × 4√ 2 × 2 × = 4． 2 2 2
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16.试题解析：(Ⅰ)因为 ( ) = e cos ，所以 ′( ) = e (cos sin ) 1, ′(0) = 0．
又因为 (0) = 1，所以曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程为 = 1．
(Ⅱ)设 ( ) = e (cos sin ) 1，则 ′( ) = e (cos sin sin cos ) = 2e sin ．
π
当 ∈ (0, )时， ′( ) < 0，
2
π
所以 ( )在区间[0, ]上单调递减．
2
π
所以对任意 ∈ (0, ]有 ( ) < (0) = 0，即 ′( ) < 0．
2
π
所以函数 ( )在区间[0, ]上单调递减．
2
π
因此 ( )在区间[0, ]上的最大值为 (0) = 1，最小值为 ( ) = ．
2 2 2
2 2
17.【详解】(1)由(2 ) ( + ) = 2 + = 2 + 2 16 = 12；
2 2
(2)由( + ) ⊥ ( 2 )，则( + ) ( 2 ) = + ( 2) 2 = + 2( 2) 32 = 0，
所以3 36 = 0，可得 = 12．
π π π 2π π
18.【详解】(1)由 + 2 π ≤ + ≤ + 2 π， ∈ ，得 + 2 π ≤ ≤ + 2 π， ∈ ，
2 6 2 3 3
2π π
所以 ( )的单调递增区间是[ + 2 π, + 2 π] ( ∈ )．
3 3
π π
(2)由题知， ( ) = 2sin ( + ) 1，而 ( ) = 1，则sin ( + ) = 1，
6 6
π π 7π π π π
由0 < < π，得 < + < ，得 + = ，解得 = ，
6 6 6 6 2 3
1
由余弦定理得 = √ 2 + 2 2 cos = √ 12 + 22 2 × 1 × 2 × = √ 3，
2
1 √ 3
则 外接圆的半径 = = = 1．
2 sin √ 32×
2
1
19.【详解】(1)由题可得定义域为：(0, +∞)． ′( ) = = ．
2 2
若 ≤ 0，则 ′( ) > 0 ( )在(0, +∞)上单调递增；
若 > 0，则 ′( ) > 0 > ； ′( ) < 0 0 < < ，
从而 ( )在(0, )上单调递减；在( , +∞)上单调递增．
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综上， ≤ 0时， ( )的单调增区间为(0, +∞)； > 0时， ( )的单调减区间为(0, )，单调增区间为
( , +∞)；
(2)由(1)，若 ≤ 0，则 ( )在[1, e]上单调递增，
5 3
则此时 ( )min = (1) = + 1 = = ，这与假设不符； 2 2
若0 < ≤ 1，则 ( )在[1, e]上单调递增，
5 3
则此时 ( )min = (1) = + 1 = = ，这与假设不符． 2 2
若1 < < e，则 ( )在[1, )上单调递减，在[ , e]上单调递增，
5 1 1
则此时 ( )min = ( ) = ln + 2 = ln = = e2 ∈ (1, e)，符合假设． 2 2
若 ≥ e，则 ( )在[1, e]上单调递减，
5 1 e
则此时 ( )min = (e) = 2 + = = = ，这与假设不符． e 2 e 2 2
1
综上可得，实数 的值为e2．
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